问题驱动探究 实验启发思维

［摘 要］ 文章以“祖暅原理及其应用”的教学为例，分别从“问题导入，揭露主题”与“实验探究，深入理解”两个环节具体阐述数学教学如何用问题驱动学生探究，以实验启发学生思维，并通过适当的点拨帮助学生提炼数学思想方法.

［关键词］ 问题；实验；数学思想方法本文认为，以“问题驱动探究，实验启发思维”的方式实施教学，不仅能激活学生的探索欲，还能让学生亲历知识的“再创造”过程，主动提炼数学思想方法，形成可持续发展的能力.

教学简录

1. 问题导入，揭露主题

（1）提出问题

师：如图1所示，半径均为a的两个圆柱的轴垂直相交（正交），其公共部分是一个怎样的几何体？

排除正方体、圆柱、球体后，在学生一筹莫展时，教师揭露：这是我们之前没有接触过的几何体——数学家刘徽所研究的“牟合方盖”. 然后要求学生回顾之前探寻简单几何体体积公式的方法，尝试将这些方法迁移到“牟合方盖”体积的探索中来.

（2）介绍祖暅原理

板书教学主题：祖暅原理及其应用.

借助信息技术播放数学家祖暅的相关事迹，着重强调祖暅原理的提出比国外早一千多年，以激发学生的民族自豪感，同时强调祖暅和祖冲之的关系（祖暅是祖冲之之子），激发学生学习兴趣的同时拓宽学生的视野，起到渗透数学文化的作用.

设计意图 两个相同圆柱正交公共部分几何体的形状问题成功引发了学生认知冲突，这是驱动学生产生学习动机的催化剂，为揭露教学主题奠定了基础. 祖暅史料的播放，一方面激发学生的学习兴趣，另一方面培养学生的爱国情怀，使学生带着良好的情感深入学习.

2. 实验探究，深入理解

（1）初识原理

与学生一起回顾导学案中提到的“幂势既同，则积不容异”这句话，分别探索“幂、势、积”的实际含义. 幂为面积，势为高，积就是体积，意思是“两个高与底面积均相等的几何体的体积相等”.

师：有不同意见吗？

生1：这么解释不对，两个底面积与高相等的圆柱与圆锥的体积显然是不等的.

学生用反例提出明确的反对意见，并思考：究竟在什么条件下，可得两个几何体的体积相等的结论呢？基于圆柱与圆锥的启发，有学生提出：“两个等底等高的几何体，在等高处的截面积恒相等，则它们的体积相等.”教师肯定学生的说法，并带领学生探索这个结论（祖暅原理）.

（2）探究原理

师：现在请大家借助身边的事物来举例说明祖暅原理.

生2：如图2所示，将两摞数量、大小完全一样的书本叠放在一起，形成直棱柱与斜棱柱两个几何体，这是两个等底等高的几何体，且等高处的横截面也是一样的（因为本子大小一样），结合祖暅原理可确定这两个几何体的体积相等.

师：如果将这两摞书本重新叠放，形成高度一样，但形状不同的任意两个柱体，此时两个柱体的体积依然一样吗？理由是什么？

生3：根据祖暅原理，叠放形成的两个几何体在等高的基础上，被平行于底面的平面截取而来的截面积都是相等的，那么它们的体积必然也是相等的.

师：若将“高相等”这个条件转化为“两个几何体夹在两个平行的平面间”，此时所形成的两个柱体的体积依然相等吗？

答案是肯定的. 教师趁机提出：祖暅原理又被称为等积原理，也就是夹在两个平行的平面间的两个几何体，被平行于两个平面的平面截取而来的截面积恒相等，就可以确定这两个几何体的体积相等.

设计意图 书本是学生唾手可得的物品，以此作为课堂教学探究的资源不仅方便，还接地气，便于学生操作与理解. 通过不同摆放方法的探索，学生不仅深刻理解了祖暅原理，还体会了从特殊到一般的数学思想.

为了进一步深化学生的认识，教师取出三摞完全一样的书本，将两摞摆放在一起形成一个几何体，第三摞单独摆放成一个几何体，形成两个高相等、形状不规则、底面积不相等的几何体进行比较. 要求学生思考：平行于这两个几何体底面的平面截取而来的截面积一样吗？

生4：不一样，第一个几何体（由两摞书本摆放的几何体）的截面积是第二个几何体（由一摞书本单独摆放的几何体）的2倍.

师：由此能获得怎样的体积关系？

生5：第一个几何体的体积是第二个几何体的2倍.

由此获得结论：夹在两个平行的平面间的两个几何体，被平行于两个平面的平面截取而来的截面积之比恒为t，就可认为这两个几何体的体积之比是t.

设计意图 拓展祖暅原理，引发学生思考，让学生进一步体验数学类比推理思想，这是提升学生学力的重要过程.

（3）实际应用

师：看来大家已经深入了解了祖暅原理，现在咱们就一起来尝试应用它解决实际问题. 在这之前，我们用祖暅原理来推导柱体的体积公式，如图3所示，与长方体等底等高的柱体的体积公式是什么呢？

学生一致认为“柱体体积=底面积×高”，教师板书“V=Sh”. 这是将未知几何体转化成学生熟悉的几何体后求体积的过程，即“化未知为已知”的过程，属于数学转化思想的应用. 在此基础上，教师带领学生应用祖暅原理来推导椎体的体积公式，要求学生解决以下问题.

问题1 如图4所示，此为底面积与高均相等的两个椎体，它们的体积是否相等呢？理由是什么？

生6：这两个椎体的高是一样的，而且它们被平行于底面的平面截取而来的截面积相等，由此可确定这是两个体积一样的椎体.

问题2 如图5所示，分析椎体的体积与它等底等高的柱体的体积之比. （要求小组合作交流）

学生通过合作学习，并借助自制道具分析问题：将三棱柱拆分成3个体积相等的棱锥，确定三棱柱体积是三棱锥的3倍，推导出公式V=V=Sh.

教师充分肯定学生的探究能力与结论，并评释“等体积转化”数学思想方法，强化学生的转化意识. 同时，要求学生结合上述探索方法，课后自主探寻球体体积公式.

设计意图 这是深化学生对祖暅原理理解与应用的过程，促使学生体会化空间为平面的思想，感知“等体积转化”数学思想. 对转化思想的渗透与应用，为发展学生的创新意识奠定了基础.

（4）实验操作

师：如图6所示，这是两根水管正交交接与机械零件加工过程，从中都能发现“牟合方盖”，下面我们用祖暅原理来探寻“牟合方盖”的体积公式.

设计意图 以生活实际中的“牟合方盖”来激发学生的探索欲，让学生体验本节课教学内容与生活之间的联系，进一步发展学生的应用意识.

师：接下来请同学们以小组合作的方式用花泥切出“牟合方盖”，研究它究竟是个什么样的几何体.

学生自主实验，教师加强巡视、适当指导. 当学生切出“牟合方盖”后，教师要求学生到讲台上进行展示汇报. 学生展示汇报的“牟合方盖”是接近于球体的几何体，显然无法直接求出它的体积. 为此，教师要求学生观察“牟合方盖”模型，思考以下几个问题.

问题3 能否找到我们熟悉的简单几何体，使“牟合方盖”满足下列条件：①等高，被平行的平面所截的截面积恒等；②等高，被平行的平面所截的截面积之比恒等？

学生经思考与交流，认为截面积相等的几何体找不到，但与球的截面积之比可能是相等的.

问题4 倘若截取“牟合方盖”的圆柱半径是a，想使得“牟合方盖”和球等高，则球的半径选择多少最恰当？

学生猜想：球的半径为a. 为了验证猜想，教师利用3D动画，结合模型自制实验引导学生观察与分析，确定该猜想是正确的.

设计意图 教育信息化是时代发展的需要，它能将抽象的知识直观地演示出来，这对培养空间感知能力，建立空间观有重要价值与意义.

问题5 “牟合方盖”与球体被平行的平面所截的截面分别是什么图形？

毫无异议，球体的截面是圆，但“牟合方盖”不同位置的截面各不一样. 经合作探究，学生一致认为“研究水平截面”更合适. 如图7所示，教师在学生交流讨论的基础上播放微视频，让问题可视化.

通过师生共同实验与探究，最终获得球体与“牟合方盖”的截面面积之间的关系为：===. 结合祖暅原理，得两个立体图形的体积之比为=，因此V=V=a3.

通过球体体积的转化，获得了“牟合方盖”的体积，充分体现了数学转化思想. 整个过程遵循实验探究的一般流程，即实验—观察—猜想—验证—总结.

3. 归纳总结，巩固提升

（略）

教学思考

1. 问题驱动探究

问题是数学教学的灵魂. 本节课安排在学生刚接触立体几何之后，此时学生的空间想象能力还不够丰富，想要让学生掌握抽象的祖暅原理，就需要借助问题来驱动学生的探究意识，让学生带着明确的方向去探索.

课堂伊始，教师以两个圆柱正交的问题激发学生的探索欲，将学生的注意力成功集中在课堂活动中. 随着祖暅原理背景的探索与其形成过程的展示，激发了学生的问题意识. 在问题的驱动下，学生通过独立思考与合作交流，不仅掌握了本节课的教学重点，还突破了本节课的教学难点. 因此，问题驱动是增强学生空间想象能力，提升学生思维能力的原动力.

2. 实验启发思维

新课标提出：数学教学不仅要让学生掌握结论，更重要的是要让学生明确知识的形成与发展过程. 祖暅原理的应用比较复杂，若教师单纯地以“注入式”方式授课，则学生难以从根本上理解知识内涵，到综合应用时难免漏洞百出.

“实验操作”环节的设计，使学生通过自主操作，不仅获得了球体与“牟合方盖”之间的关系，还锻炼并增强了操作能力与思维能力，积累了活动经验，为后续探索其他问题奠定了方法基础.

3. 点拨提炼思想

众所周知，学生在课堂中所获得的知识与技能会随着时间的流逝而淡忘，但数学思想方法的形成却能成为学生的“骨肉”，镌刻在学生的大脑中，形成一种能力，应用到生活的方方面面.

本节课的每一个环节，教师都关注数学思想方法的渗透，并在恰当的时机进行点拨，成为课堂的点睛之笔，如转化思想、类比思想、数形结合思想、化归思想等在本节课都有所体现，这是促进学生发展学习能力的根本，也是培养学生创新意识的重要措施.

总之，基于“以生为本”教学理念，借助问题驱动学生探究，用实验启发学生思维是发展学生空间想象能力的重要举措. 教师在恰当的时机进行点拨，帮助学生提炼数学思想方法，不仅能提高教学成效，还能促使学生形成可持续发展的能力.