基于数学史的“等比数列前n项和公式”教学新设计

王睿祺 汤琼 甄迎烨 钟丽

课题信息：株洲市教育科学“十四五”规划2021年度课题“新课标背景下高中数学核心素养培养研究”，课题编号为ZJGH21-170.

摘要：在新课标下，数学史在数学教学过程中和教材上的体现都愈加明显，把相关数学史运用到课堂教学之中，可以激发学生对数学的兴趣，有助于学生进一步理解数学，从而提升其数学学科的核心素养.针对人教A版高中数学教材中“等比数列的前n项和公式”这一章节内容，基于数学史融入教学的方式进行教学新设计，让学生最大程度掌握学习内容，从而更好地提高教学效果.

关键词：等比数列；课堂教学；教学设计；数学史

1 引言

在新课标下，数学史在数学教学过程中和教材上的体现都愈加明显，人教A版教材几乎在每个章节后都安排了有关数学文化的“阅读与思考”板块，方便有兴趣的学生进行课外拓展学习，并把相关数学史融入到课堂教学之中，激发学生对数学的兴趣，有助于学生进一步理解数学，开拓视野、提升数学学科的核心素养.

本文中将针对人教A版高中数学教材中“等比数列前n项和公式”这一章节内容，基于数学史融入教学的方式进行教学新设计，让学生能够更好地掌握学习内容，使课堂教学效果得到提高.

2 教学新设计

2.1 学情分析

在本节内容的学习过程中，学生往往会对等比数列的前n项和公式的推导方法产生困惑，不理解怎么会想到错位相减法，有的甚至会思考有没有其他的推导方法.本设计从学生的角度入手，思考如何利用数学史的相关内容激发学生的求知欲，增强他们的学习动机和热情，让他们像历史上的数学家一样，经历发现和解决问题的过程，最大限度地吸收知识.

2.2 教学目标

基于对《普通高中数学课程标准（2017年版2022年修订）》［1］的分析以及数学文化的渗透，结合学生学情、实际教学情况和教材分析，设定如下教学目标：

（1）掌握并理解等比数列前n项和公式的各种推导方法，学会利用公式解决实际问题；

（2）体会公式推导过程中渗透的数学思想，掌握一些基本的数学方法，培养数学核心素养；

（3）体会潜藏在数学背后的理性精神，通过数学史深入探究数学的本质，引起积极思考，从中获得智慧，从而更好地掌握数学知识.此外，还可以深刻领略数学的魅力，欣赏数学之美.

2.3 教学设计

2.3.1 新课引入

从复习上节课的知识入手，先带领学生回顾等比数列的定义及通项公式等内容，并且引用课本上的例子进行提问，引起学生思考.

师：我们知道逐项相加可以对数列求和，但是这种方法对于有很多项的数列就不适用了.比如教材上提到的这个问题——国王要奖赏发明象棋的人，这个人要求在64格的棋盘上，第一个格子放一粒麦子，第二个格子放两粒麦子，第三个格子放四粒麦子......以此类推，每一个格子都放前一个格子2倍的麦粒数，一直放到最后一个格子.如果你是国王，你会答应他的要求吗？不管要不要答应，首先我们先算一下麦粒的总数.

生：麦粒总数S=1+2+22+23+……+263，但是这个答案太大了，好像不能直接求出来.

师：确实，所以我们今天就要学习怎么解决这个问题.假设等比数列{an}的首项a1、公比q都已知，那么如何表示其前n项和呢？

生：根据等比数列的通项公式与前n项和的定义，则有Sn=a1+a1q+……+a1qn-1.

师：知道了Sn=a1+a1q+……+a1qn-1，那么是不是可以用a1，q，n这些基本量来表示Sn呢？

设计意图：通过教材上的数学故事引入本节课的教学内容——等比数列的前n项和公式，为课堂设置了一个生动的开场白，奠定了整个课堂的文化基调，为后面提出数学史与数学家的理论思想打下基础，使学生接受起来更加顺理成章.

2.3.2 公式推导

在课堂上大致给出公式的几种推导方法，引导学生进行分组讨论.小组讨论后，让各小组代表展示不同的推导方法［2］.这里笔者预设了五种推导方法，可视学生的反馈与具体教学情况随时调整.

法1：等比定理法.

有学生提出可以利用之前学过的等比数列的定义和性质，结合等比定理推导出公式；还有学生利用定义，再通过合比性质，经过化简也可以得到相同结论.这也是最基础的推导方式，因为这种方法运用到的都是一些基本的运算与变换.笔者在学生提出推导方法之后简单介绍这是欧几里得推导等比数列前n项和公式的方法［3］，可以使学生感受到他们与数学家的同频思想.

法2：递推方程法.

有学生提出可以用递推法，先写出等比数列的前n项和Sn=a1+a1q+……+a1qn-1，再从第二项开始提取公因式q，得到Sn=a1+q（a1+a1q+……+a1qn-2），而括号里的内容又可以写作Sn-1，也即Sn-a1qn-1，因此可以得到

Sn=a1+q（Sn-a1qn-1）.

当q≠1时，

得

Sn=a1（1-qn）1-q.

在介绍这种方法时，顺便介绍古埃及莱茵德纸草书问题［4］，激发学生探究的兴趣.

法3：掐头去尾法.

这种方法的思路比较特别，一般不容易想到.这就要求教师适当引导学生.

师：还可以利用掐头去尾法推导公式，通过我们刚刚已经列举出来的推导方法，有没有同学有思路？

生：顾名思义掐头就是去掉首项，去尾就是去掉最后一项.

师：很好！可以说得更具体一点吗？

生：就像法1中利用合比性质得到的那个式子a2+a3+……+ana1+a2+……+an-1，分子就是Sn掐了头a1，分母就是Sn去了尾an，分子还可以表示为“Sn-a1”，分母可以表示“Sn-a1qn-1”，则Sn-a1Sn-a1qn-1=q，可得Sn=a1（1-qn）1-q（q≠1）.

师：非常好！（找同学在黑板上写出推导思路）这种方法就是法国数学家拉克洛瓦在其《代数学基础》中提出的很独特的一种思路［5］.虽然这个方法不太容易想到，但同学们经过老师的提醒还是很快地理解和领会了这个方法，这说明大家的数学思想距离那些历史上的数学家们已经越来越近啦！

法4：错位相减法.

这是教材上提出的唯一一种推导方法，也是学生普遍最能够接受的方法.这种较为基础的推导方式也可以让学生适当放松，将教学内容逐渐转移回归到课本上，学生发散的思维也引回到课标要求的思路上，方便教师继续按照教学设计和教学目标教学.

法5：数学归纳法.

根据教材的安排，数学归纳法的相关内容被安排在等比数列之后.这样安排有一定的逻辑原因：首先，对于基础一般的学生，利用数学归纳法推导等比数列的求和公式，正好可以让学生提前对数学归纳法有一个初步认识；其次，利用数学归纳法探索与正整数n有关的问题的基本

的思路是“归纳—猜想—证明”，学生经历了前面几种推导过程，已经对等比数列的前n项和公式留下了了深刻的记忆点，此时正好可以利用数学归纳法对该公式的正确性再进行确认和巩固，帮助学生更好地理解公式.

师：接下来老师再介绍一种推导方法.它和其他方法不一样，这个方法要求我们先发现规律再来证明，也就是说先通过观察、归纳，然后猜想等比数列前n项和公式，最后再对进行证明.

生：这里的证明方法就是数学归纳法.

师：好，有预习过下节课内容的同学提到了.对，这种证明与正整数n有关命题的方法就叫数学归纳法.具体的步骤就是对于这种有n项的式子，我们先验证n=1的时候成立，再假设它在n=k的时候成立，然后看能不能推出n=k+1时也成立.下面我们就尝试利用数学归纳法证明等比数列的前n项和公式，有同学愿意主动上黑板来试试吗？

生：老师，我来试试！

教师辅助学生在黑板上写出大致过程，首先验证n=1时公式成立，然后假设n=k（k∈N*）时公式成立，即Sk=a1（1-qk）1-q，则n=k+1时，有

Sk+1=Sk+ak+1=a1（1-qk）1-q+a1qk=a1（1-qk+1）1-q成立，由数学归纳法原理，命题得证.

设计意图：通过介绍五种推导方法，同时将其与数学史上的数学家结合起来介绍，使得学生的思维紧跟着历史上数学发展的脉络，按照逻辑顺序合理推进课程，更加有利于学生对等比数列前n项和公式的推导和公式本身有更深刻的认识.

2.3.3 公式应用

经过公式推导的环节后，教师带领学生回归到本节课开头提到的国王奖赏象棋发明者麦子的问题，首尾呼应.

师：推导出公式之后，我们是不是就可以解决课堂一开始提到的国王赏麦的问题啦？请同学们解决一下国王的问题.

生：由等比数列前n项和公式，可得

S64=1+2+22+……+263=1×（1-264）1-2=264-1.

师：很好！根据教材给出的数据，这个数字超过了1.84×1019，所以根据小麦的产量，国王根本不能完成他的承诺.这个数字是不是比我们想象的要大得多？这就是等比数列求和所体现出来的极小的事物也可以演变成无穷无尽的总量的奥秘，正所谓我们在语文课中学到的什么道理？

生：不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.

师：没错.这就是积累，也是数学的魅力.

接下来给学生展示一些古今历史上等比数列求和公式的经典例题，让学生更深刻地体会学习这个公式的必要性.有关现代的例题可以直接从教材上选取有代表性的例题，加强与教材的联系；古代例题可参考文［6］，其中关于等比数列的求和问题共有4道.

例1  今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？

例2  今有蒲生一日，长三尺;莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？

例3  已知等比数列的首项为-1，前n项和为Sn，若S10S5=3132，求公比q.

例4  已知等比数列{an}的公比q≠-1，前n项和为Sn.证明Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列，并求这个数列的公比.

设计意图：通过列举一些数学名著中的经典例题，学生可以感受到数学从古至今一直都吸引着数学家进行不懈的探索，也可以从历史的长河中体会到数学发展过程中的创新精神，从而更能激发出学习数学的兴趣［2］.同时在最后总结时与语文学科中的古诗词联系在一起进行跨学科教学，让学生感受到各学科知识的融会贯通，打破了各个学科之间的壁垒，有利于提升学生的成就感，容易引起学生共鸣，从而更好地促进学生全面发展.

3 教学反馈与评析

3.1 教学反馈

课后发放问卷调查学生听课情况，问题主要是关于能否听懂这节课的内容，是否喜欢这种将数学史融入课堂教学的授课方式，这节课的相关数学史知识给了你什么启发与帮助，最喜欢等比数列求和公式的哪种推导方式以及对这节课印象最深的是什么［2］.

通过问卷调查，可以根据结果推断出数学史融入数学教学的模式对学生理解知识的程度以及课堂专注度有怎样的影响，同时根据学生对这节课的评价决定其他部分的教学内容是否应该通过融入数学史的方式来增加学生的学习兴趣，提高他们对数学这门学科的学习欲望，体会到学习数学的乐趣.

3.2 教学创新

在“等比数列的前n项和公式”的教学新设计中，探究等比数列求和公式的各种推导方法时，介绍相应的推导方式是由哪些著名数学家以及数学著作中提到的，让学生了解到古代数学家也是通过同样的思路来证明相同的问题，从而不再对数学证明望而生畏，拉进学生与数学史之间的距离，一定程度上消除学生对数学的恐惧，保证数学课堂教学的专注度.

本文中教学设计的各个环节一脉相承，在公式推导环节融入数学史之后，趁热打铁在习题练习的环节继续以数学名著《九章算术》为例，采用里面经典例题进行联系，与“等差数列的前n项和公式”一节相呼应，体现了教学设计的整体性［5］；同时还锻炼了学生的文学素养，起到了跨学科教学的作用，打破了各个学科之间的壁垒，容易引起学生共鸣，从而更好地促进学生全面发展.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］汪晓勤，沈中宇.数学史与高中数学教学：理论、实践与案例［M］.上海：华东师范大学出版社，2020.

［3］汪晓勤，韩祥临.中学数学中的数学史［M］.北京：科学出版社，2002：95-109.

［4］汪晓勤.纸草书上的数列问题［J］.数学教学，2010（1）：29-31.

［5］李玲，汪晓勤.基于数学史的等比数列前n项和公式教学［J］.中学数学月刊，2019（11）：46-49.

［6］肖维松.《九章算术》等比数列问题［J］.高中数理化，2011（24）：8-10.