感知·操作·推理：小学数学实验教学中量感的培养

周源

《义务教育数学课程标准（2022年版）》首次明确提出“量感”。量感主要是指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知。

二年级主题式教学实例“纸的厚度”，要求引导学生进一步理解长度单位与现实世界的关系，经历先想象，后测量的过程，培养基于量感的想象力。对于“纸有多厚？”这个问题的探索，需要学生在估计和推测的过程中，通过调动多种感官，丰富“量”的感知，获得“量”的感悟。

如何在培养基于量感的想象力的过程中激活学生生活经验，引导学生在主动参与观察、感受、操作、估计、测量验证等学习活动中培养数学核心素养呢？

【学生的前概念】

1.能在具体情境中认数，知道不同数位上的数表示不同的值。

2.认识米、分米、厘米、毫米四个长度单位，知道它们之间的进率，能进行简单的单位换算；能估测一些物体的长度并进行测量；初步形成量感。

3.能进行整数加减法和简单的整数乘除法，形成初步的符号意识、数感、运算能力和推理意识。

【学习认识困难】

1.对于数量增加相应倍数后，厚度也相应增加，学生需结合具体的情境进行理解，还没有抽象运算能力。

2.对于较大数据的推理能力较弱，对于较厚、较高的数据，还没有实际生活中相应参照物对比。

一、感知——整体感知与细节感知并重

纸的厚度，对于二年级学生来说，是比较陌生的，在这节课中，教师将整体感知与细节感知并重，设计数学实验，让学生感受厚度。

【课堂实录】

师：小朋友们，今天我们一起来研究：“纸有多厚？”什么叫“厚”呢？

师：拿出练习纸，捏一捏，感受一下。

师：一张纸很薄，很多很多张纸叠在一起呢？就变厚啦！

师：薄和厚是一对反义词，厚度就像我们知道的人有多高，跑道有多长，图形的一条边有多长一样，都是长度，是可以用尺进行测量的。

（一）测量一张纸

师：怎么能够知道数学书中的一张纸有多厚呢？

师：翻开数学书，数出一张纸，量一量，你发现了什么？

生：一张纸还不到尺上1毫米厚。

（二）测量10张纸

师：一张纸的厚度用手中的尺量不出来，10张纸呢？你能数出10张纸，量一量吗？

师：看一看，最后一张是第几页？

生：第20页。

师：捏一捏，你有什么感受？

师：量一量10张纸的厚度。

生：数学书10张纸差不多是尺子的一个刻度，也就是1毫米。

首先，教师对“纸有多厚？”进行破题，引导学生对一张纸的厚度进行整体感知。通过摸、捏，使学生感受到一张纸很薄、很轻。再过渡到对一张纸厚度进行细致的感知：量一张纸的厚度。通过操作，学生感受到：一张纸量不出厚度或者一张纸还不到学生尺上最小的一个刻度。量不出，不足1毫米，都是学生对一张纸厚度很薄、很小的细节感知。此时，教师再让学生数出10张纸来摸、捏、量。学生通过摸、捏，直观感受到10张纸比一张纸厚一些，再量，10张纸能量出来了，大约是尺上1个刻度（1毫米）的厚度。

两次摸一摸、捏一捏、量一量的过程，学生不仅对纸的厚度进行了整体感知，也进行了细节感知，感受到纸的张数增加，厚度也增加。这两次感知密不可分、相辅相成，对整体的感知有助于对细节的感知，细节感知也能促进学生对1张纸、10张纸厚度全貌的认识。

二、操作——动手操作与动脑想象同步

在培养学生量感的过程中，教师一般要做到重视引导学生经历动手测量、操作感知的过程，帮助学生积累直接经验。但是对量感的培养还需要学生在头脑中进行加工、想象、估计，尤其是对于较大数据的量感，需要学生在先想象估计再推测的过程中进一步理解数量的实际意义，体会数量与生活的密切联系，从而丰富对量感的表象。

首先，教师要根据学生的学习需要，为他们提供可操作的学习材料，并组织活动。比如，在“纸有多厚？”主题学习中，教师精心提供了两种测量的材料——数学书和A4纸，在操作测量的过程中，让每个学生亲历测量的过程。

其次，教师要及时组织学生对测量的数据进行分析与思考，发现测量数据背后的数学知识，想象与估计，再进行验证，建立对厚度的表象。

【课堂实录】

师：10张纸大约厚1毫米，那么，20张纸大约有多厚呢？

师：你是怎么想的？

生：因为10张纸厚大约1毫米，20里面有2个10，所以20张纸大约厚2毫米。

师：30张纸呢？100张纸呢？

师：怎样才能知道一本数学书有多厚呢？

生：如果知道书有多少张纸，就能推算出来。

师：一本数学书有60张纸，大约有多厚呢？

生：大约有6毫米。

师：量一量一本书有多厚？验证你的猜想。

第一次：学生测量10张纸大约厚1毫米，能根据10张纸厚1毫米，推算出20张、30张……100张纸的厚度，从而感受不同厚度的实际大小；并得出测量一本书的厚度，只需要知道一本书有多少张纸，就能推算出来。

【课堂实录】

▲10本数学书有多厚？

师：出示10本数学书摞起来：感受10本数学书的厚度。

师：你能用手比画一下吗？

师：算一算，有多厚？你是怎样想的？

师：是这样的吗？谁能上来量一量？

▲100本数学书有多厚？

师：100本书有多厚？你能解决这个问题吗？

生动手操作，并交流。

计算的方法：100里面有10个10本，10本厚6厘米，10个6厘米就是60厘米，也就是6米。

模型演示的方法：依次逐步叠加出示5个10本书的模型。请学生看一看，感受厚度增加的过程。

师：谁上来指一指，100本书的厚度到哪个位置？

再次叠加50本的模型，学生感受100本数学书的厚度。

第二次：教师组织学生进行数学书的测量。通过一本书的厚度，推算10本书的厚度，并进行测量验证，比画感受，建立10本书厚度的表象。

100本书的厚度，让学生先推算，再想象厚度。这个过程对二年级的学生是有难度的，因此，教师设计了10本书厚6厘米的纸模型，通过逐步叠加，让学生亲眼看到过程，并直观体会。教师通过对测量数据的分析与思考，帮助学生建立100本书厚度的表象。同理，对纸的厚度，也用了这样的方式进行。

教师提问：书的本数不同，为什么表示厚度的数据都是6呢？激发学生分析与思考：厚度的单位不同，表示的厚度也不同。此时，通过学生的思考，进一步加深学生对各长度单位之间关系的理解。

三、推理——直观感知与推理想象相结合

对于较大数据厚度的感知，学生较难获得直观感觉进而形成表象。此时，就需要教师设计学习活动，帮助学生借助参照量增强对“量”的感知，进一步引导学生将直观感知与推理想象相结合，让学生对较大数据厚度形成直观认识。

【课堂实录】

▲1000本书呢？10000本书呢？

师：你能像刚才那样，算一算、填一填吗？

全班交流：1000本书大约厚60分米，也就是6米，10000本书大约厚60米。

直观感受：

1000本书：我们所在的教室，一层大约3米，（教师用两把米尺进行叠加）两层就是大约6米。

10000本书：小区楼房20层的高度。

师：1本书，10本书，100本，1000本，怎么厚度都是6呢？

师：单位不同，表示厚度也不同。1000本里面有10个100本，100本厚6分米，1000本就厚10个6分米，是60分米，1米等于10分米，60分米也就是6米。

师：同样的，100本里面有10个10本，6分米里面就有10个6厘米，是60厘米。那6米呢？6米=60分米=600厘米。我们把单位放大，数据就能瘦身，用更简洁的方式来表示数的厚度。

测量了100本书的厚度，推算1000本、10000本书的厚度。学生能推算出1000本书是10个100本，厚60分米，也就是6米。对于6米的实际高度，教师借助学生熟悉的米尺进行高度叠加。学生参照楼层高度，对1000本书的厚度有了直观感知。同样，10000本书厚60米，60米有多高呢？学生觉得太高了，想象不出实际的高度，于是教师就提供了学生熟悉的生活场景：操场边的小区大楼。通过20层楼，高60米，让学生感知10000本书厚60米的实际高度。

【课堂实录】

师：老师为每组同学提供了一沓A4纸，仔细观察，你找到了什么数学信息？（一沓500张）

师：500张纸有多厚呢？你还能推算出1000张纸，10000张纸的厚度吗？

全班交流，明确推算的过程和单位。

生：500张厚5厘米，1000张里面有2个500张，就是10厘米。

师：出示两沓A4纸的照片。

师：10000张纸有多厚呢？

生：10000张里面有10个1000张，就是10个1分米，10分米=1米。

师：出示20沓A4纸逐步叠加的照片。

1张纸有多厚？

师：同学们，现在我们这里有10000张纸，有1米高。但是，再薄的纸，也是有厚度的，一张纸到底有多厚呢？（倒推）

揭示：1毫米再进行平均分，分成10份，每份就是一张纸的厚度。

出示：你知道吗？揭示1毫米=1000微米

在学生测量并推算出10000张纸厚1米之后，教师提出问题：1张纸到底有多厚呢？学生答不出来。此时，教师通过数学模型与纸的厚度从大到小反向推理，让学生直观地感受到数据之间的关系，同时与长度单位之间的进率形成直观联系……逐步反向推理，100张纸厚1厘米，10张纸厚1毫米，1张纸的厚度呢？我们还要将1毫米平均分成10份——让学生看着尺上最小的刻度进行想象，感受一张纸的厚度。及时拓展，带着学生推算出1张纸厚100微米。这样的教学过程，让学生直观感知数据之间的关系，形成一张纸厚度的表象，与课的开头相互呼应，解决这节课的研究主题：“纸有多厚？”

二年级的学生在“纸有多厚？”主题研究活动的过程中，将书本数量、纸的数量联系实际，通过操作活动寻找数量和厚度之间的关系，并借助测量的结果进行分析思考、想象估计，形成厚度的表象，最终形成数学直观，感悟事物的本质。