初中数学解题中侧向思维的有效应用

彭海燕

【摘要】在初中数学教学中，学生解题能力培养是教学的中点.初中数学题目类型比较多，解题方式多，为了能够有效提高学生解题能力，注重学生解题思维培养.侧向思维属于迂回思维，帮助学生突破解题，简化解题过程，提高学生解题效率.本文结合具体的数学例题，就侧向思维的应用进行探究，引导学生更好地解题.

【关键词】数学解题；侧向思维；应用策略

解题教学是初中数学教学的重要环节，通过解题，培养学生解题能力.侧向思维作为重要的解题思维，引导学生分析问题本质，明确问题解题思路，提高学生解题效率.作为初中数学教师，应当注重侧向思维的培养，帮助学生掌握侧向思维的应用方式，能够灵活用于数学解题中.

1 利用侧向思维，解决因式分解问题

在初中数学中，因式分解是重要的知识内容，此题难度有着较大的差别.在部分题目中，涉及到的项比较多，有些还有高次项.对于此类习题，注重课堂引导，让学生掌握解题方法，鼓励学生利用侧向思维，解决问题.在具体解题时，对题目进行分析，找出其中的规律，通过换元方式降次，利用已学知识解题.

例1 因式分解：（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）+15.

解析

在此题目中，涉及到的项较多，如果解题方法不当，很难解题题目.在解题时，如果对因式进行展开，会出现4次的高次项，可以利用侧向思维分析解答.

解

原式（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）+15转化为（x+1）（x+7）（x+3）（x+5）+15

即=（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15，令t=x2+8x+7，

所以 原式=t（t+8）+15=t2+8t+15=（t+3）（t+5），

所以 原式因式分解的结果是（x2+8x+10）（x2+8x+12）.

2 利用侧向思维，解决最值问题

对于数学最值问题，是初中学生比较熟悉的题目，一些题目在解题时，可以结合函数性质解题，对于一些难度大，正面无法解答的题目，可以让学生通过侧向思维解题［1］.

例2 如图1所示，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=x2－2x+2上的一个动点，经过A作x轴的垂线AC，垂足为C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，求解对角线BD的最小值______.

解析

通过对题目条件进行分析，有关BD的条件很少，想要从正面解题，难度很大.在具体解题时，教师可以让学生结合矩形的性质，利用侧向思维解题，找出BD与已知条件的关系，完成题目的解答.

解

因为y=x2－2x+2=（x－1）2+1，

所以抛物线的顶点坐标是（1，1），

因为四边形ABCD是矩形，

所以BD=AC，

因为AC⊥x轴，

所以AC的长度即是A点的纵坐标.

当点A为抛物线的顶点时，点A距离x轴的距离最短，最小值为1.

所以对角线BD的最小值为1.

3 利用侧向思维，解决角度问题

在初中数学解题中，涉及到角度值求解的问题.在此类习题解题时，解题方法比较多，利用侧向思维可以简化解题过程，提高学生解题效率.作为教师，结合具体的题目，与课堂分析侧向思维解题过程，加深学生解题题目.

例3  如图2所示，将圆O沿着弦AB进行折叠，圆弧刚好经过圆心O，点P是优弧AMB上的点，那么∠APB的度数是______.

解析

在此题解题时，题目内容学生比较熟悉，想要让学生利用侧向思维解题，需要对题目条件分析，利用圆的知识内容，完成解题.想要求解角的度数，找出与其同一弦所对的圆心角度数，完成题目求解.

解

如图3所示，作半径OC⊥AB，垂足为D，连接OA、OB，

因为圆O沿着弦AB进行折叠，圆弧刚好经过圆心O，

所以OD=CD，所以OD=12OC=12OA，

所以∠OAD=30°，

因为OA=OB，所以∠ABO=30°，所以∠AOB=120°，

所以∠APB=12∠AOB=60°.

4 利用侧向思维，解决方程问题

方程与函数密切相关，在解题时，通常将两者进行转化，寻找参数联系，完成解题.在具体教学中，为了帮助学生掌握侧向思维利用方式，可以引入专门问题，加强学生习题训练［2］.

例4 如图4所示，在平面直角坐标系中，点M为直线y=2与x轴之间的动点，且M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c的解的个数为______.

解析

在此题解题时，根据图像进行分析，利用侧向思维，对题目问题进行转化，即将根的数量求解转化成函数与图像交点个数问题.

解

根据抛物线y=x2+bx+c的图象可知，抛物线与x轴没有交点，即Δ＜0，

所以b2－4c＜0，

因为点M为直线y=2与x轴之间的动点，

所以点M的坐标是（－b2，4c－b24），

所以0＜4c－b24＜2，即0＜4c－b2＜8，－8＜b2－4c＜0，

因为Δ=b2－4ac=b2－4（c－1）=b2－4c+4，

所以－4＜b2－4c+4＜4，

即：当－4＜b2－4c+4＜0时，抛物线y=x2+bx+c与x轴没有交点；

当b2－4c+4=0时，抛物线y=x2+bx+c与x轴有一个交点；

当0＜b2－4c+4＜4时，抛物线y=x2+bx+c与x轴有两个交点.

5 结语

为了锻炼学生解题能力，教师除了加强学生解题训练，还需要对解题方法进行总结，结合课堂教学环节，强化学生解题思维.侧向思维作为重要的解题思维，可以引导学生找到问题本质，提高学生解题效率.因此，作为初中数学教师，应当注重侧向思维的应用，传授学生侧向思维应用方法，让学生能够灵活利用侧向思维解题.

参考文献：

［1］饶旭芳.侧向思维在初中数学解题教学中的应用［J］.当代教研论丛， 2019（12）：1.

［2］许明明.初中数学解题中侧向思维的有效应用［J］.天津教育， 2021（11）：2.