相似三角形知识的考查探究与教学思考

丁亚童

［摘  要］ 考查相似三角形知识的问题类型多变，常涉及一些关联模型，理解其性质定理，解题时灵活提取模型十分关键. 文章立足相似三角形知识，开展题型考查探究，总结破题方法，提出相应的教学建议.

［关键词］ 相似三角形；判定；性质；题型

相似三角形知识是初中几何考查的重点内容，常见于几何综合问题中，问题解析需要运用相似三角形的判定与性质定理，进行条件解析与结论推导. 实际考查时问题类型多样，涉及了求点坐标、函数参数、线段最值等，下面深入探究.

关于题型的考查探究

1. 运用相似知识求点坐标

几何综合中常立足相似三角形知识求解点坐标，即利用相似三角形对应边成比例推导线段长，进而求解点坐标. 该类问题中要挖掘隐含信息，从知识综合视角分析，推理等角关系，证明三角形相似，再利用相似性质求线段长.

例1  如图1所示的矩形ABCO中，点A，C位于坐标轴上，点B的坐标为（-2，4）. 将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，则点D的坐标是________.

思路引领：本题目求坐标系中点的坐标，涉及了三角形翻折，问题求解可把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，综合运用全等与相似性质开展线段关系的推导.

过程解析：过点D作DF⊥x轴于点F，如图1虚线所示. 已知点B的坐标为（-2，4），则AO=2，AB=4. 根据折叠知识可知CD=OA，又知∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，可证△CDE≌△AOE，由全等性质可推得OE=DE，OA=CD=2.

设OE=x，则CE=4-x，DE=x，在Rt△DCE中，CE 2=DE 2+CD2，代入线段长可得（4-x）2=x2+22，可解得x=. 又知DF⊥AF，则DF∥EO，可证△AEO∽△ADF，而AD=AB=4，可推得AE=CE=4-=，由三角形相似性质可得==，即==，可解得DF=，AF=. 所以OF=AF-OA=，即点D的坐标为

评析  上述求点坐标时综合运用了全等与相似三角形的相关知识，利用其性质定理开展线段长推导，进而完成点坐标的求解. 对于结合了图形折叠的几何问题，要把握其中的等角条件，利用等角关系推导三角形相似.

2. 利用相似知识求线段最值

部分线段最值问题中也常涉及相似三角形的相关知识，解析时需要提取或构建相似三角形模型，利用其性质推导线段关系，将线段最值转化为线段不等式，进而完成求解.

例2  如图2所示的四边形ABCD中，已知AB=3，BC=4，AC⊥CD，若tan∠CAD=，则对角线BD长的最大值是_____.

思路引领：本题目求四边形对角线的最大值，属于线段最值问题，求解时需要作辅助线，构建三角形相似关系，将线段最值转化为线段不等关系问题，进而利用相似性质求解.

过程解析：过点B作BE⊥AB，使得BE=AB=1，连接AE，DE，如图2虚线所示.

在△ABE中，AE==. 因为tan∠CAD=，所以==. 又因∠ABE=∠ACD=90°，可证△ABE∽△ACD，可推得∠BAE=∠CAD，=，进而可知∠BAC=∠EAD，则△BAC∽△EAD，可得=，即=，解得ED=，所以BD≤BE+ED=1+，即BD的最大值为1+.

评析  上述求解线段最值问题时，两次利用了相似三角形的性质，将线段最值转化为线段不等式问题. 另外，解题时灵活运用锐角三角函数知识，并根据题意正确添加辅助线，构建了相似三角形模型.

3. 利用相似知识求函数的特征参数

中考常见函数与几何综合题，如将一次函数与三角形相结合，求函数的特征参数，考查相似三角形的判定和性质、一次函数性质等知识. 求解时要注意提取其中的相似三角形关系，求线段长，推导点坐标，再代入函数解析式求特征参数.

例3  如图3所示，已知A（0，3），B（4，0），一次函数y=-x+b的图象为直线l，点O关于直线l的对称点O′恰好落在∠ABO的平分线上，试回答下列问题.

（1）AB=_____；

（2）b的值为_____.

思路引领：本题目为函数与几何的综合题，题设两问，第（1）问利用勾股定理即可求线段长；第（2）问求函数的特征参数，可构建相似三角形模型，推导函数上的点坐标，再代入函数解析式中反求特征参数.

过程解析：（1）简答，AB=5；

（2）延长OO′交AB于点C，交直线l于点E，过点O′作O′G⊥x轴于点G，过点E作EF⊥x轴于点F，如图4所示.

利用待定系数法，可求得直线AB的解析式为y=-x+3，进而可证AB∥l. 又知OO′⊥l，可推得OO′⊥AB.

已知OA=3，OB=4，AB=5，根据S==，可解得OC=.

因为∠COB+∠AOC=90°，∠BAO+∠AOC=90°，可推得∠BOC=∠BAO，结合∠O′GO=∠AOB=90°可证△O′GO∽△BOA，则O′G ∶ O′O=OB ∶ AB=4 ∶ 5.

由于BO′是∠ABO的角平分线，O′C⊥AB，O′G⊥OB，则CO′=GO′，设O′G=m，则O′C=m，OO′=-m，可得m=，则OO′=. 在Rt△OO′G中，根据勾股定理，得OG=. 结合条件进一步可证△EOF∽△O′OG，由相似性质可得===，可解得EF=，OF=，于是求得点E的坐标为

，，将点E代入y= -x+b中，可解得b=.

评析  上述第（2）问求函数的特征参数时，综合运用了相似三角形的性质、轴对称的性质、一次函数的性质. 利用相似三角形的性质推导线段长，确定关键点坐标，代入函数解析式中推导函数的特征参数. 问题的综合性强，探究解析可采用数形结合的方法，合理转化条件.

4. 利用相似知识求“kAD+BD”型的最值

部分“kAD+BD”型最值问题求解时，也可利用相似三角形的判定及性质定理构建线段关系，将带参线段和最值问题转化为一般线段最值问题，再结合模型确定最值情形.

例4  在如图5所示的△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点E，F分别是边AB，AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则PB+PC的最小值为_____.

思路引领：上述为带参线段和最值问题，可作辅助线构建相似三角形模型，利用其性质将问题转化为一般线段和最值问题，再结合三点共线定理确定最值情形.

过程解析：在AB上截取AQ=1，连接AP，PQ，CQ，如图5的虚线所示.

已知点E，F分别是边AB，AC的中点，则点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则=. 由于AP=2，AQ=1，则=，结合∠PAQ=∠BAP，可证△APQ∽△ABP，可推得PQ=PB，则PB+PC=PC+PQ≥CQ. 当C，Q，P三点共线时，PC+PQ的值最小，此时CQ的长即为所求. 在Rt△ACQ中，已知AC=4，AQ=1，由勾股定理可得QC==，所以PB+PC的最小值为.

评析  上述求带参线段和最值问题时，利用了相似转化法. 解析时分两步进行：第一步，利用相似三角形的性质推导线段关系，将特殊最值问题转化为一般的线段和最值问题；第二步，结合共线定理确定最值情形，结合勾股定理求解线段长.

关于相似性质定理的教学思考

上述围绕相似知识进行了题型考查探究，涉及求点坐标、线段最值、函数特征参数等问题，解析过程综合运用了相似三角形的判定与性质定理，立足几何知识开展模型构建与条件推导，其探究解析过程有一定的参考价值，有助于提升学生的解题能力，下面进一步开展教学探讨.

1. 整合性质定理，强化知识基础

相似三角形是初中几何的重点知识，探究学习时需要深刻理解其判定定理和性质定理，掌握定理的核心内容，灵活运用，并从知识综合视角入手，探索相似三角形的关联知识，如三角形全等、平行线模型等. 教学中可分两个阶段进行强化提升：第一阶段，立足教材基础，开展定理探究，引导学生挖掘定理，体验证明过程，让学生从根本上掌握定理；第二阶段，把握知识综合，梳理知识网络，总结与相似三角形相关联的知识.

2. 立足中考考点，归纳问题题型

开展相似三角形的知识探究，教师要把握中考方向，立足中考考点，归纳问题题型，引导学生充分掌握该考点的考查方式. 上述探究了四大题型，涉及求点坐标、解析线段最值、求解函数的特征参数、破解特殊型线段最值. 解析的核心均为相似三角形的相关知识，而在实际考查时采用知识综合的方式来呈现. 教学探究时，教师要引导学生归纳题型，总结问题的构建方式，对该考点产生深刻的认识. 教学中需要注意三点：一是题型梳理要结合近几年的中考，关注中考新题；二是考题梳理要全面，覆盖考卷的各类问题，包括选择、填空和解答题等；三是引导学生关注考题中的知识综合，挖掘关联考点.

3. 关注解题过程，拓展解题思维

“思维引导”是解题教学的重要环节，在该环节中要让学生体验解题过程，对学生进行思维引导，帮助学生掌握解题的方法思路，进而形成相应的解题思维. 上述相似三角形知识考查探究中结合了四道考题，考题的综合性强，教学中要引导学生解析条件，探索思路，构建模型，转化求解. 实际引导时可分如下三步进行：第一步，引导学生读题审题，结合图形理解问题条件；第二步，深刻挖掘问题图形及其中的隐含信息，提取特殊图形；第三步，合理构建模型，数形结合转化分析，利用相似三角形的知识推导条件. 整个教学环节注意学生的思维引导，关注学生的思维发展，结合实际情形灵活调整教学策略.

写在最后

相似三角形知识作为初中几何重点内容，实际考查时形式多样，涉及众多的知识考点，上述所探究的四种类型是其中的代表. 在教学中，教师要引导学生深刻理解其性质定理，结合实例开展解题探究，让学生关注问题特征、模型构建方法、定理转化构建思路，拓展学生的解题思维，同时注意数学思想的渗透，提升学生的数学素养.