高中数学复习如何实现由点到面的建构

陈孟林

[摘要]高三一轮复习时间紧、任务重、要求高，如何引导学生抓住根本，提升学习效率是值得一线教师深入探究的问题，高三一轮复习时，教师要重视引导学生利用思维导图将散点的、碎片化的知识联系起来，从而实现由点到面的建构，使学生对知识的理解更加系统化、网络化．切实提高学生综合运用知识解决问题的能力．

[关键词]高三一轮复习；思维导图；系统化；网络化

高三一轮复习可以理解为“知识篇”，在这一阶段．教师会带领学生重温高中整个学段的知识内容．但并不是按照教材顺序进行简单回顾，而是要从整体和全局的视角出发．帮助学生进行知识的系统梳理．让学生对旧知识产生全新的认识，在新知教学时．教师是以知识点为主线进行知识传授的．学生所学知识是零碎的、分散的，不能进行纵向联系，因此在高三一轮复习中，教师有必要打破章节的束缚，将这些零碎的、散点的知识联系起来，从而实现各个知识点的跨章节联系，帮助学生将不同板块的知识融会贯通，以下笔者就当前复习课中存在的一些问题及如何实现由点到面的建构．谈谈自己的认识，若有不足。请指正.

复习中存在的几点问题

高中数学复习课常见的模式有以下几种：专题复习课、讲练结合复习课、综合应用复习课等．在复习课上．大多数教师会精心挑选一些习题，通过讲练相结合的方式进行知识的复习和方法的提炼．尤其在高三一轮复习中．这种边讲边练的复习模式受到广大师生的喜爱．然而认真分析这种复习模式不难发现．大多数复习课重视对每一个知识点的专项复习．却忽视了学生对数学知识体系的整理和把握，使得学生对知识的理解缺乏连贯性和系统性．难以形成长期和持久的记忆．时间一长．学生对学过的诸多内容便逐渐模糊．在解题时常常会有这样的感觉：很多题目明明似曾相识．却不知如何下手，因此．在高中数学教学中，应该上好知识结构间相互联系的系统复习课，从而帮助学生建构完善的知识体系．提升学生综合应用能力.

另外．在复习中．部分教师为了追求新、难，常常出现远离教材的情况．使得教学目标发生偏移，影响复习效果．影响学生成绩，要知道．高考所考查的是“四基”．教师应立足教材，重视教材中的概念、公式、定理等基础知识．并关注教材中的例习题．分析例习题的求解思路和求解过程，全面梳理知识、方法和技能，以此达到夯实学生知识基础、积累学生活动经验．提升学生解题技能、增强学生学习信心的目的．在具体实施过程中，教师可以用简明的图表将这些基础知识有效地串联起来，建构一个大型的知识网络．使学生对高中数学体系有一个全新的、全面的认识．帮助学生在脑海中形成清晰的知识脉络图，并鼓励学生在课后自主梳理成相关的思维导图．以便随时存储、提取和应用，从而切实提高学生的数学应用能力，培养学生的数学学科核心素养.

将认知结构图引入复习课

1．对认知结构图的理解

复习课强调知识点间的内在联系．注重已学知识的整合和重构．若想让学生对数学知识形成长期且持久的记忆，需要在记忆系统中存储一个思维导图，所谓思维导图就是学生从自己的认知特点及对知识理解的深度和广度出发，按照自己喜欢的方式将知识进行整理和重构，在脑海中形成一个具有内部规律的整体结构，例如，若你去一个陌生的城市旅游．就需要查看城市交通旅游地图．在脑海中形成一个大概的交通路线图，然后再合理规划出行路线．这个在脑海中存储的大概的交通路线图就相当于数学认知结构图．它对我们能否顺利到达目的地起着关键作用.

在复习课堂上，教师应重视引导学生建立思维导图，从而让零散的、杂乱无章的知识变得有序化，让知识间的关系层次更加清晰化，这样学生在解题时可以灵活地对信息进行检索、加工与组合，从而快速地形成解题思路．提高解题效率．

2．围绕思维导图开展教学实践

思维导图是一种有效的现代化教学工具．将其应用在复习中可以帮助学生完善知识结构体系．使学生的认知结构更加系统化、长效化，另外，将思维导图运用在复习中．有利于教学活动的顺利实施．有利于学生数学思维能力的发展．有利于学生自主学习意识的提升.

笔者以典型例题教学为例．谈谈思维导图的运用．

（1）梳理解题思路，建构方法体系.

在高三复习教学中．例题教学是必不可少的，它是帮助学生夯实基础、强化技能、发展数学思维能力的必经之路．在例题教学中，教师要改变就题论题这个单一的教学模式．着重加强解题思路和方法的梳理．培养学生举一反三的能力．在具体实施过程中．教师不仅要关注结果，更要关注过程．让学生能从整体上把握解题思路．提升解题效率．为了达到这一要求．教学中教师可以将思维导图运用到解题实践中．让学生清晰地认识解题思路，帮助学生掌握解题通法．提升学生的解题技能，当然，在此过程中．教师要提供时间和机会让学生自己补充和完善思维导图．从而开阔学生的视野．帮助学生形成解题思路体系．增强学生的解题信心．

例1 已知F1，F2是椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的两个焦点，且|F1F2|=2，两条准线间的距离为8，直线l：y=k（x-m）（m∈R）与椭圆C相交于P，Q两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的左顶点为A，连接AP，AQ，记AP，AQ所在直线的斜率为k1，k2．

①若m=0，求k1k2的值；

②若k1k2=-1/4，求实数m的值.

问题给出后．教师让学生独立求解．从解题反馈来看．几乎所有学生都能顺利完成第（1）问，不过很多学生在解第（2）问时遇到了障碍．为了帮助学生找到问题的症结．形成解题思路体系．教师先让学生呈现自己的思考过程，然后给予启发和引导，教学片段如下：

师：谁来说一说，对于第（2）问的第①问，你是怎么想的？

生1：先联立直线方程和椭圆方程，求出P，Q两点的坐标，然后根据斜率公式求k1k2的值．不过运算比较烦琐．我在运算时出现了错误．因此没有得到正确的答案.

师：生1给出的方法是大多数同学选择的方法，虽然运算有些烦琐．但是利用方程思想求两交点的坐标是我们常用的方法．

教师展示完整的解答过程．并让学生利用思维导图整理解题思路．

师：你们还有其他方法吗？

生2：最初我与生1的方法是相同的．不过我感觉运算比较烦琐．所以我采用的是“设而不求”思想解题．由于P，Q两点关于原点对称，因此不妨设点P（x0，y0），则Q（-x0，-y0），利用斜率公式以及点P在椭圆上这个条件求得k1k2.

师：非常好，“设而不求”是处理解析几何问题的一种常用方法，合理应用可以起到简化运算的效果.

问题解决后．教师预留时间给学生进行比较、归纳，帮助学生形成完善的思维导图，突破难点问题，提升学生的学习兴趣和解题信心．

师：对于第（2）问的第②问，你又是怎么想的呢？

师：很好的思路，联立椭圆和直线的方程，通过“设而不求”表示K1K2，结合二元一次方程根与系数的关系，顺利得到答案．运用该思路解题．对运算能力的要求较高．对于上述解答过程，有没有需要补充的呢？

生5：这里还应确保直线与椭圆有交点．所以应考虑△>0.

师：很好，考虑问题一定要严谨，在使用韦达定理时一定要注意△>0.如果感觉前期运算时加入这一条件会使运算变得烦琐，也可以得到结果后再验证.

师：还有其他方法吗？

生6：我是这样想的：联立直线AP与椭圆的方程．先求出点P的坐标，然后根据已知K1K2=-1/4，求得点Q的坐标，不过接下来就不知道该如何处理了.

师：我们可以将P，Q两点的坐标用k1来表示．接下来该如何求m呢？

生7：利用P，Q两点的坐标可以求出直线PQ的方程，不过这个计算量很大．即使能得到结果也需要较长的时间．

在教师的启发和指导下．学生想到可以先求斜率再写方程．因为m是直线PQ在x轴上的截距，所以可以引入第三个点，即PQ与x轴的交点，这样利用三点共线来处理问题可以有效优化运算过程．

求解问题后．教师引导学生反思回顾，梳理解题思路，并要求学生至少选择一种方法运算．以此通过亲身体验锻炼学生的运算能力．增强学生的解题信心.

解析几何是高中数学的重要内容．也是高考的重要考点．还是高中数学的教学难点，在日常教学中．为了帮助学生突破这一重难点内容．教师是反复讲、重复练，但是从模拟反馈来看，很多学生在解题时还是会出现这样或那样的问题，表现为在解析几何问题上不敢动笔、计算马虎、考虑不周、失分较多．基于此，在一轮复习时．教师应加强解析几何的专项训练，引导学生利用思维导图进行解题路径的梳理．并鼓励学生将运算进行到底．从而帮助学生建立做解析几何题的信心，切实提高得分率．

（2）巧用变式训练，提升复习效果．

在高三复习中，部分教师习惯采用“题海战术”来提升成绩．但是大量的重复练习不仅会增加学生的学习负担，还会影响学生的学习兴趣，不利于学生长远发展．在实际复习中．教师应指导学生从解题质量上下功夫．通过做少量的题目而获得必备的解题技能，为了实现这一目标，教师需要认真研究教学、研究考纲，明确教学方法和教学目标．精心挑选典型例题．并在此基础上进行拓展和延伸，充分发挥典型例题的辐射功能，提高学生举一反三的能力．在具体实施过程中．教师可以适度地提出变式训练．让学生在变与不变的探究中理解问题的本质，掌握解题通法，以此培养解学生的题能力，提升复习效果．

例2已知点F是抛物线y2=4x的焦点，过点F作两条互相垂直的弦AB，CD，点M，N分别为弦AB，CD的中点，求证：直线MN恒过定点．

分析：由已知可得直线AB，CD均有斜率，不妨设直线AB的斜率为k．则直线CD的斜率为-1/k．直线AB的方程为y=k（x-1）．将直线AB与抛物线的方程联立，去掉y得k2x2-（2k2+4）x+k2=0.由韦达定理可得点M（1+2/k2，2/k），同理可得点N（1+2k2，-2k），所以kMN=k/1-k2，直线MN的方程为y=k/1-k2（x-3），所以直线MN恒过点P（3，0）.

学生顺利完成解题后．教师出示一道变式题：已知点P是抛物线y2=4x上一点，其坐标为（1，2），过点P作两条射线．其与抛物线交于A．B两点．若PA·PB=0．证明直线AB过定点．

原题和变式题均为一个参数．解题思路基本相同．不过从变式题中得出参数关系式的方法相对烦琐．学生设直线方程时需要做好充分的预设，这样才能使运算过程最优化.

要知道．题海无边，数学题是永远做不完的，因此教师要有意识地引导学生对相似题进行归纳总结．让学生解决一题后掌握一类题的解决方法．实现知识的融会贯通．同时．教师要重视学生思考过程的呈现，充分了解学生所思所想．并引导学生运用思维导图进行归纳总结．从而将零散的知识点组合成系统．帮助学生形成较为完备的知识体系．

结束语

在高中数学复习中，教师要重视引导学生将零散的知识点串联起来，实现由点到面的建构．切实提高学生的知识迁移能力，当然．在建构过程中，不是教师直接将思维导图呈现给学生，让学生直接记忆，而是以提问、追问的方式帮助学生找到合适的方法，让学生自己梳理知识间的逻辑关系．建立符合个体认知规律的认知结构图．从而达到灵活检索、提取和应用的效果．

另外．复习课离不开解题．在解题过程中．我们不仅要追求结果．更要关注过程．教师要创造机会让学生互动交流．鼓励学生主动表达自己的想法，并引导学生利用思维导图去归纳总结知识，使其在脑海中留下深刻的烙印，切实提高学生的解题能力．

总之，在高三复习中，尤其在一轮复习中．教师作为课堂教学的“总策划”，要认真研究教学内容，打破章节的束缚，引导学生立足更高视角理解知识．并合理利用思维导图将知识联系起来．从而帮助学生建构完善的知识体系．增强学生的数学解题能力，达到复习效果．