思维可视化在初中几何教学中的实践与思考

丁永

摘要：新课标课程理念中明确提出实施促进学生发展的教学活动，体现学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者.为了更好地落实这一理念，鼓励学生大胆质疑，引导学生积极探索，展示自己的思维过程和思考成果，思维可视化的研究显得具有十分重要的意义.本案例通过探索三角形全等的条件“边边角”的教学，展示思维可视化在学生进行探索学习过程中的作用和价值.

关键词：思维可视化；三角形全等；边边角

1 思维可视化

随着教育教学的不断进步，思维可视化研究在教学中的研究越来越有价值.尤其对于初中数学的学习，怎样将抽象的数学形象地体现出来，将思维可视化便具有非常重要的意义，不仅能够提升学生学习数学的兴趣，还能调动学生学习数学的积极性.基于这样的教学目的，本文中以探索三角形全等的条件“边边角”为例对数学思维的可视化进行分析，并采取合理的方法提高学生分析问题和解决问题的能力.

关于三角形全等的证明，多少年来有许多教师都进行过各种尝试，课堂教学在向更深更远更广处推进，课堂教学更加追求完善，更加贴近学情.本节课基于学生已有的基本活动经验，从学生的最近发展区出发，通过探究活动将思维可视化，促使学生参与其中，提升分析问题和解决问题的能力.

2 教学过程

2.1 复习回顾

在探索三角形全等的条件时，经过探索发现需要三个条件才能证明两个三角形全等.通过问答的方式复习回顾，具体研究内容如图1.

三个元素三条边：SSS √两边一角SAS √SSA ？一边两角ASA √AAS √三个角：AAA ×

众所周知，对于“SSA”能否判断两个三角形全等并未进行研究，结果到底如何？通过一个设问，顺理成章地引出本节的研究主题.

2.2 活动探索

满足“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形”是否全等？即在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，那么△ABC≌△DEF吗？此时学生的观点出现了分歧，于是教师抛出问题：“如果觉得可以判定全等，请予以证明；若不可以判定全等，请画出反例.”

生1：可以对∠B进行分类讨论，当它是直角时，那么这两个三角形都是直角三角形，此时就可以用“HL”直接证明两个三角形全等.

生2：当∠B为钝角或锐角时不一定全等.

生3：当∠B为钝角应该也可以全等.

随即让学生探索∠B为钝角时，若可以判定全等，请予以证明；若不可以判定全等，请画出反例.将课堂还给学生，留足时间让学生探索.

教师在巡视中发现有的学生束手无策，有的学生在作辅助线，此时教师给学生的探索按下“暂停键”，投屏展示了一名学生画的图及辅助线的作法，并追问这名学生为什么要这样画辅助线（如图2）.

生4：因为直可以用“HL”直接证明两个直角三角形全等，所以我想能不能把钝角三角形转化为直角三角形，从而进一步解决问题.

这个过程已经将思维可视化，具体包括两个方面：一是让学生将自己的想法说出来，通过“说”来“可视化”；二是把学生的思考方式和思考过程投屏展示出来，把抽象的思维通过“画”来“可视化”.

教师在巡视中发现，有学生利用辅助线可以证明出△AMB≌△DNE，但是却无法继续，探索再一次停止.此时教师的主导性再次体现出来.

追问学生“欲证明△ABC≌△DEF，还缺什么条件？△AMB≌△DNE对证明有何帮助？”此处激发学生去思考由“已知”到“可知”、由“可知”到“未知”中间还缺什么条件.教师在教学过程中起到“穿针引线”的作用，将探索的权利交给学生.

生5：要证明△ABC≌△DEF还缺一个角，因为“SSA”不能证明两个三角形全等，所以接下来要考虑怎样可以再得到这两个三角形有一对角相等，那样就可以利用“ASA”或者“AAS”来证明△ABC≌△DEF.

生6：通过证明△AMB≌△DNE可得到AM=DN，然后结合已知条件AC＝DF，从而可以利用“HL”证明Rt△AMC≌Rt△DNF，于是得到∠C＝∠F，如此便提供了一对相等的角，进而可以利用“AAS”来证明△ABC≌△DEF.

教师让学生把完整的证明过程写出来，并投屏展示，此时通过“写”将学生的思维“可视化”.

师：接下来你准备如何继续研究？

生7：接下来考虑∠B为锐角的情况.

师：若可以判定全等，请予以证明；若不可以判定全等，请画出反例.让思维可视化继续发生.

生8：我认为可以，模仿刚才证明钝角三角形全等的方法即可证明.

投屏展示生8的图形（图3），并请他简述证明过程.

先利用“AAS”证明△AMB≌△DNE，从而得到AM=DN，再结合已知条件AC＝DF，利用“HL”证明Rt△AMC≌Rt△DNF，于是得到∠C＝∠F，如此便提供了一对相等的角，最后可以利用“AAS”来证明△ABC≌△DEF.

生9：我认为不可以，能画出反例，如图4.

师：这到底是为什么？请观察、思考为何会出现这种现象.

将思维可视化向更深更远处走去，继续挖掘学生的思维潜力，激发学生研究的内在动力.

生10：通过图形可以看出，当ABAC时，则可以画出两个图形，此时它们不全等.

生11：当AB=AC时，可以画出两个图形全等.

师：你们总结得非常好.根据题目已经条件“两边一角”，我们先对“一角”进行分类，一个角可以是锐角、直角、钝角；接着我们顺理成章地对这两条边进行分类，即ABAC.（如图5）

∠B钝角√直角√

锐角AB＜AC√

AB=AC√

AB＜AC×

师：综上，利用“SSA”不能判定两个三角形全等.

3 教学思考

苏联数学教育家斯托利亚尔曾说：“数学教学是数学思维活动的教学.”新课标也明确指出，数学教学不仅要教给学生数学知识，而且要提示获取知识的思维过程，提出“发展思维能力是培养能力的核心”［1］.在问题的引导下，学生亲身经历，体验探索方法，经历数学思维的过程，体会“实践出真知”.

3.1 提升思维能力，培养思辨意识

学生在交流展示中，体会到思维碰撞带来的灵感，也会发现自己的能力远超过自己的想象.这样在思考的过程中增强了学生学习数学的动力与自信心，唤醒了学生的参与意识，激发了学生的思辨意识与创新意识.

3.2 展示思维过程，交流思想方法

通过说、写、画、操作、讨论、实验等不同方式，将学生的思维过程全方位“可视化”展示出来.可视化之后，教师便可根据学生的最近发展区设计下一个环节，提出下一个问题，让课堂充满张力，让互动与生成相得益彰.

3.3 完善知识系统，提高教学能力

通过本节课内容的学习和研究，探索三角形全等的过程会更加完整，学生的知识结构也更加系统.教师在备课的过程中不能过多地停留在研究教材上，还要去研究如何设计问题、如何将学生的思维可视化、如何让学生自主进行学习探究，让学生成为学习的主体.在备课时多去研究教师如何成为教学的主导者，如何激发学生内驱力，如何调动学生积极性，如何让学生思维可视化，让学生始终是课堂的主体.

参考文献：

［1］李军.发展学生数学思维能力的路径探析［J］.中学数学教学参考，2021（35）：63-66.