立足“高观点”，实施“低结构化”的数学教学

陈娜

［摘  要］ 在小学数学教学中，教师以“大问题”统领、“结构化”关联、“思想性”统摄、“生命性”润泽，对学生数学学习“提纯”“构体”“赋魂”“蓄力”。教师必须具有一种大视野，引导学生开展整体性、感悟性的数学学习。“低结构化”教学是一种深度教学，能培育学生数学高阶思维，促进学生数学高阶认知形成。立足于“高观点”，数学教学才能有效提升学生的数学学习力、发展数学核心素养。

［关键词］ 低结构化；高观点；小学数学教学

“高观点”的这一提法源自德国数学教育家克莱因，他认为：“初等数学知识只有在高等数学视角下（高观点）才能得到深刻的理解。”立足于“高观点”，学生能获得对数学知识的本质性、关联性的认知。小学数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科，其教学不宜过度抽象，应当“深入浅出”。“深入浅出”就是立足于“高观点”而实施的“低结构化”教学。实践证明，这种指向“高观点”的“低结构化”教学，能让学生的数学学习充满温度、效度、信度。“低结构化”教学是一种深度教学，能培育学生数学高阶思维，促进学生数学高阶认知形成。

一、“大问题”统领，对学生数学学习“提纯”

立足于“高观点”，实施“低结构化”教学，教师可以采用问题驱动、任务驱动等教学方式。朴素的教学方式只要设计得当，不仅能激发学生的数学学习兴趣、调动数学学习积极性，还能激发学生的数学思维、催生数学想象，引导学生主动地对相关数学课程资源、素材“提纯”，助推学生形成数学化的认知。这个过程就是学生经历“数学化”“形式化”“公理化”的过程。“提纯”是学生数学学习的必然，也是学生数学学习的应然，“提纯”能让学生超越自我的感性认知抵达理性认知的境界。

如何让问题驱动式教学中的“问题”具有针对性、实效性，关键就是教师要立足于数学的“高观点”，让”问题“具有统摄性、思想性、关联性。这样的“问题”才是“大问题”，才能真正发挥“问题”的驱动、引导、启发功能。“大问题”的“大”不是“大而无当”，不是“缥缈空洞”，而是指“问题”能发挥引领、统整、归纳等作用。比如教学“乘法交换律”这一部分内容，从高观点——“数学集合”的视角看，交换律就是“A∩B=B∩A，A∪B=B∪A”。如何引导学生理解、感悟“交换律”的抽象性数学意义，笔者在教学中设计了“大问题”，用“大问题”驱动学生的数学探索、总结。

任务：写出一些算式表示你心目中的乘法交换律。

问题：你所写的乘法交换律是正确的吗？怎样验证你所写的交换律是正确的？

学生独立思考后进行交流。

预设1：学生采用计算的方法，计算结果是相等的。这样的计算是一种不完全归纳。

预设2：学生采用画图的方法，画出方格图，从不同的方向看图，每行的个数×行数=每行的个数（原来的行数）×行数（原来每行的个数）。

预设3：学生采用操作的方法，从a个b也就是b个a的乘法的意义来证明。

预设4：学生从积的变化规律方面来加以验证；如a×2a=2a×a。

在问题的驱动下，学生对“乘法交换律”展开积极的研讨。通过研讨，学生深刻地认识到：不仅交换乘法算式中的两个数，而且可以交换乘法算式中的两个整体式子，它们的乘积都不变，如24×（23+27）=（23+27）×24。在研讨的过程中，学生自主建构、创造了“乘法交换律”——“a×b=b×a（a、b属于自然数）”（仅限于学生的认知水平）。

除了“大问题”统领、“大问题”驱动，还要求教师鼓励、激发学生自主提出相关的问题。比如，有的学生在学习中提出这样的问题：“老师，我们已经研究了加法交换律、乘法交换律，在减法和除法中也存在交换律吗？”这样的问题引发了学生的深度探究。通过研究，学生深刻地认识到减法中的交换律其实就是加法交换律，除法中的交换律其实就是乘法交换律，只不过在使用“交换律”的时候要连同数字前面的符号一起交换。如此，学生对“交换律”这一“上位概念”形成了本质性的认知。

二、结构性关联，对学生数学学习“构体”

如上所述，“高观点”具有统摄性，它往往能关联诸多类型的知识，既是一种上位知识，又是一种关联结构。因此，在小学数学教学中，教师要引导学生将相关数学知识关联起来，对相关联的数学知识进行“描点”“连线”“勾面”“构体”。一方面，教师要引导学生掌握数学知识的诞生、生发顺序，帮助学生建构知识链、知识串；另一方面教师要根据学生的具体学情，将相关联的知识链、知识串等勾连起来，建构“知识体”。基于“高观点”的视角，采用“低结构化”教学，就是要求教师将教学意图隐藏起来，让学生在潜移默化中感受、体验数学的“大概念”。这种“大概念”有助于学生后续进行自主性、自能性的数学学习，尤其是同类数学知识的学习。

“大概念”是一种“具有高度概括性、统摄性概念”，它能让学生在数学学习中举一反三、触类旁通。在学生的数学学习中，“大概念”往往发挥着“润物无声”的功能、作用。“大概念”往往是潜隐在学生的认知结构之中的，它犹如一只“看不见的手”，始终牵引着学生的数学学习。比如，教学“认识厘米”这一部分内容时，教师不仅要引导学生用“厘米尺”进行测量，还要引导学生建构“厘米尺”、创造“厘米尺”。通过激发学生比较两个物体的长度，能让学生产生一种建构、创造“单位厘米”的内在需要，并通过感知、想象等丰富学生对“单位厘米”的表象。在此基础上，教师引导学生应用“单位厘米”去测量物体的长度，由此催生学生将“单位厘米”串接起来的内在需要，进而建构“厘米尺”的雏形。在这样的探究过程中，学生能感悟到“测量”的本质，即测量就是测量被测量对象中包含多少个测量单位的过程。有了这样的感悟，学生就能建构起“测量”的包含性意义，这就是“量与计量”的高观点。这种“高观点”能对学生将要学习的“角的度量”“认识面积”等相关内容发挥至关重要的作用。这种“高观点”能引导学生在后续学习过程中将已经学习的内容串接成一个整体。

基于“高观点”引导学生的数学学习，要求教师充分发挥“高观点”的功能、作用，彰显“高观点”的教学功能。实践证明，在学生的数学学习过程中，“高观点”不仅能让学生突破学习障碍、思维困惑等，更能引导学生的思维进阶、认知进阶。在“高观点”视野下，学生的数学学习不是知识点的堆砌，而是能让其形成上位性的认知，能让其把握数学知识的内在结构，能让其在数学学习过程中举一反三、触类旁通。

三、思想性丰盈，对学生数学学习“赋魂”

学生数学学习说到底是数学思想方法的学习。在小学数学教学中，教师要引导学生感悟数学思想，掌握数学方法。数学思想方法是数学知识的灵魂，贯穿于数学知识形成过程和形态结果之中。数学教育家斯托利亚尔曾经说：“数学教学就是数学思想方法的教学。”日本数学教育家米山国藏也曾经说：“学生在学校所学的数学知识，在进入社会后一两年就被遗忘，……而唯有数学思想方法却深深地铭刻在学生心中。”

基于数学的“高观点”，在小学数学教学中，教师要深入发掘数学知识背后蕴含着的数学思想方法，并将相应的、相关的数学思想方法显露、敞亮出来，让学生触摸、触碰到数学知识中的相关思想方法。教学中，教师不能采用“说教”“灌输”“链接”的方式，而应当采用“渗透”“融入”的方式，将数学思想方法植入学生的心里。比如教学“平行四边形的面积”这一部分内容时，教师可以先让学生猜想：平行四边形的面积与什么因素有关？平行四边形的面积可以怎样计算？你准备怎样验证？通过这样的问题，催生学生的猜想，让学生积极主动地尝试验证。比如，有的学生认为，平行四边形的面积与底、斜边的长度有关，因为平行四边形可以推拉成长方形，在推拉的过程中，平行四边形的底、斜边相当于长方形的长、宽；有的学生认为，平行四边形的面积与底、高的长度有关，因为平行四边形可以剪拼成长方形，在剪拼的过程中，平行四边形的底、高分别相当于长方形的长、宽，这两种思考里渗透了“转化”的思想。有的学生认为，不能用平行四边形推拉成长方形的方法来推导平行四边形的面积，因为在推拉的过程中平行四边形的面积发生了变化，这里就渗透着“等积变形”的思想。在教师引导学生应用平行四边形的面积公式的过程中，引导学生观察转化前后的平行四边形、长方形之间的对应边的关系，这里就渗透、融入了“推理思想”；在引导学生自主建构平行四边形的面积计算公式并用字母概括表达的时候，这里就蕴藏了“数学建模”思想；在引导学生计算平行四边形的面积时，要让学生关注用底乘哪一条高，从而渗透、融入“数学对应”思想。丰富的思想、方法，绝不是学生数学学习的“副产品”，而是学生数学学习的主旨、目的。

数学思想方法是数学的隐性知识，对学生的数学学习具有较强的影响。数学思想方法是数学的灵魂，是数学知识的精华。有深度的数学学习必定是融入、渗透数学思想方法的学习，融入、渗透数学思想方法能给学生的心灵以激荡、震荡，能让数学知识的学习更有深度、高度。

四、生命性润泽，对学生数学学习“蓄力”

学生的数学学习必须具有生命的活力。在小学数学教学中，教师不仅要引导学生感悟、体悟数学思想方法，更要让学生受到数学文化的启蒙、熏染，受到数学生命的润泽。只有将数学文化、数学精神等融入学生的生命之中，才能对学生的数学学习有效“蓄力”，让学生真正从被动的学习转向主动的学习、从肤浅的学习转向深刻的学习、从分割的学习转向整体性的学习。教师不仅要注重启迪学生思维，还要注重培育学生的数学精神、数学人格，把学生培养成一个具有数学品性、品位的人。

从根本上说，学生的数学学习只有根植于数学文化、数学精神的土壤中，才能获得一种持久的生命力。比如教学“成反比例的量”这一部分内容时，很多教师仅仅引导学生从数量关系出发，概括、提炼“反比例的关系式”，而忽视了反比例的图像。笔者在教学中，立足于数学思想、文化的视角，给学生提供了平面直角坐标系，引导学生采用“描点”“连线”等方式，绘制反比例图像。有了“反比例图像”，引导学生对反比例图像进行数学化的解读，能让学生深刻认识到：横轴上的数越来越大、纵轴上的数越来越小；横轴上的数越来越小、纵轴上的数越来越大，而横轴和纵轴上相对应的两个数的乘积始终不变（在观察反比例图像上的数对时，渗透数学的奇异之美）；引导学生通过观察、比较发现，横轴上的数向无限远延伸，纵轴上的数越来越接近横轴但却始终不和横轴相交，纵轴上的数越来越接近0，但始终不等于0，由此渗透、融入数学的对应之美、极限之美。在小学数学教学中，教师要给学生的数学文化精神的启迪，引导学生从多个维度来感悟、分享数学的文化与精神。

数学的文化、精神是数学的内在性的生命。教师必须具有一种大视野，引导学生开展整体性、感悟性的数学学习。“核心概念”“上位知识”“关联结构”“思想方法”等都是数学的“高观点”。教师在小学数学教学中要“高点定位”，只有这样才能让学生的数学学习“高位走强”，才能让学生的数学学习焕发生命的活力。