平面应力型相似模拟平台的设计与教学应用

摘 要 平面应力模型是三维工程问题简化为二维力学模型的重要方法之一，也是本科生力学课程的重要知识点。文章基于平面应力模型的知识点论述，结合河南理工大学平面应力型相似模拟平台的建设，介绍了平面应力型相似模拟平台在解决实际采矿工程问题中的应用，并以本科生相似模拟实验教学为案例，介绍了平面应力型相似模拟平台的教学过程。通过实验教学，提高了学生运用基础力学模型解决实际工程问题的能力，对加深学生对专业知识点的理解、培养其创新能力具有积极意义。

关键词 平面应力模型；相似模拟平台；本科生教学

中图分类号：G642 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2024.16.026

Design and Educational Application of Plane Stress Type Analog Simulation Platform

WANG Hao1， SUN Weijia2， ZHANG Sheng1

（1. School of Energy Science and Engineering， Henan Polytechnic University， Jiaozuo， Henan 454003;

2. Student Administration Department， Henan Polytechnic University， Jiaozuo， Henan 454003）

Abstract The plane stress model is one of the methods for transforming 3D engineering problems into 2D mechanical model， which is also one of the key points of the mechanical courses for bachelor students. The plane stress model was discussed in this paper， what is more， the analog simulation platform constructed in Henan Polytechnic University was used in teaching procedure for bachelor students. The effects of the analog simulation platform in solving engineering problems were also analyzed. The process of adoption of the analog simulation platform in teaching plane stress model for bachelor students was introduced based on the simulation experimental course. The results show that the ability of solving engineering problem of students is improved significantly， which is meaningful for understanding the mechanical theory and cultivating innovation ideas.

Keywords plane stress model; analog simulation platform; bachelor students education

平面应力状态是指仅在二维平面内存在应力，在第三个维度上不存在应力（即应力为0），但存在应变（即应变不为0）[1-2]。平面应力状态是对三维受力状态的简化，通常墙体、建筑物梁等三维受力物体可以简化为平面应力问题。通过将三维受力物体根据受力状态、特征简化为平面应力问题可以减小计算量，同时计算分析的结果仍能保持与实际结果一致。

相似模拟实验方法是根据实际工程条件，基于密度相似比、几何相似比、速度相似比等条件，将大尺度工程条件浓缩为小尺度模型试验，在相似比设计合理的条件下，相似模拟试验方法可以用小尺寸的试验模型表征大尺度工程模型的受载变形、破坏特征，是大型工程项目分析研究的重要手段[3]。相似模拟平台根据其受力状态可分为三维相似模拟平台、二维相似模拟平台、一维相似模拟平台，其中二维相似模拟平台因其操作简单及结果的可靠性，在采矿工程教学科研中应用较广泛。

本文基于河南理工大学二维平面应力相似模型平台的设计、建设、使用过程，介绍了平面应力相似模型在煤矿采场矿压研究中的应用，研究内容可为平面应力相似模型平台的建设及煤矿采场矿压问题研究提供参考及借鉴。

1 平面应力问题

实际工程问题均为三维应力问题，在工程建设中不存在理想的面、线、点模型，然而为了研究方便，在一定条件下，通常会将复杂的三维模型简化为二维模型或一维模型，这样既简化了力学计算过程，又能在一定程度上保证计算结果与实际结果的一致性，如一维杆的拉压、扭转、弯曲、压弯模型，二维梁、板、壳模型等。

平面应力问题可以认为是具有很薄的等厚度薄板，只在板的四条边上（或边界上）受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，板内的体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如生活中常见的深梁、平板坝的平板支墩等就可简化为此类问题。

设薄板的厚度为 ，以薄板的中面为面（即过薄板厚度中部且平行于薄板的平面），以垂直于中面的任一直线为z轴。因为板面上（即处）不受力，从而可得：

由于板很薄，其承载的外力系又不沿厚度变化，同时外力系沿着板的厚度又是连续分布的，因此，可以认为在整个薄板的所有各点均有：

根据应力单位体的切应力互等性，进而可得：

此时，薄板上所受外力系只剩下平行于面的4个平面应力分量，即因为假设板很薄，作用于板上的外力和约束都不沿厚度变化，因此4个应力分量以及相应的形变分量，都可以认为是不沿厚度变化的。这就是说，它们只是和的函数，与第三个维度无关。

这样就把三维空间应力分析的9个应力分量简化为二维平面应力分析的4个应力分量（此外5个数值为0的应力分量可忽略不计），大大简化了力学计算过程。上述二维平面模型被称为平面应力模型。

2 平面应力相似模型平台建设

在本科生教学中，基础力学知识点的讲解是学习弹性力学、材料力学、流体力学以及后续专业课程的基础。在理解力、位移、应力、应变等基础概念的基础上，进一步研究一维杆模型、二维平面模型，可使学生初步建立解决工程问题的思路。由于实际工程问题是十分复杂的，解决实际工程问题时常将三维受力问题根据其受力特征，简化为二维或一维问题，这样可简化力学模型的复杂性，同时对解决实际三维工程问题也具有一定的指导意义[4-6]。

为使学生较好地理解平面应力模型的理论基础及其在实际工程中的应用，河南理工大学建设了二维平面应力相似模拟平台，平台由优质钢材构成，尺寸为：长€卓韤赘？2.5€？.2€？.0 m，平台上侧为液压控制加载装置，其余三侧为固定状态。实验过程中可通过上侧加载装置施加载荷，实现平面应力受力状态。学生在学习完平面应力模型理论知识后，可到相似模拟实验室，学习二维平面应力模拟平台的实际应用。理解理论模型与实际实验条件间的区别与联系，进一步加深对平面应力模型外部载荷、边界条件、受力方向、应力状态的理解。

3 平面应力相似模拟平台教学案例

为说明平面应力相似模拟平台在本科教学中的应用方法，下面以平面应力相似模拟平台的教学要点为依据，论述平面应力相似模拟平台的实际教学重点。

3.1 教学目标：掌握平面相似模拟平台的应用条件及过程

前期知识准备：①力、位移、正应力、剪应力、正应变、剪应变基本概念；②平面应力模型边界应力条件；③平面应力模型的适用条件；④平面应力模型的平衡微分方程、物理方程、几何相容方程。

教学要点：①平面应力相似模拟平台的主要组成装置；②对实际工程问题的简化要点；③根据实际工程问题简化时几何相似比、物理相似比、时间相似比的确定方法。

3.2 教学过程

3.2.1 确定实际工程条件

某矿采煤工作面倾向长度220m，走向长度1800m，走向长壁综合机械化采煤方式，采高5m，煤层平均密度1.2 g/cm3，煤层覆岩平均密度2.3 g/cm3，工作面埋深500 m。试采用相似模拟方法研究工作面回采过程中围岩应力、应变、裂隙演变特征。

3.2.2 相似模型构建

根据提供的实际工程问题参数，考虑采用相似模拟方法研究工作面回采不同阶段围岩应力场、裂隙场演变特征。取工作面中部沿煤层走向做垂直剖面，根据剖面所揭露煤岩层结构创建平面应力相似模型。相似模拟的理论依据为“相似定律”，即相似模型需满足：几何相似；物理相似；初始、边界条件相似三个条件。首先应根据模拟目的、条件，确定模型几何相似比，进而根据相似材料密度，确定相似模型密度相似比，基于几何相似比和密度相似比可进一步确定时间、应力、强度等相似比。

通常情况下，煤矿开采过程中工作面上覆岩层运动与矿压规律的几何相似比应不小于1∶150，从而能较好地保证模拟结果的精确度。基于河南理工大学已建成的实验室相似试验架尺寸：长€卓韤赘？2.5€？.2€？.0 m，结合实际工程条件中综采工作面生产、地质条件，确定模型相似比参数为：

相似模拟平台尺寸：长€卓韤赘？2.5€？.3€？.0 m；

拟使用的相似模型尺寸：长€卓韤赘？2.5m€？.2m€？.37m

根据工作面覆岩结构特征，确定模型几何相似比为：

由于工作面覆岩平均密度为2.3 g/cm3，通常情况下相似材料平均密度为1.2 g/cm3，因此密度相似比为：

根据上述相似模型几何相似比、密度相似比，进而可得：

时间相似比为：

强度相似比：

弹模相似比：

泊松比相似比：

外力荷载相似比：

根据工程条件综采工作面与相似模型均受自重应力场影响，应力―应变对应关系相同，相似模型两边限制水平位移，底边限制垂直位移，接近现场应力环境，因此模型满足变形场相同条件。基于上述相似模拟参数，确定材料相似配比后搭建相似模拟平台。

3.3 教学要点

相似模型构建过程中应注意理论模型与实际相似模型的区别，尽量保证相似模拟满足理论模型的边界条件、载荷条件、均匀条件、连续条件。

相似模型铺设过程中应严格按设计的几何相似比、物理相似比、时间相似比、载荷相似比等进行材料配比，不能随意更改材料配比参数。岩层铺设的高度要与实际模型一致，尽量铺设平整，并保持压实度均匀，防止出现坚硬核区。左右两侧立柱主要限制模型的水平方向位移，对垂直方向位移不限制，因此，可考虑在左右两侧立柱上涂抹润滑油，以保证相似材料可沿立柱垂直方向滑移。下端立柱限制相似模型沿垂直方向位移，但不限制沿水平方向位移，因此亦可考虑在下侧边界上涂抹润滑油。相似模型上侧为均匀加载设置，加载力的大小可通过控制器调整，调整过程中应依次多步骤加载，防止再现应力不均匀现象。

此外，若要考查相似材料内部应力、应变、裂隙情况，可考虑增加监测设备，如压力盒、应力监测仪、钻孔窥视仪等。较丰富的力学参数监测结果，可更全面地认证煤矿工作面回采不同阶段围岩应力演变特征及矿压显现规律。

3.4 思考问题

根据平面应力状态及相似材料模型的重要知识点，引导学生思考下述几个问题，以加深学生对平面应力问题的理解，提高其运用力学理论知识解决实际工程问题的能力。①平面应力理论模型与实验室平面应力相似模拟模型有什么异同点；②相似参数在实际工程问题简化为相似模型时有什么样的作用；③平面应力问题适用于什么样的实际工程问题。

4 主要结论

①平面应力模型是对实际三维工程问题的简化，通过将应力单元9个应力分量减少至4个，大大减少了模型分析难度及计算复杂度；②平面相似模拟平台是对平面应力模型的具体应用，在解决采矿工程问题时应用较多，模拟结果对指导工程建设意义较大；③通过平面相似模拟实验教学，本科生可掌握平面应力、相似模型搭建、实际工程分析等知识点，提高了学生运用基础力学理论解决实际工程问题的能力。

*通信作者：孙维佳

基金项目：2024年河南理工大学研究生质量提升工程项目“高等工程力学”（2024YKC01）；2019年河南理工大学博士基金项目“采动下含优势弱面煤岩体冲击破坏机制及试验研究”（672706）。

参考文献

[1] 姚云龙，李积泉，刘鑫，等.基于相似理论的复合地基弹性垫层模型试验研究[J].公路工程，2023，48（6）：84-93.

[2] 战新宇，高林，赵芳昊，等.大相似比模型试验用超高强相似材料配比试验研究[J].煤田地质与勘探，2023，51（11）：109-118.

[3] 伍达富，刘远明，梅世龙，等.基于相似理论的隧道模型试验设计研究[J].水力发电，2023（9）：112-117.

[4] 赵红泽，秦斌德，林泽辰，等.基于多功能模型箱的排土场相似模拟实验设计[J].实验技术与管理，2023（3）：106-112.

[5] 王军祥，胡开恩，郭连军，等.大型三维地质力学模型试验系统研制及其应用研究[J].隧道建设（中英文），2022（9）：1546-1560.

[6] 孙田力.采动覆岩应力特征及离散裂隙相似模拟实验平台的构建[D].上海：上海应用技术大学，2022.