基于学生发展的小学数学复习教学策略

蒋燕霞

【摘 要】单元复习课既是对本单元知识的回顾与整理，更是对本单元知识的练习与应用。新课程背景下的小学数学单元复习课，要本着“以学生的发展为本”的理念，既要注重引导学生掌握回顾整理知识的方法，更要注重引导学生在具体问题中学会思考，感悟在解决问题中常用的数学思维方法。

【关键词】复习课 知识体系 数学模型 教学方法

“长方体和正方体整理与练习”是苏教版数学六年级上册第一单元的复习课，它承载着对本单元知识的回顾与整理的重要作用。在这节课之前，学生对长方体和正方体的特征都有了直观的认识，已经能够熟记长方体、正方体的表面积公式及体积公式，同时也具备了一定的运用能力。但在课堂反馈和作业中，笔者发现，学生虽然会背公式，但缺乏收集有效信息、灵活应用信息、综合解决实际问题的能力。为了进一步实现提高学生解决实际问题的能力、发展其空间观念的目标，笔者设计“长方体和正方体整理与练习”一课，既引导学生掌握回顾整理知识的方法，更注重引导学生在具体问题中学会思考，感悟在解决问题中常用的数学思维方法。

一、思维导图——建立知识体系

（课件出示学生的整理作业）

师：同学们，这一单元我们学习了“长方体和正方体”，课前老师布置大家用思维导图进行整理，让我们一起来看看几个同学制作的思维导图，想一想，大家是围绕哪些方面整理的？

生1：通过整理，我们找到了长方体和正方体的相同点—8个顶点，12条棱，6个面，还找到了它们的区别—正方体是特殊的长方体。

师：非常好，你不仅关注到了长方体和正方体的特征，还关注到了正方体和长方体的关系。为什么正方体是特殊的长方体，你能说说理由吗？

生1：因为正方体和长方体一样，都有12条棱，但是它们长度都相等，正方体的6个面还是完全相同的正方形。

生2：因为正方体的6个面是完全相同的正方形，所以计算正方体的表面积，只要先算1个面的面积，再乘6个面就可以了。

师：是的，正方体的每条棱都相等。

生3：我们还整理了正方体的展开图。有“1-4-1”型，有“2-3-1”型，还有“2-2-2”型和“3-3”型。

生4：我认为可以把“田”字型也整理进去，提醒同学们这样的图是不存在的。

师：你的提议不错，我们可以从正例和反例两个角度来明确正方体展开图的特征。

生5：我们还可以整理怎么计算长方体、正方体的棱长之和，计算它们的表面积和体积。

生6：这个单元学习长方体和正方体的知识，既有长度的计算，又有面积、体积的计算，所以我从大到小整理了长度单位、面积单位、体积单位和容积单位的进率。

师：你们思考得真全面呀，关注到了解决问题的细节。

【分析】整理知识是单元整理和复习课的首要任务，这一单元关于长方体和正方体的知识点较多，如果在课上一一展示整理的过程，把知识点一一再现，会占用太多课堂上的时间，因此笔者把“回顾与梳理”设置为本节课的前置性作业，让学生通过整理摘录、思维导图等形式主动梳理概念、公式和推导过程，让学生主动构建特征与计算公式之间的联系，使学生原有的知识连成片，形成一个清晰的知识框架，建立知识体系。这样，有利于他们解决问题时信息的提取与运用。同时，让学生评价自己和同学的作业，促使他们自我反思、互相学习，为以后整理复习积累学习经验。

二、变式练习——构建数学思维模型

出示题目：

有一个长45厘米、宽40厘米、高30厘米的长方体容器，里面装有10厘米高的水，如果要把这个容器换一个方向，使原来的左面变成底面，这时容器中水高多少厘米？

师：请同学们读一读，在这个实际问题中，什么变了，什么不变？

生1：容器的底面积变了，原来是45×40=1800（平方厘米），现在是40×30=1200（平方厘米）。但是水的体积没有变。

师：很好，虽然容器摆放的方向换了，但是水的体积不变。同学们一下子就找到了解决这个问题的关键点，就是这个问题中的“变”和“不变”。如何解决这个问题呢？

生2：可以先求出水的体积，即45×40×10=18000（立方厘米），再除以左面的面积，也就是现在的底面面积，所以现在的水高度是18000÷（40×30）=15（厘米）。

生3：我们还可以列方程解决，设现在的水高度是X厘米，那么根据水的体积不变，根据水的体积和水的高以及底面积的关系，可以列出方程40×30X=45×40×10，求出水的体积。

生4：老师，我的方法跟他不太一样。水的高度是10厘米，长方体容器的高是30厘米，那说明水的高度是长方体高的1/3，水的体积也是长方体体积的1/3。即使换个方向放，水的体积还是长方体体积的1/3，水的高度也是长方体高的1/3。这时长方体的高是45厘米，所以水高15厘米。

师：非常好，刚才同学们从不同角度求出了这时容器中水的高度。如果还是平放，在里面放一根长20厘米、宽10厘米、高30厘米的钢块，钢块完全接触底面。水不溢出，这时水面高度多少呢？想一想，这时什么变了，什么不变？

生5：“钢块完全接触底面”，从中可以知道底面积变了，放钢块的地方就不能有水了，也就是底面积要减少20×10，所以水的底面积应该是45×40-20×10=1600。水没有溢出，说明水没有减少，也没再往里面放水，说明水的体积没有变。

师：说得真棒，一下子就找到了核心点。大家都听明白了吗？怎样解题呢？

生：18000÷1600=11.25（厘米）。

挑战3：一个长、宽、高分别是25厘米、16厘米、20厘米的长方体容器，将原来长方体容器中的水缓缓倒入这个容器，最终保持水面同样高，这时水的高度多少厘米？

生：这道题其实跟前面的题目是一样的，水的体积也是不变的，只是相当于把长方体的底面积扩大了，多了25×16=400（平方厘米）。

生：是的，还可以设想两个长方体中水的高度都是X厘米，两个长方体里的水的体积合起来就是18000厘米，列方程也很容易解决的。

【分析】长方体和正方体的实际问题是千变万化的，学生经常见到问题，却理不清解题思路。比如从问题中知道了什么信息，要求什么，哪些信息发生了变化，哪些信息没有变化。针对这样的现象，笔者结合现实问题，紧扣“什么变了，什么不变？”引导学生围绕这个点展开思考。这里分两个层次：第一个层次是基础的立体图形变了，棱长总和不变；立体图形变了，但是体积不变。第二个层次是讨论“水的高度”，在学生迁移前面经验设计情境问题，引导学生理解水的体积、容器底面积、水的高度之间关系是不变的，让更多学生学会利用这种关系解决这类问题，从而构建解决同类问题的思维模型。这样设计复习题，能促使学生在变化中抓不变，促进学生迁移应用所学数学知识解决问题，让学生学会用数学的思维思考问题，形成高效的复习。

三、多元解答——丰富数学方法

出示题目：

如果要给下面立体图形露在外面的部分刷上油漆，涂油漆的部分面积是多少平方厘米？

师：同学们，请仔细观察这个立体图形，哪些面要刷油漆，刷油漆的面积可以怎么求？

生1：题目中说露在外面的面要刷油漆，说明正方体和长方体接触的部分是不要刷油漆的，还有长方体的底面也是不用刷油漆的。所以正方体要算五个面的面积，长方体算前后左右面和上面扣掉正方体底面的部分。

师：你想得非常清楚，那正方体的棱长是多少呢？图中并未告诉我们。

生1：根据图我们能看出长方体的宽和正方体的棱长相等，是12厘米。

师：很好，信息都采集到了，那我们可以来计算涂油漆的面积了。谁来说说怎么解决？

生2：我先算正方体的面积——12×12×5=720（平方厘米），再算长方体的面积——（25×6+12×6）×2+25×12-12×12=600（平方厘米），720+600=1320（平方厘米）。

师：哪些同学也是这样算的？能说说为什么要减12×12吗？

生3：12×12指的是长方体和正方体接触的部分，所以要减掉。

师：原来两个立体图形接触的地方对于正方体来说不需要涂油漆，对于长方体来说也不需要涂，所以要减去。

生4：老师，我们还可以把正方体向右边移一移，这样就可以看出长方体上面需要涂油漆的部分是一个小长方形，它的长是25-12=13（厘米），宽是12厘米，面积是（25-12）×12=156（平方厘米）。长方体上需要涂油漆的面积就是（25×6+12×6）×2+156=600（平方厘米），再加正方体的五个面的面积，合起来就是1320平方厘米。

生5：我还有一个想法，在（25×6+12×6）×2+156这个算式里，其中（25×6+12×6）×2算的是长方体的侧面积，刚才我们练习时提到可以用底面周长×高算侧面积的，所以还可以先算底面周长（25+12）×2=74（厘米），再用74×6=444（平方厘米）求出长方体的侧面积，最后加上长方体上面涂色的156平方厘米和正方体的720平方厘米。

师：学以致用，用底面周长×高也可以求侧面积。

生6：刚才我们把长正方体向右平移，把原来长方体上面两个小的部分平移到一起，转化成了一个长13厘米、宽12厘米的长方形来算面积。我也想平移，我想把长方体上面涂色的部分平移到和正方体上面在同一个面上，就又可以转化成一个长25厘米、宽12厘米的长方形了。所以此时正方体中部分只要算四个面12×12×4=576（平方厘米），长方体中就算五个面是744平方厘米，涂油漆的总面积就是1320平方厘米。

师：你真会思考，通过平移，把原来零碎的部分转化成了一个完整的长方体的上面。

【分析】复习课上的拓展应用是必不可少的，练习则是巩固知识、发展能力、训练思维的重要途径。但是小学生的思维比较单一、狭隘。遇到问题时，他们只会朝着同一方向思考，或者用一种方法解决了问题，绝对不会再用其他方法去尝试解决验证。在这一环节中，教师给予了学生很多思考的时间和空间，让学生多角度地体会和表达，能有效地帮助学生更加清晰地梳理立体图形的内在结构，学会更加合理地转化信息，灵活地解决问题。通过灵活地解答问题，不同层次的学生可以选择不同的方法进行不同的思考，获得新的发现，得到新的发展。