关于动态几何问题解题策略的探究

马云飞

[ 摘 要 ]瓜豆原理在解析动态几何线段、轨迹、路径问题中十分常用，教学探究中需要引导学生总结方法技巧，探究轨迹模型，并结合实例探索构建思路.文章通过解读瓜豆原理，对其常见的两种类型进行应用探究.

[ 关键词 ]瓜豆原理；模型；轨迹；直线；圆弧

动态几何问题是初中数学重点和难点问题之一，该类问题往往以几何运动为背景进行综合构建.对于其中涉及主动点和从动点的情形，可以结合瓜豆原理模型，利用轨迹思想，明确主、从动点之间的关系，由轨迹入手逐步破解.下面深入探究瓜豆原理模型，探究解题思路.

方法技巧探究

探究瓜豆原理破解几何动态问题，需要关注以下三大重点：一是原理解读，二是满足条件，三是思路构建.下面分步探究，具体分析.

1.原理解读

瓜豆原理适用于主、从动点几何最值问题，内容核心为含有一个主动点和一个从动点，受到特定条件的约束，从动点跟随主动点运动，且两者的轨迹相同.古语：种瓜得瓜，种豆得豆，故而得名.因此该模型原理中有“种”圆得圆，“种”线得线.本质上瓜豆原理是关于几何旋转、相似的解析构造.

2.满足条件

瓜豆原理适用于几何动点问题，使用时需要满足三大条件：一是问题中含有两动一定；二是动点与定点之间的连线的夹角为定角；三是动点与定点的距离之比为一定值.

3.思路构建

使用瓜豆原理进行解题构建时，需分为五步，需要完成动点轨迹确认、解题模型构建及求解.构建思路如下：

第一步，确定主动点的轨迹；

第二步，探寻主动点与从动点之间的关系；

第三步，确定主动点轨迹的起点、终点；

第四步，结合相似知识，确定从动点的轨迹；

第五步，根据动点的轨迹来构建模型，求解点、线、圆背景中的路径长或线段长.

轨迹模型探究

瓜豆原理的轨迹模型常见的有两种，一种是运动轨迹为圆弧，另一种是运动轨迹为线段.探究解析时需要深入解读模型，掌握其解析思路，总结相应的结论，为后续的应用探究打下基础，下面开展模型探究.

模型1：轨迹为圆弧模型

引例：如图1（a），P为圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP的中点.

思考①：当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么样子的？

思考②：分析点Q的轨迹，它与圆O之间有何关系？

总结：在上述轨迹为圆模型中，确定点Q的轨迹，实则就是确定其圆心和半径，需要从以下三大视角审视模型.

①共线分析：在模型中始终存在三点共线，即点A，Q，P始终共线，由此可得点A，M，O共线.

③缩放分析：从几何缩放视角分析，可将点Q的轨迹视为点P的轨迹的比例缩放.

基于上述轨迹为圆模型分析，在实际解析时需要关注两大关系：一是根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；二是根据动点之间的数量关系分析轨迹为圆时半径之间的数量关系.

模型2：轨迹为线段模型

引例：如图2（a）所示，△APQ为等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ.

思考：当点P在直线BC上运动时，点Q的轨迹是怎样的？

分析：当AP与AQ的夹角固定，并且两者的比值为定值时，点P和Q的轨迹为同一几何图形.分析点Q的轨迹，可以任取两个时刻的位置，连接即可.如提取其中的特殊位置，起始点和终止点位置，再连接即可确定点Q的轨迹线段，如图2（b）所示.

总结：对于上述轨迹为线段模型，需要满足对应的必要条件，有两种情形，一是主动点、从动点与定点连线的夹角为定量，即∠PAQ是定值；二是主动点、从动点到定点的距离之比是定量，即AP∶AQ是定值.

模型示例探究

上述探索了瓜豆原理，解读模型、总结方法思路，并对其中的两种模型进行深入探究，形成了相应的解析策略.下面结合实例具体探究，进一步总结方法策略.

1.瓜豆原理之直线轨迹问题

例1 在如图3所示的平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），P是x轴上的一个动点.现把线段PA绕着点P顺时针旋转60°，得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 .

思路分析：本题目为动态几何求线段最值问题，以线段PA旋转为背景进行综合构建.分析可知其中点A为主动点，点F为从动点，两点之间由几何条件进行串联.问题解析时，可以结合瓜豆原理，先确认动点轨迹，再构建最值模型.

过程解析：由条件可知，线段PA绕点P顺时针旋转60°后得到线段PF，根据旋转特性可知∠APF= 60°，PF=PA，可推知△APF是等边三角形，则有AP=AF.需要讨论点F的位置，分两种情形：情形1，点F在x轴上；情形2，点F在y轴上.下面分别构建模型，讨论分析.

评析：上述求解线段的最小值时借用了瓜豆原理，分析其中的主动点与从动点的关系，根据主动点的轨迹确定从动点的轨迹为直线，属于瓜豆原理中的直线轨迹类型.探究解析时需要关注两点：一是分析确定主动点轨迹的起始点和终止点；二是把握主动点与从动点的几何关系.

2.瓜豆原理之圆弧轨迹问题

例2 如图5所示，A为坐标系第一象限内的定点，P是以O为圆心，2个单位长度为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB.当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是 .

思路分析：本题目为与圆相关的动态几何求路径问题，题目设定了点P的轨迹，探求点B的运动路径长.需要把握其中的核心条件，即点B是以AP为边所作的等边三角形的一个顶点.分析可知问题满足几何中的瓜豆原理，点P为主动点，点B为从动点，即可确定点B的轨迹，后续再根据移动轨迹求路径.

过程解析：连接AO，OP，将AO绕点A逆时针旋转60°，得线段AO′，连接O′B，OO′，如图6所示.

评析：上述求解动态几何中的路径长，使用了瓜豆原理，分析其中主动点与从动点的关系，确定动点的轨迹，进而完成路径求解.对于瓜豆原理中的圆弧轨迹问题，需要注意两点：一是分析其中的几何特性，构建主动点与从动点之间的联系；二是关注动点的运动轨迹，包括圆弧的圆心和半径长.

解题教学建议

上述对动态几何中的瓜豆原理进行深入探究，总结了方法技巧，解读了模型特性，并结合实例对两种轨迹类型进行探究，下面提出几点建议.

1.深入知识本质，总结方法技巧

瓜豆原理模型是破解动态几何问题常用的方法策略，探究解析时需要注意深入知识本质，同时全面解析突破的方法技巧.教学探究时，可从以下三个方面进行：一是具体解读模型的原理，挖掘知识本质；二是对其适用条件进行剖析，分析条件之间的关联；三是构建解题应用的思路，形成分步策略.

2.总结模型类型，实例探索构建

动态几何问题在初中数学中十分常见，利用瓜豆原理模型探究突破时要注意类型解读，并结合实例分类构建.教学中教师需对常用模型进行深入分类解析，即轨迹为直线型和轨迹为圆弧型，并精选问题引导学生体验构建过程.教学时需要注意以下三点：一是对类型进行引例分析，总结解析思路；二是实例探究注意思路引导，引导学生逐步思考；三是注意解后评析，让学生思考解题过程，总结方法思路，积累解题经验.

3.渗透思想方法，提升综合素养

在动态几何问题的探究解析中，教师需要注意合理渗透数学思想方法，通过思想方法教学来提升学生的综合素养.教学时可从以下两个方面进行：一是渗透模型思想，构建瓜豆原理的解析模型，引导学生关注模型构建的过程；二是渗透数形结合思想.动态几何问题解析时需要利用数形结合的方法技巧，教学时要引导学生掌握具体的方法，由“数”照“形”，以“形”释“数”.