“三真”彰显学科价值

付密

数学综合与实践课的价值在于培养学生综合运用数学及其他学科的知识和方法解决实际问题的能力。四年级学生已经通过“沏茶问题”“烙饼问题”的学习初步体会到统筹安排、节省时间的优化思想，五年级学生通过学习“打电话问题”，借助画图、列表等方式展开多路径探究，剥离问题表象，凸显问题本质，可进一步体会优化思想在现实生活中的运用。

一、创设真情境

《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调学生要在实际情境和真实问题中，运用数学和其他学科的知识与方法解决实际问题。《怎样通知最快》这节课最早出现在2011年版人教版教材中。2022年版教材变换了问题情境：“一个应急小队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到15名队员。任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，请你帮助队长设计一个最快的通知方案。”为进一步强化问题的生活背景，让数学问题贴近学生的生活经验，笔者在此基础上创设了学生熟悉的真实情境：“重阳节到了，广埠屯社区居委会计划邀请60岁以上的老人参加赏菊郊游活动。居委会王主任决定用打电话的方式通知本社区的15名老人，每分钟通知1人，请你帮助王主任设计一个尽快通知到每一位老人的打电话方案。”这个真实情境更能凸显打电话的必要性，使学生感受到数学就在身边。

二、展开真探究

“打电话”属于探究性问题，没有任何公式、方法可套用，教师可以借助学生的生活经验，引导学生以居委会主任的角色探究“假如你是居委会主任，你应该怎么通知这15位老人”的问题，用任务驱动学生展开真探究。

课堂上，学生在操作、探究、推理中提出“打电话”的三种策略：逐个通知、分组通知、传递性通知。笔者让学生分别展示，学生展示如下。

策略一：逐个通知。王主任打电话，一个人一个人地通知，一共15位老人，共需15分钟。笔者以“这种方案只有王主任一人通知，太慢了”激发学生思考更快的方法，从而引出分组通知。

策略二：分组通知。分组方案1：把15位老人平均分成3组（5，5，5），先打电话通知3位组长，需3分钟，再由3位组长分别通知各自的4位组员，需4分钟，由“3+4=7”得出共需7分钟。分组方案2：把15位老人分成4组（4，4，4，3），通知完4位组长共需4分钟，最后接到通知的1位组长通知两位组员，需要2分钟，这期间另外3位组长能通知完各自的组员，则由“4+2=6（分钟）”得出一共需要6分钟。笔者追问：是不是分的组数越多，用的时间越少？由此，学生展示分组方案3：把15位老人平均分成5组（3，3，3，3，3），先通知5位组长需5分钟，再由5位组长分别通知2名组员，需2分钟，由“5+2=7（分钟）”得出共需7分钟。由此可见，并不是分的组数越多，所需的时间越少。笔者顺势追问：“想一想，还有更快的方法吗？”学生通过交流、讨论发现：想要通知的时间最少，必须同时通知，每位老人接到通知后立即通知其他老人（不重复通知），直到全部通知到为止。

策略三：传递性通知。用“ ”表示王主任，用  “○”表示老人，第1分钟王主任通知1人，连同王主任一共有2人知道消息；第2分钟知道消息的2人通知另外2人，共有“2×2=4”人知道消息；第3分钟知道消息的4人通知4人，共有“4×2=8”人知道消息；第4分钟知道消息的8人通知8人，共有“8×2=16”人知道消息。除去王主任，4分钟一共可以通知15位老人（图略）。

笔者鼓励学生采用多种方式探究规律。学生在笔者的提示下发现表格更有利于直观分析传递性通知蕴含的规律（表格如下）。

笔者引导学生仔细观察表格，发现规律：横着看，新接到通知的老人人数依次是1，2，4，8，呈现出两倍两倍增长的规律，接到通知的老人和王主任的总人数依次是2，4，8，16，也是两倍两倍地增长；斜着看，“接到通知的老人和王主任的总人数”等于下一分钟“新接到通知的老人总人数”；竖着看，“接到通知的老人和王主任的总人数-1（王主任）=接到通知的老人总人数”。这样看来，王主任只需4分钟就能通知完15位老人。

经过以上教学，学生试着用数据对三种策略进行总结：“逐个通知”需要15分钟，除了王主任，所有老人都闲着，最费时；“传递性通知”只需4分钟，所有人都尽可能参与通知，最省时；而“分组通知”介于两者之间。由此，学生发现“传递性通知”最省时，是解决问题的最佳策略。

三、解决真问题

所学知识与真实生活发生互动、链接时，学生才更能体会到所学知识的应用价值。笔者抓住学生的好奇心和求知欲，设计如下题目，让学生对知识进行巩固、迁移：一种细菌平均12秒裂变一次（由1个分裂成3个），照这样计算，1分钟后，每一个这种细菌可裂变为多少个？

笔者引导学生抓住关键信息分析：细菌平均每过12秒裂变一次，1分钟=60秒，60÷12=5（次），即1分钟可以裂变5次，每次分裂，细菌由1个分裂成3个后，原来的那个细菌就消失了。学生先尝试用画图法解决问题，画到第4次后，就很难画下去了。这时，笔者提示，当数据较大时，可以用列表法解决问题。于是，学生列出如下表格。

由于“每次裂变后细菌的数量=裂变前细菌的数量×3”，所以5次裂变后细菌的数量是1×3×3×3×3×3=35=243（个）。1个细菌1分钟裂变5次，变为243个，1小时裂变300次，可裂变为3300个细菌。由此可知，细菌裂变的速度非常惊人。

基于以上探究，笔者继续引导学生用数学的眼光观察现实世界：在现实生活中，人们常说的“一传十，十传百”“浮萍生长”等现象都蕴含着我们今天发现的规律，你还有其他类似的发现吗？在笔者引导下，学生通过查阅资料，列举现实生活中的真实案例，拓展课外知识。例如，印度的舍罕国王重赏国际象棋的发明人——大臣西萨·班达依尔。奖赏规则是在棋盘的第1格赏1粒麦子，第2格赏2粒麦子，第3格赏4粒麦子，每小格赏的麦子粒数都是前一小格的2倍。棋盘上64格的麦粒都赏给他。结果印度的粮食全搬来，国王也兑现不了诺言。你知道究竟是多少粒麦子呢？随后，学生揭示答案：1+2+4+8+……+263=264-1=18446744073709551615（粒）。这就是被爱因斯坦称为“世界第八大奇迹”的几何倍增学的来历。学生由此进一步感受到倍增的力量。

真情境、真探究、真问题，“三真”课堂让学生亲历学习过程，感悟思想方法，发展数学思维，培养创新意识，提升解决问题的能力，感悟数学来源于生活又服务于生活的价值与奥妙。

（作者单位：广水市实验小学）

责任编辑  张敏