抓住本质建构模型

邵秀良 宋国云

人教版数学五年级下册《怎样通知最快》旨在让学生在设计打电话方案的过程中找到最优的通知方案，发现其中的数学规律，帮助学生初步建立模型意识，提高学习数学的兴趣和解决问题的能力。教学时，教师要抓住“尽量人人都不空闲”，引导学生在充分积累数学活动经验的基础上建构模型。

一、问题导向，初识模型

五年级学生容易被富有挑战性、实用性的问题情境所吸引。教师要呈现源于生活且真实有效的信息，通过创设合适的问题，引导学生明确思考方向并展开自主探究。

课堂伊始，教师出示问题情境：“一个应急小队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到15名队员。任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，请你帮助队长设计一个最快的通知方案。”教师没有让学生思考“最快需要多少时间”，而是让学生先猜一猜“怎样通知最快”，然后以小组为单位设计一个打电话的方案。教师还提醒学生可以用文字、图形、符号等表示通知过程。经过讨论，学生得到三种思路：①队长逐个通知；②分组通知，即队长通知组长，组长通知组员；③互相通知，即队长通知队员，收到通知的队员和队长一起继续通知其他队员。

对于思路①，教师引导学生得出“这种方案最简单，但需要的时间最长”。对于思路②，教师用图示直观呈现学生提出的三种分组通知方案。第一种：如图1，把15名队员分成3组，每组设1名组长，队长先通知各组长，组长再通知组内4名队员，这样通知共需7分钟。第二、第三种分组方案的通知方法和呈现方式与第一种一致，只不过第二种是分成4组通知，共需6分钟，第三种是分成5组通知，共需7分钟。

接着，教师引导学生比较“分组通知”与“队长逐个通知”有什么不同，思考分组通知所需时间缩短的原因，思考是否分组越多用时越少。通过交流，学生明确：队长逐个通知，只有队长打电话，而分组通知，队长和组长都打电话，所以省时；并非分组越多，用时越少。然后，教师提问：为什么分3组和分5组都用时7分钟？你觉得还有缩短时间的可能性吗？怎样通知最快？学生经过自主思考、小组讨论，达成了共识：队长和接到通知的队员都去通知其他队员，也就是“尽量人人都不空闲”是最快的。由此，学生讨论出如图2所示的通知方案：队长依次通知4名队员，每名队员接到通知后立即通知其他队员，其他接到通知的队员马上继续通知（不重复通知）。学生进一步归纳：全员参与通知，4分钟就可以通知到每名队员。

教师通过有效的提问，一方面引导学生抓住问题的本质进行思考，避免了学生盲目猜想；另一方面调动了学生原有的知识、经验分析问题，如四年级教材“沏茶问题”中“同一时间内能同时做的事情同时做”、“烙饼问题”中“锅尽量不要空着”等优化策略。这与“怎样通知最快”问题中“尽量人人都不空闲”的优化策略本质上相同。

二、数形结合，感知模型

画图呈现打电话的方案是学生建立模型的重要过程，体现了数形结合的思想方法，有利于丰富学生的数学活动经验，培养学生的模型意识。但在画图时，学生往往出现接到通知的人没有都去通知或重复通知的疏漏。基于此，在学生画图的过程中，教师仍然要抓住“尽量人人都不空闲”这个问题本质进行指导。

实际教学中，教师进行了两次指导：第一次是引导学生探究“2分钟最多通知多少人”后，教师展示一份学生的方案，强调学生在方案中画出了第2分钟队长和接到通知的队员都同时参与通知，又通知到2个人，以进一步突出问题本质；第二次是引导学生探究“3分钟最多通知多少人”后，教师出示常见的一种错误方案，即第3分钟只有3个人在通知，漏掉了1个应该参与通知的人。学生很快指出了这一方案中的问题并予以改正。教师乘机追问：怎样才能做到不重不漏呢？这个问题又触及了问题的本质。有的学生说要在“○”里编上序号，有的学生说要把每分钟新接到通知的队员画在同一列，这样可以清楚地看出每分钟通知了哪几个人。在此基础上，教师引导学生修正了方案。

这个过程既让学生掌握了用图示表征打电话方案的方法，又让学生在画图过程中认识到每分钟新接到通知的队员数就是上一分钟得到通知的总人数。这样，在思维可视化策略的支持下，教师借助形象、直观的图示和动态的展示过程，提高了学生的数学理解层次，使其初步感知了该问题的数学模型。

三、想象推理，建构模型

从逐一通知到分组通知，再到相互通知，学生经历了最优方案的产生过程。在此过程中，教师抓住“尽量人人都不空闲”的本质，引导学生想象、推理、归纳、概括，进而理解、建构数学模型。

在学生初步感知模型的基础上，教师安排了想象环节，引导学生思考第4分钟能再通知多少人，说一说是怎么想出来的。根据学生的回答，教师用课件动态演示从第1分钟到第4分钟的通知过程示意图（如图3），标示出每分钟新接到通知的队员数，并整理出表1。

随后，教师设计“每分钟新接到通知的队员人数有什么特点”“为什么要加上队长”“每分钟队长和队员的总人数有什么特点”等问题，引导学生观察、分析表格信息，探究其中的规律。通过观察表格，学生很快发现每增加1分钟，新接到通知的队员人数正好是前面所有接到通知的队员和队长的总人数，而且直观地感受到每分钟新通知到的人数越来越多，也就是下一分钟接到通知的总人数总是上一分钟接到通知总人数的2倍。

数学模型的建立必须依靠学生自主归纳的过程，而教师引导学生抓住问题本质进行归纳，能让学生有效建立数学模型。上述教学过程中，教师没有直接问学生发现了什么规律，而是让学生思考“5分钟一共通知了多少人”，学生自然地想到用算式“1+2+4+8+16=31”或“1×2×2×2×2×2-1=31”计算。随后，教师让学生分别说一说两个算式的含义及为什么这样列算式，学生结合“尽量人人都不空闲”进行解释。然后，教师通过追问“6分钟一共通知了多少人？7分钟呢？n分钟呢？”引导学生归纳出“第n分钟接到通知的队员人数等于前（n－1）分钟内接到通知的队员和队长的总人数”的规律，并通过数量关系的抽象，概括出数学模型：到第n分钟，接到通知的队员总人数为2n-1。

（作者单位：襄阳市襄州区张家集镇中心小学）

责任编辑  刘佳