借助几何直观 突破教学难点

周洁

一、教材分析

1.本课内容分析

小学数学教学在涉及抽象概念教学时会采用几何直观的方法开展教学，苏教版教材将“分数乘除法”内容分为分数乘法和分数除法两个部分，通过环环相扣的环节安排，加深学生的理解。在“分数乘法”的教学中，提出做一朵绸花要用米绸带，小芳做3朵这样的绸花，一共用绸带几分之几米的问题，使抽象的数学概念与学生的日常生活紧密相连，增强学习的实用性。

2.横向教材比较

在北师大版、苏教版、人教版三个版本的教材中，“分数乘除法”都是教学的重点，教学的共同特点是它们都通过几何直观的方式，帮助学生清晰地理解分数的概念。通过几何图形的拆分、组合和转换，学生能够直观地看到分数的运算过程，从而更容易掌握这些概念。此外，所有版本都强调将分数运算与现实生活联系起来，这不仅增强了学习的趣味性，还提高了学生理解应用运算概念的能力。

二、学情分析

六年级的学生通常具备一定的数学基础，已经学会基本的四则运算和初步的分数概念，然而，对分数乘除法的学习仍面临着一些挑战。在理解分数概念的深度上，六年级学生仍然停留在对分数作为“部分整体”的直观理解上，对于分数的更深层次概念理解不够深入。这就需要教师在教学中通过具体的几何直观示例来加深学生对分数乘除法运算规律的理解。

三、教学目标

1.充分理解分数表示的意义，能熟练进行分数的乘法和除法运算，学会运算过程中的约分化简。

2.通过解决分数乘除法相关问题，训练逻辑思维，使其能够独立分析问题、寻找解决方法。

3.将分数的知识应用于解决实际生活中的问题，增强数学的应用意识。

四、教学重点

在“分数乘除法”的教学过程中，教师的教学重点是让学生发现分数乘法和分数除法之间的内在一致性。要让学生理解分数乘除法之间的联系，教师需要让学生从算理的角度去探究。分数乘法在本质上是一种“乘积”的表示，即一个数被另一个数重复取多次。而分数除法则是分数乘法的逆运算，它表示的是一种“分配”的概念，即将一个数分成几个相等的部分。

五、教学过程

（一）借助学生知识经验，温故知新导入

师：同学们，我们来回顾一下乘法的基本概念。请想一想，如果一桶水有3升，那么5桶水共有多少升？

生A：老师，我知道，这就是简单的乘法运算。我们可以用“一桶水的体积×桶数=水的体积”的公式来计算。所以，3×5=15（升）。

师：很好，看来同学们都已经掌握了乘法的基本概念。现在我们来扩展一下这个概念，如果一桶水有3升，那半桶水是多少升呢？

生B：半桶水应该是3升的一半，所以应该是1.5升。

例题：

（1）如果一桶水有4升，那么   桶水是多少升？（学生列式：4×）

（2）一块巧克力重50克，   块巧克力是多少克？（学生列式：50×）

（设计意图：通过这些练习，学生不仅复习了之前学习的乘法概念，还逐渐理解了分数乘法的本质。）

（二）几何直观教学，借助图形搞懂算理

1.分数乘整数

生B：我是用画图的方法来计算的。我画了一个整体，然后把它分成10个相等的部分。我着色了其中的3部分，然后重复这个过程三次，最后统计着色的部分。

师：非常好，学生B用图形来表示这个乘法，这是一种直观的展示方法。现在，让我们看看学生B是怎样画的。（见图1）

师：同学们，你们通过图形表示了分数乘整数的过程，这帮助我们更直观地理解了这个概念。现在，让我们再来探讨一下，如果我们要进行分数乘分数的计算，我们该怎样用图形来表示呢？

（设计意图：学生通过实际操作和视觉化的表达方式，能够更深入地理解分数乘法的本质。）

2.分数乘分数

师：同学们，现在我们来探索一个新问题：如果有一个长方形，它的长是0.7分米，宽是0.3分米，这个长方形的面积是多少平方分米？请尝试列式计算。

（学生尝试计算后，开始全班交流）

生A：我觉得可以先把分数转化成小数来计算。所以长方形的面积可以用0.7乘0.3来计算，结果是0.21平方分米。

师：这是一种很好的计算方法。但是，我们还可以用另一种方式来理解这个问题，你能用画图的方式来解释你的计算过程吗？

展示生A的图形。（见图2）

生A：分母10乘以10表示我们把这个图形均匀分成100份，长为0.7分米，表示每行有7个这样的小份额，宽为0.3分米，表示有3行这样的小份额。所以，整个长方形覆盖了21个这样的小份额。

（设计意图：使学生掌握基本的计算技巧，深化他们对这一数学概念的理解。）

3.分数除法

师：同学们，我们已经学习了整数除法以及小数除法的相关知识。现在，让我们来看一个例子，试试看你们能否计算，请计算40除以2和0.4除以2。

学生开始计算这两道题。

（学生计算后，教师开始引导讨论）

师：你们是怎么计算的呢？能不能说出你们的计算过程和其中的道理？

生A：对于40除以2，我把它看作是4个10除以2，所以结果是2个10，即20。

生B：对于0.4除以2，我认为是4个0.1除以2，结果是2个0.1，也就是0.2。

师：很好，你们的计算是正确的。但你们提到了一个很有趣的概念——“10”和“0.1”。这些其实是我们的计数单位。在这两个例子中，计数单位发生改变了吗？

生：没有改变。我们是把它前面的数字拿来除的。

师：没错，这是一个非常重要的观点。我们在计算时，实际上是在操作计数单位前面的数字。现在，让我们用这样的方法来计算一个分数除法的题目。假设你有一张纸，你需要将它的七分之四平均分成2份。每份会是这张纸的几分之几呢？请尝试计算。

学生开始尝试解决这个问题。

生：每份是七分之二。

师：你是怎么算出来的呢？

生：因为4除以2等于2，所以每份是七分之二。我想的是，如果我们把纸分成7个等份，那么每份就是七分之一。在七分之四的部分，我们有4个这样的份额，如果我们将它们平均分成2份，每份就会有2个七分之一，所以答案是七分之二。

师：这是一个非常好的解释。现在让我们尝试更复杂的问题。如果我们要把一张纸的七分之四平均分成3份，每份会是这张纸的几分之几呢？

学生尝试计算后，教师继续引导讨论。

师：你们在解决这个问题时遇到什么困难了吗？

生：是的，我发现4除以3除不尽。

师：这是一个更有挑战性的问题。让我们一起用图形来帮助我们理解。假设我们将纸张分成7个等份，那么七分之四意味着我们有4个份额。如果我们要将这4个份额平均分成3份，我们需要理解这意味着每份不再是整数个七分之一了。让我们尝试在图纸上表示这个分配过程。

师：我们将一张纸分成7个相等的部分来表示七分之一。然后，我们着色其中的4个部分来表示七分之四。现在，我们需要考虑如何将这些着色部分平均分成3份。

学生在纸上绘制图形，尝试用视觉方法解决问题。

师：请注意，当我们尝试将这4个份额分成3份时，我们实际上是在分割每个七分之一的部分。这意味着我们不能再将每份视为整个七分之一，而是需要将每个七分之一的部分进一步分割。

学生依据指导在纸上画出分割的图形。

师：很好，现在我们可以看到，每份实际上包含了超过一个七分之一，但又少于两个七分之一的部分。这就是分数除以另一个分数时的复杂性。通过这个图形，我们可以更直观地看到每份的大致大小。

（设计意图：教师引导学生用图形表示分配的过程，帮助他们直观地理解分数除法在不整除情况下的应用。）

六、教学总结

（一）辩证看待借助几何直观代替运算

在教学中，我们采用几何直观的方法来教授分数乘除法。这种方法的应用是基于布鲁纳的多元表征理论以及其后学者对该理论的修正。布鲁纳原先提出的动作表征、表象表征与符号表征，以及后来的修正——操作模型表征、图像表征、书面符号表征，以及新增的口头语言表征、现实情境表征，这些都强调学习过程中多种表征方式的重要性及其相互转换。

（二）几何直观过程不适合纸笔测验

教学实践中展现了几何直观教学法的高效性。然而，这种方法并不适合纸笔测验。尽管几何直观在课堂上非常有效，但在标准化的纸笔测试环境中，其实用性较小。纸笔测验通常侧重于评估学生的最终结果，而非思考过程。当学生在试卷上画出直观示意图时，这些图形通常只能展示问题的最终结果，而无法反映学生得出这一结果的具体思考过程。

（三）几何直观应逐步退出学习过程

在“分数乘除法”的教学中，我们采用了几何直观的方法来辅助学生理解数学概念。但教师需要认识到学生对数学知识理解的四个水平（直观理解、程序理解、抽象理解与形式理解）。随着学生年龄的增长，他们的思维逐渐从具象、自我中心向抽象、结构化转变。因此，数学学习的过程也应该相应地从依赖直观模型逐渐过渡到更加抽象的思维方式。