数学文化类主题式教学的探索与实践

徐友勇 周炼

[ 摘 要 ]文章从世界名画《蒙娜丽莎》入手，以数学文化视角设计了艺术欣赏、工具开发、不同视角、绽放华彩、数字探秘、自然语言等活动，引导学生结合黄金分割等知识对该画作进行深入的研究，并总结了关于数学文化类主题式教学的两点建议.

[ 关键词 ]数学文化；主题式教学；黄金分割；蒙娜丽莎；斐波那契数列

基金项目：2022年江苏省教育科学规划课题“大概念观照下初中数学前建构教学的实践研究”（C/2022/02/01）.

研究起源

2022年4月，教育部颁发《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”），并在“课程内容”中指出：“以培养学生综合运用所学知识和方法解决实际问题的能力为目标，根据不同学段学生特点，以跨学科主题学习为主，适当采用主题式学习和项目式学习的方式.”另外，新课标在“课程性质”与“课程理念”中分别提到，“数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分”“关注数学学科发展前沿与数学文化”[1].主题式教学是响应新课标理念的先锋性尝试，没有统一的教材，要求教师根据课程目标灵活设计教学过程，合理开发课程资源，具有较大的探索空间.近年，关于数学文化教育的研究虽层出不穷，但落实到具体课堂时依旧无法摆脱工具主义和科学主义带来的单向性，无法真正将数学作为一种文化与生命存在的意义教给学生，而主题式教学提供了一种使文化摆脱知识束缚的突破口[2].本文以“从世界名画到黄金螺线”为例，对数学文化融入主题式教学进行了探索与实践，具有一定的实验性与前瞻意义，以期为新课标的落实提供切实可行的创新型案例.

教学设计

1.艺术欣赏：从世界名画说起

材料阅读 如图1，《蒙娜丽莎》（Mona Lisa）是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达·芬奇创作的油画，现收藏于法国卢浮宫博物馆.该画作主要表现了女性典雅和恬静的典型形象，塑造了资本主义上升时期一位城市有产阶级的妇女形象.《蒙娜丽莎》代表了文艺复兴时期的美学方向.该作品折射出来的女性深邃与高尚的思想品质，反映了文艺复兴时期人们对于女性美的审美理念和审美追求.

问题1 你认为《蒙娜丽莎》这幅画美在哪里？可以从不同角度谈谈你的想法.

活动1 眼睛是心灵的窗户，如果将《蒙娜丽莎》中两只眼睛的端点分别视为一条直线上的四个点A，B，C，D，并测量其中的线段的长，你发现了什么？

学生展示 学生在绘图纸上描点、画线、测量，并在计算后得到了接近黄金比的数值.

画板验证 教师运用几何画板构造点B是AC，AD的黄金分割点，点C是BD，AD的黄金分割点（如图2），将其放缩并与眼睛比对后发现，两者基本吻合.

问题2 你能结合图2复习“黄金分割”的相关知识吗？

设计意图 《蒙娜丽莎》在艺术领域的举足轻重地位，不仅体现在它独特的历史意义与人文价值上，其背后的美学原理更是不可多得的跨学科研究素材.该作品属于人物肖像画，俗话说“眼睛是心灵的窗户”，让学生从审美的发散性视角聚焦该画作中足够传神的眼睛是较为合适的.将眼睛抽象为点与线段后，学生通过画图、测量、计算等一系列活动，既能顺利回忆起“黄金分割”的相关知识，又丰富了艺术鉴赏方式，将数学与美学巧妙地融合，这正是数学作为一种文化的高度体现.

2.工具开发：再研究世界名画

问题3 《蒙娜丽莎》极高的审美价值一定不只与眼睛有关，同学们认为该画作中还有哪些地方也能体现出黄金分割？仅靠一把刻度尺够吗？

学生质疑 在活动1中，以画作中的眼睛为目标的画图、测量、计算已占用不少时间，若换成无目的地操作，将不利于大家对全画进行高效、深入的研究.

学具说明 看来刻度尺已无法胜任此项工作，我们有必要开发一种能直接看出黄金分割点的测量工具.教师查阅资料后发现“黄金分割尺”具备这样的功能.黄金分割尺：用螺钉将两根长度相等的木条AB，AC的端点A固定，点D是木条AB的黄金分割点，并在木条AC上取点F，使得CF=BD.再取一根与BD长度相同的木条DE，将其固定在D点处，并在木条DE上取点G，使得DG=AD.最后取一根与AD长度相同的木条FG，并将其两端分别固定在点F，G处（如图3），那么点E为线段BC的黄金分割点[3].

问题4 若将“黄金分割尺”抽象成几何图形（如图4），你能对其运作原理进行证明吗？

设计意图 学生初学黄金分割时，教师曾用“芭蕾舞演员”“东方明珠”等情境引入，但这些素材均是从高度体现黄金分割的.《蒙娜丽莎》中有多处蕴藏了黄金比，假如依旧通过测量、计算的方式研究明显是不高效的，因此产生了引入“黄金分割尺”的必要性.接着，教师让学生分析“黄金分割尺”的构造，证明其操作原理.证明“黄金分割尺”的操作原理时，学生综合运用了相似三角形、菱形、等腰三角形等知识，对黄金分割进行了知识的再建构.事实上，将黄金分割作为开发一种新工具的制作原理，这本身也是数学投身于生产、制造方面的一种文化价值体现.

3.不同视角：别样的黄金分割

活动2 利用“黄金分割尺”找到画作中其他符合黄金比的部位，并将黄金分割点标注出来，利用平板拍照上传至班级云空间，及时共享研究成果.

问题5 从同学们上传的照片来看，你们找到了很多除眼睛外能体现黄金比的部位，如鼻子、下巴等.事实上，这些部位均能抽象为某条线段.若研究视角由线上升到面，你们认为蒙娜丽莎的脸也符合黄金比吗？

设计意图 在前两个环节中，学生对黄金分割的认识依旧停留在点、线层面，哪怕是引入“黄金分割尺”后也仅仅增加了研究的开放性.当教师启发学生将视角从眼睛蔓延到脸部、从线上升到面时，便顺势由黄金分割点引出黄金矩形.黄金矩形的出现不仅承接了前面黄金分割知识的运用，也是后续研究五角星、斐波那契数列、黄金螺线等体现数学文化内容的知识起点，其在整节课中起到了承上启下的关键作用.

4.绽放华彩：黄金矩形的演变

活动3 你能借助“黄金分割尺”在透明纸上作一个宽为5 cm的黄金矩形吗？在作出黄金矩形的基础上，你能通过尺规再作出一个黄金三角形吗？请5人为一组，讨论用这些全等的黄金三角形能否拼出五角星，并给出具体方案.

学生展示 分别以点C，D为圆心，以矩形长为半径画弧交于点E，得到黄金三角形CDE（如图6），并以底边首尾相接的形式将5个黄金三角形拼成五角星.

画板验证 由于正五边形的中心角是72°，通过几何画板将黄金三角形绕着中心依次迭代旋转4次（如图7），便可得到一个五角星（如图8）.此时，再运用“动画”的“显示”功能，将五角星呈现于“五星红旗”之上（如图9）.

设计意图 设计在黄金矩形的基础上作黄金三角形这一活动，不仅可以让学生体验以黄金比设计图形的美学文化，也发展了学生的作图能力与推理素养.另外，五角星是以黄金比构造图形的极致体现，最早被发现在公元前3000年的美索不达米亚文献中，其本身就蕴含了丰富的数学文化.在本节课中，无论是让学生拼五角星，还是在画板中演示五角星的生成过程，均让学生参与了数学文化的创造过程.最后，将五角星在国旗上呈现更是将数学文化与爱国主义教育相结合，在国内外文化的碰撞与融合中为学科育人提供了一种新的视角.

5.数字探秘：黄金矩形的真相

材料阅读 除了能演变为五角星的黄金矩形，在数学史上有一类矩形也很出名，它们由斐波那契数列构造而成.斐波那契数列的前两项均为1，后面每一项均由前两项相加得来，如：1，1，2，3，5，8，13，21…从边长为1，1开始，依次往后取两项作为宽与长，可以构造一类矩形.

问题6 你认为黄金矩形与这类矩形有什么关系？

画板验证 利用几何画板的“放缩”功能，将黄金矩形拖动至由斐波那契数列构成的矩形处进行比对（如图10）.发现随着斐波那契数列的后移，这类矩形越来越接近黄金矩形.

问题7 你能否从数的角度，进一步验证你的猜想？

计算验证 打开Excel软件，在A1栏输入1，A2栏输入1，A3栏输入A1+A2，往下拖动即可形成斐波那契数列.接着在B2栏输入A1/A2，往下拖动即可形成斐波那契数列前一项与后一项的比值.发现该比值随着数列的后移，确实越来越接近于黄金比（如图11）.

问题8 无论是比对图形还是计算比值，都仅仅是通过研究有限种情况进行的猜想.你能对该结论的一般性进行证明吗？

设计意图 黄金矩形与斐波那契数列之间有密切的关系，但又有“形”与“数”的本质区别，如何由“形”到“数”自然过渡是需要教师重点思考的问题.设计以黄金矩形比对用斐波那契数列构造矩形的实验，是为了引导学生从图形角度初步感悟两者之间的关联，接着借助Excel软件从“数”的角度计算验证，最后通过代数推理完成证明.这一探索过程中的数形结合、合情猜想、推理论证等元素均是数学文化中思想与方法的体现，能让学生以数学文化视角来研究数学文化，进而揭示黄金矩形背后的数学真相.

6.自然语言：优美的“黄金螺线”

材料阅读 在黄金矩形中靠着三边作正方形，剩下的部分也是黄金矩形，可以依次再作正方形.将这些正方形的顶点按顺序连接，可以得到一条“黄金螺线”.在由斐波那契数列构成的矩形中，从最小的矩形开始依次画弧，构成的曲线可以近似地视为“黄金螺线”（如图12）.

文化欣赏 之前同学们发现《蒙娜丽莎》中有多处符合黄金比，事实上整幅画就处于“黄金螺线”之中（如图13）.“黄金螺线”广泛存在于自然界、艺术、建筑等领域，如帕特农神庙（如图14）、银河系（如图15）.由此可见，数学作为大自然的语言，既是我们生活的世界的重要组成部分，也促进了人类文明的发展.