初中数学支架式教学模式的探索与实践

陆晓松

[ 摘 要 ]最近发展区理论、社会建构主义理论、认知建构主义理论是“支架式”教学模式的理论基础.研究者以“因式分解”的教学为例，从“做数学”的角度出发，分别从“设计组块支架，揭露概念的发生与还原过程”“设计补偿支架，体验概念的同化与顺应过程”“设计共变支架，领悟概念的冲突与统一关系”三方面展开教学与思考.

[ 关键词 ]“支架式”教学；最近发展区；教学

支架式教学模式是基于最近发展区理论发展而来的一种教学方式，它强调主动建构的重要性，而教师适当的点拨与引导就是为学生提供支架的过程，当学生获得自主解决问题的能力后，教师再将支架撤销.本文以“因式分解”的概念教学为例，具体谈谈如何在教学中借助实验设置支架，以提高教学效率，增强学生对知识的自主建构能力.

理论基础

1.最近发展区理论

维果斯基认为人的认知实际发展水平与潜在发展水平之间存在一个区域为“最近发展区”.这就好比登山的起点与山顶之间的区域，想要从起点出发到达山顶，需要付出很大的努力.本文所提到的支架就如同陪跑者的搀扶，让登山的过程更加顺畅.如图1，教师通过对学生已有认知水平的研究，确定其潜在发展水平，再以各种手段为学生搭建合适的支架帮助学生突破困难，完成学习任务.

2.社会建构主义理论

该理论认为学习是个体与同伴之间的互动过程，学习主体在文化支架的辅助下积极参与实践活动，并学会应用相关工具习得新知.同时，该理论强调数学教学要创设合理的情境，为学生提供丰富的教学素材、工具与引导等，以更好地帮助学生建构新知.支架式教学就是在这种理论基础上形成与发展而来的，它可以更好地帮助学生掌握并建构新知.

3.认知建构主义理论

该理论认为当新知进入学习主体的认知范畴时，学习者原有的认知结构与新知之间会形成一种不平衡的冲突状态，人脑则会想方设法地将新知与已有的知识结构勾连起来，通过同化或顺应，将新知纳入原有的知识体系中，扩充知识结构，达到新的认知平衡.学生的认知就在这种循环往复中不断发展、推进.支架式教学就是基于此基础，以支架作为新旧认知之间的桥梁，构建新的知识体系.

教学实践

1.设计组块支架，揭露概念的发生与还原过程

组块是指人脑将一些类似的物体感知为一个组块的能力，如常见的“问题反映块”就属于组块的范畴.从人脑组织结构的角度来分析，我们的左脑擅长概念、语言、细节、逻辑思维、计算或抽象思维等常规思维，右脑则对形象思维、音乐欣赏、图像认知与三维空间等有着直接影响.从左右脑的分工来看，右脑承载着数学发现与创造的功能.

基于以上分析，我们在设计认知支架时，可结合大脑分工特点进行创设，从不同角度培养学生的学习能力与创造意识.设计时，教师需思考如下问题：①设计的支架要便于知识的“再发现”；②设计的思维组块可将学生置于问题中，促进常规思维与创新思维的互换；③通过解决问题让学生亲历概念的发生与还原过程，落实教学目标.

教学活动一

（1）如图2，要求学生以实验的方式，用2张B型纸与1张C型纸拼接成一个长方形，计算拼接而成的图形的面积，并写出等式.

（2）将1张B型纸全部覆盖于C型纸上，求未被覆盖部分的面积，并写出等式.

第一步 分别准备2张B型纸与1张C型纸，学生自主拼图形成图3①.结合图示，从局部出发可知大长方形的面积为a2+2ab；而从宏观的角度来分析，长方形的面积为a（a+2b）.从这两种计算方法可以看出左右脑呈现出来的思维差别.将两种计算方法结合在一起就组成等式：a2+2ab=a（a+2b），此为一般化思维的过程，是学习的一种常见模式.

第二步 学生自主将1张B型纸全部覆盖于C型纸上，大部分学生呈现的结果如图3②所示.从局部的角度分析，未被覆盖部分的面积为a2-ab；而从整体的角度来看，未被覆盖部分的面积为a（a-b），此为右脑认知在发挥具体的作用.从不同的角度来观察会获得不同的思维，结合以上分析，可得等式：a2-ab= a（a-b）.此为一种数学常规现象，属于将“合情”上升至“合理”，属于概念的有序抽象.

第三步 从算理内部关系出发，验证以上新发现的两个等式是否合理.此过程中，以“单项式与多项式相乘”的方法即可确定其科学性，如计算a（a+2b）与a（a-b），就能揭露整式乘法和因式分解的互逆关系.

设计意图 此环节的设计以实验组块模式为主，意在引导学生从直观的视觉中感知因式分解的内涵与本质.学生在探索过程中，如果把拼长方形的活动视为“组块支架”，那么活动过程中的拼图、算图以及抽象而来的结论则是将“新异”转化成一种数学常规并抽象出相应概念的过程，属于认知的一般方式.同时，单项式与多项式相乘知识的应用，可帮助学生还原概念的发生过程，让学生从真正意义上理解因式分解的概念与内涵.

2.设计补偿支架，体验概念的同化与顺应过程

补偿支架一般以“做数学”的方式植入逆向思维，帮助学生建立概念与概念的关系体系，这对促进学生数学思维的发展具有重要意义.常见的方法是带领学生从不同的视角来观察与分析问题或通过一题多解发散思维.如结合图示来描述因式分解的概念时，就可应用“像这样……，称为……”的表述模式体现概念的关系，这属于感性思维的补偿.

由于“拼图”活动的开展，学生的思维从感性转化为理性，并在操作与思考中初步发现概念的存在.“变形”过程主要体现在将因式分解和整式乘法建立逆向关系上，这是对概念进行系统表达的基础，能帮助学生更好地抽象与补偿概念的属性（等号右侧为几个整式的积）.

从认知建构心理学出发，学生建构概念必须经过同化与顺应两个过程.课堂上，对因式分解概念的同化主要通过拼图法来暴露“整式乘法”的算理；对概念的顺应则于“变式拼图”的基础上，通过变形思想的应用将因式分解的内部关系暴露出来，以扩大学生的经验应用范围，促使学生更好地理解因式分解.

教学活动二

（1）取图2所示的A，B，C型纸各1张、3张、2张拼接成长方形，从不同角度对所拼图形的面积进行计算，将不同算法列成等式.

（2）借助拼图来因式分解二次三项式a2+4ab+3b2.

第一步 学生自主拼图（图4①），从整体与局部两个维度出发，针对拼接而来的长方形的面积可列出式子2a2+ 3ab + b2与（a + b）（2a + b），第一个式子是大脑枕叶的视觉思维发挥了作用，学生从可视化的图中发现二次三项式的系数实则为各种规格纸张的数量.经探索，列出等式：（a+b）（2a+b）=2a2+3ab+ b2，此为概念的同化过程.

第二步 如图4②，通过拼图分解因式a2+4ab+3b2（二次三项式）.将该式转化成纸片的张数为概念的补偿和变式，而拼图的过程则属于分解因式的过程，即a2+4ab+ 3b2=（a+b）（a+3b）为概念的顺应.此过程显然扩大了经验的适用范围，也就是把“整式乘法”扩展到“因式分解”，充分丰富了学生的脑认知经验.

设计意图 补偿支架的设置，让学生在算图思维的参与下学会按张或按式拼图建构概念关系.由此，使得学生对因式分解的内涵有了更进一步的认识.若将“拼图与算图”理解为概念的同化，则“张”与“式”间的变式就是概念的顺应，此过程凸显了数学思维的可逆性与补偿性，有效促进了概念关系的建立.

3.设计共变支架，领悟概念的冲突与统一关系

“共变”本为哲学领域常用的一个词，是一种变量思想，揭示变量运动变化的共同趋势，应用到数学领域则具备抽象与普遍性特征.如我们所熟悉的“举一反三”“道生无限”等，就属于共变的常规形式.共变支架模式的设计，可从“不确定”的角度出发，如半开放、开放、反观开放与条件性开放等都属于“不确定”共变支架的类型，常见的有“请举例描述你对某个概念的理解”“请设计一个类似的实验”等.

从数学层面上来说，一些不确定性往往预示着创新的开始，对促进学生创造思维的发展有积极的意义.教师可在此环节设计一些具有相关性的问题，让学生身处与之类似的情境中，逐渐完善对单个概念、单元概念以及系统概念的关联认识.如利用“a×a，b×b，a×b（a > b）”规格的纸张进行拼接长方形的实验，教师可结合学生的认知水平设计具有一定层次的实验组块，从任意拼图写关系式出发，到从拼接而来的图形关系式着手，再到固定纸张数量拼图及关系式的书写等，这些都属于共变支架的应用.此过程中，用不确定的纸张数量来拼图最容易引起学生的思维冲突，能促进学生形成概念的共识，而算理推演和证悟的参与可有效化解学生的认知冲突，帮助学生形成概念的统一.此为共变支架应用的主要意义，对提升学生的领悟能力具有重要作用.

教学活动三

问题 尝试用图2中不同类型的纸张拼成面积为a2+4ab+b2的长方形，若不好拼，思考该如何添加纸张，以拼成相应的图形.

第一步 按照问题条件所给的关系式a2+4ab+b2进行任意长方形的拼接，通过手脑协作初步感知能否完成这个任务，从拼图的过程来判断该式是否可以因式分解，并说出判定依据.

第二步 与学生积极互动，适当点拨学生在拼图过程中通过添加纸片的方式解决问题，这是改变式子中单项式系数的做法，即把原式转化为一个新的二次三项式，使得由新的式子可以顺利拼出长方形.多项式a2+3ab+2b2与a2+4ab+4b2为大部分学生研究的内容，如图5，拼接而成的长方形与正方形关系式分别为a2+3ab+2b2=（a+b）（a+ 2b）与a2+4ab+4b2=（a+2b）2.

设计意图 该活动的设计意在通过式子引发学生的拼图认知冲突，让学生从拼图中感知并不是所有的二次三项式都具备可因式分解的特征，这是外显因式分解本质的过程.而纸张的调整则直接将多项式中各单项式的系数问题暴露在学生面前，让学生通过不断地尝试拼长方形，以化解原来不好拼图的认知冲突，从真正意义上实现概念的共变与证悟，发展学生的探究意识与逆向思维.

总之，支架式教学的价值并不仅仅局限于概念的探索，还体现在学生“做数学”过程中产生的兴趣、好奇等.事实证明，组块支架、补偿支架与共变支架等可将一些“新异”知识转化为“常规”内容，这是促使左右脑协调的过程，对同化与顺应概念、发展学生的数学创造力具有重要意义.因此，这是一种发展学生数学核心素养的教学模式，值得每一位教育工作者去研究与探索.