核心素养导向下初中数学作业设计的基本策略

韦春兰　黄江泉

［摘 要］文章基于核心素养导向，提出初中数学作业设计的八个基本策略：进行知识梳理，设计面向全体学生的知识型作业；注重方法总结 ，设计面向大部分学生的方法型作业；重视能力提升，设计面向学有余力学生的能力型作业；强化错误剖析，设计基于思维优化的纠错型作业；注重知识应用和思想渗透，设计基于素养提升的拓展型作业；基于模型观念，设计一题多解与一题多用型作业；进行一题多变，设计基于创新意识培养的创新型作业；基于应用意识培养，设计跨学科型和实践型作业。

［关键词］核心素养；初中数学；作业设计

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）08-0008-04

数学课程要培养的学生核心素养主要包括三个方面：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。核心素养导向下，教师应设计有针对性的数学作业，以强化学生的抽象能力、空间观念、运算能力、几何直观、数据观念、应用意识、推理能力、模型观念、创新意识等，在让学生通过数学作业的训练获取数学知识、形成数学技能的同时，落实数学核心素养。

那么，核心素养导向下如何设计科学有效的初中数学作业呢？

一、进行知识梳理，设计面向全体学生的知识型作业

深刻理解数学概念，牢固记忆数学公式、法则、性质、定理，是数学学习的基本要求。知识的理解和记忆是通过解决问题和不断训练来实现的。面向全体学生是教学的基本点和出发点，初中数学作业设计更是如此。教师应对知识进行梳理，设计面向全体学生的知识型作业，以巩固学生的基础知识。

例如，在“一元二次方程”的教学中，笔者设计了以下知识型作业。

1.找出其中的一元二次方程，并说明其他方程不是一元二次方程的原因。

① [5x2-3=0]

② [2x2+3y2=5]

③ [x2-4=5]

④ [x2+1x2=2]

⑤ [5x2-x=0]

⑥ [x2+13=x+5]

⑦ [3x2-6xy+5y2=0]

⑧ [2x2-3x=5x2-1]

2.将以下方程化为一元二次方程，并写出其中的常数项、一次项系数以及二次项系数。

① [（x+3）（2x+5）-x（3x-1）=15]

② [2x2-1=6x]

3.①若[（m-2）xm2-2+x-3=0]是关于[x]的一元二次方程，则[m]的值是                   。

②若关于[x]的方程[（m-3）xm-1=5]是一元一次方程，则[m]的取值是                     。

又如，在“整式的乘法”的教学中，笔者设计了如下一组落实各种运算的知识型作业。

1.计算下列各题：

（1）[3a4·a3+（-2a3）2·a]

（2）[-13+ab13+ab]

（3）[（a+3）2-（a+3）（a-3）]

2.已知[am=2]，[an=3]，则[a2m+3n]=                  。

3.已知[a=255]， [b=344]，[c=533]，则[a]、[b]、[c]的大小关系为                  。

4.如果[（2x+1）（x-2）=2x2+mx-2]，那么[m]的值是                  。

5.计算[（3x+y）（3x-y）（9x2+y2）]。

6.先化简，再求值：[（x+2y）2-（x+y）（x-y）]，其中[x=-2]，[y=12]。

二、注重方法总结 ，设计面向大部分学生的方法型作业

熟练掌握数学方法，是数学学习的又一基本要求。数学方法的掌握须通过系统的训练和总结才能完成。因此，数学作业设计要充分考虑大部分学生的实际情况，着重于学生数学思想方法的掌握。

例如“一元二次方程”的作业设计，就要以一元二次方程的解法作为重点，设计着重解法训练和方法总结的作业，帮助学生掌握一元二次方程的相关解法。对此，笔者具体设计了下列方法型作业。

解下列一元二次方程。

（1）[3x2-27=0]

（2）[（3x-2）（3x+2）=8]

（3）[（x-2）2+1=8]

（4）[x2-2x-1=0]

（5）[y2-6y+6=0]

（6）[3x2-4x=2]

（7）[x2+4x=-3]

（8）[5x2+4x=1]

又如，在设计“用待定系数法求二次函数表达式”的作业时，笔者设置了根据各种条件求二次函数的表达式的练习题，让学生反复训练，熟练掌握方法。

根据下列条件求二次函数的表达式：

（1）二次函数的图象经过点（-1，0），（3，0）和（0，3）。

（2）二次函数的图象经过点（-1，0）和（0，-3），对称轴是[x=1]。

（3）二次函数图象的顶点坐标是（1，-4），与[y]轴交点的坐标是（0，-3）。

（4）当[x=1]时二次函数有最小值-4，与[y]轴交点的坐标是（0，-3）。

（5）当[x=1]时二次函数有最小值-4，与[x]轴的两交点的距离为4。

（6）二次函数的图象与[x]轴的交点为A（-1，0）和[B]（3，0），与[y]轴的交点为[C]，且[BC=32]。

三、重视能力提升，设计面向学有余力学生的能力型作业

数学作为一门重要的学科，对于培养学生的逻辑思维能力、分析与解决问题的能力具有至关重要的作用。在数学作业设计中，教师要为学有余力的学生设计一些能力型作业。

例如对于“一元二次方程与系数的关系”这部分内容，笔者设计了以下难度呈阶梯式递增的能力型作业。

已知[m]、[n]分别是一元二次方程[x2-3x+1=0]的两根，求[m+n]与[mn]的值。

变式1：已知[m]、[n]分别是一元二次方程[x2-3x+1=0]的两根，求[m2+n2]的值。

变式2：已知[m]、[n]分别是一元二次方程[x2-3x+1=0]的两根，求[（m-n）2]的值。

变式3：已知[m]、[n]分别是一元二次方程[x2-3x+1=0]的两根，求[nm+mn]与[m3n+mn3]的值。

变式4：已知[m]、[n]分别是一元二次方程[x2-3x+1=0]的两根，[p=m2+9+n2+4]，求[p]的最小值。

变式5：设关于[x]的一元二次方程[x2+px+1=0]有两个实数根，一个根大于1，另一个根小于1，试求实数[p]的范围。

变式6：已知[m+n=8]，[mn=9]，求[m]与[n]的值。

变式7：已知[m]、[n]均为实数，且[2m2+m-1=0]，[2n2+n-1=0]，求[m]、[n]的值。

变式8：已知直线[y=2x+1]与抛物线[y=2x2+3x-1]相交于[A]、[B]两点，求[AB]的长。

变式9：已知Rt[△ABC]的两直角边[a]、[b]是方程[x2-（m+1）x+m-1=0]的两根，斜边[c=17]，求Rt[△ABC]的周长和面积。

四、强化错误剖析，设计基于思维优化的纠错型作业

“会而不对，对而不全”是学生在数学解题过程中出现的问题。究其原因是学生没有真正理解知识的本质和关联，对问题缺乏深度思考。数学作业设计应注重设置易错题，引导学生剖析错误，找错因及纠正方法，真正明白自己为什么不会及为什么犯错，从而避免再犯错。

例如，在“整式的乘法”的作业设计中，笔者设计了以下纠错型作业，以加深学生对数学运算的理解。

解答下列题目：

（1）计算：[（a2）4+a4?a3?a]。

（2）计算：[-１4x-3y-１4x+3y]。

（3）计算：[（3x+2y）（3x-2y）-（2x-y）2]。

（4）已知[x2+（m-1）x+25]是完全平方式，则[m]的值为           。

第（1）题通过计算强化学生关于幂、积的乘法掌握，提升学生解题的正确率。

第（2）题让学生在使用平方差公式时，不会出现只把字母平方而系数没有平方的错误。

第（3）题让学生避免因多项式参与运算时没有加括号而出错。

第（4）题让学生避免因对完全平方公式的两种形式考虑不全而漏解。

五、注重知识应用和思想渗透，设计基于素养提升的拓展型作业

数学思想是数学解题的灵魂。在数学学习的过程中，除了要理解和记忆数学知识，还要学会对知识进行灵活应用，特别是要学会对数学知识背后的数学思想进行挖掘和提炼。因此，数学作业设计要注重知识的灵活应用以及数学思想的渗透，设计知识应用型作业和思想渗透型作业，进一步提升学生的学科素养。

例如，在“整式的乘法”的作业设计中，笔者设计了以下作业，对学生进行思维拓展训练。

1.知识应用型作业

公式、法则的逆用作业：

（1）设[2m=a]，[2n=b]，则用[a]、[b]表示[23m+2n=]       。

（2）计算：[122022×（-2）2023=]           。

（3）[（x+2y）2（x-2y）2=]              。

乘法公式的活用作业：

（1）设[s=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）]，则[s+1]=                。

（2）计算：[（x+2y+3）（x+2y-3）]。

（3）计算：[（a+2b-c）2]。

（4）已知[（m+n）2=25]，[（m-n）2=16]，则[mn=]                  ，[m2+n2=]                 。

（5）已知[x-1x=3]，则[x2+1x2=]          ，[x4+1x4=]              。

2.思想渗透型作业

（1）已知[x+2y-3=0]，则代数式[5x2+20xy+20y2]的值为             。（渗透整体思想）

（2）计算：[20222-2021×2023]。（渗透转化思想）

（3）如图1所示，大正方形的边长为[a]，单独剪切边长为[b]的小正方形[（a>b）]，之后把剩下的部分剪拼成一个矩形，求其面积，在这个过程中，我们得出了等式         。（渗透数形结合思想）

六、基于模型观念，设计一题多解与一题多用型作业

模型观念是重要的数学核心素养之一，许多数学问题都可以运用相应的模型进行解决。因此，在数学作业设计中，教师要多设计一题多解与一题多用型作业，以加深学生对数学模型的理解，提高学生的建模能力。

例如，在“角平分线”的教学中，笔者设计了如下一题多解与一题多用型作业。

如图2所示，已知AB∥CD，[∠BAC]和[∠ACD]的平分线[AM]、[CM]相交于[M]，过[M]作[AB]的垂线交[AB]、[CD]于[E]、[F]。

（1）求证：[AM⊥CM]；

（2）求证：[ME=MF]；

（3）求证：[AC=AE+CF]（要求用3种以上方法证明）；

（4）把题目中的条件“过[M]作[AB]的垂线”改为“过[M]作直线”，（1）、（2）、（3）的结论是否依然成立？若成立，请给出证明。

七、进行一题多变，设计基于创新意识培养的创新型作业

创新意识是学生的数学核心素养之一，为了能够有效培养学生的创新意识，笔者设计了如下创新型作业。

如图3所示，已知二次函数[y=ax2+bx+c]的图象与[x]轴相交于[A（-1，0）]，[B（3，0）]两点，与[y]轴相交于点C（0，-3）。

（1）求二次函数的表达式；

（2）若[P]是第四象限内二次函数图象上的任意一点，[PH⊥x]轴于点[H]，与[BC]交于点[M]，连接[PC]。

①求线段[PM]的最大值；

②当[△PCM]是以[PM]为一腰的等腰三角形时，求点[P]的坐标。

变式1：过点[P]作[x]轴的平行线交直线[BC]于点[D]，求[PD]的最大值。

变式2：过点[P]作[PF⊥BC]于[F]，求[PF]的最大值。

变式3：求变式1中[△PDM]的周长的最大值和变式2中[△PFM]的周长的最大值。

思考：把直线[BC]换成直线[y=32x-3]，变式1、变式2、变式3能否解决？

八、基于应用意识培养，设计跨学科型和实践型作业

培养学生的应用意识是发展学生数学核心素养的基本要求。跨学科型和实践型作业是培养学生应用意识的重要途径。因此，在数学作业设计中教师要适当设置一些操作性强、实际意义大的跨学科型和实践型问题，形成跨学科型和实践型作业，以培养学生的应用意识。

例如，在“直角三角形”的教学中，笔者设计了以下跨学科型和实践型作业。

1.如图4所示，在一条东西走向的公路旁安装有一个测速仪，测速仪的最大视角（[∠BAC]）为[120°]，与公路的距离（[AD]）是30米，一汽车从进入到离开测控范围（即由[B]到[C]）用了4秒。若该公路的限速是每小时80千米，问该汽车是否超速？（参考数据：[3≈1.7]）

2.如图5所示，为了测量学校旗杆AB的高度，小明站在操场的C处测得视线与水平线的夹角为[30°]，往旗杆方向前进10米到E处仰视看向[A]点，测得视线与水平线的夹角为[60°]，若小明的眼睛到地面的高度（CD）为1.6米，试计算旗杆[AB]的高度。

3.图6是一台手机支架，图7是其侧面示意图，[AB]、[BC]可分别绕点[A]、[B]转动，经测量知[BC=12 cm]，[AB=24 cm]。当[AB]、[BC]转动到[∠BAE=∠ABC=60°]时，观看比较适宜，试求此时点[C]到[AE]的距离（结果保留根号）。

另外，2023年广西中考数学试题第25题是一道典型的跨学科试题，我们可以将其改编为方程、函数应用方面的实践型作业，以此培养学生的应用意识。

总之，初中数学作业设计只有突出重点，立足于数学的具体内容，充分考虑对学生核心素养、数学思想方法的培养要求，才能让学生有效巩固数学知识、形成数学技能和提高数学素养。

（责任编辑 黄桂坚）