经历数学学习过程 提高学生学习品质

李华

［摘  要］ 数学教学不仅要让学生学会知识，更要让学生学会方法，以此培养学生可持续学习能力. 在教学“任意角的三角函数”时，研究者以学生现有认知水平为出发点，以建构“更完整”的数学教学为方向，引导学生通过经历数学学习过程认识数学知识本质、构建知识结构、提高学习品质，从而让学生走上“会学”之路.

［关键词］ 知识；方法；学习品质

在传统高中数学课堂上，教学大多以“学会”为目标，教师通过“重复讲、反复练”，将数学知识“强灌”给学生. 表面上看，以教师为主的讲授式教学模式是高效的，通过教师讲授，学生既可以快速记忆概念、公式、定理，又能通过模仿解决问题. 但讲授式教学模式忽视了学生的主体性，学生的学习是消极的、被动的. 在数学教学中，教师应带领学生经历学习过程，让学生知道“为什么学”“如何学”，使学生理解学习的真正价值，掌握数学研究方法，进而走上“会学”之路.

教学内容分析

三角函数是刻画周期现象的重要数学模型，其在数学及其他领域中有重要作用. 任意角的三角函数建立在函数概念的基础上，是对初中所学的锐角三角函数概念的拓展. 在本节课学习前，学生已经掌握了“任意角和弧度制”知识，具有一定的探索锐角三角函数的相关经验. 这些知识和经验为理解本节课内容奠定了基础. 同时，学生具备一定的发现和探究能力，具有一定的研究数学概念的方法和经验，这为开展探究性学习活动提供了智力支持和方法保障.

教学过程

1. 回顾旧知，引入新课

师：生活中有许多“周而复始”的现象，你能列举一二吗？

问题给出后，学生积极思考，列举了许多例子，如四季轮回、日出日落、摩天轮等.

师：大家对函数都不陌生，它是描述客观世界运动变化规律的模型. 比如，我们会用二次函数来刻画抛物线运动，用一次函数来刻画直线运动，那么对于圆周运动，我们可以用什么函数来刻画呢？

设计意图 从学生熟悉的生活情境出发，利用“周而复始”的现象直观感知三角函数模型的实际背景. 在此过程中，教师带领学生回顾已学的函数模型，让学生体会引入新的函数模型的必要性和重要性，激发学生探究新知的热情.

2. 合作探究，形成概念

问题1 如图1所示，点P表示摩天轮上的客舱，如何刻画点P的运动情况呢？

设计意图 选择学生熟悉的摩天轮作为研究模型，引导学生将实际问题数学化，用数学眼光去观察，用数学语言去描述，用数学思维去思考，培养学生的数学抽象素养.

问题2 图2中x，y，r，α这四个变量之间存在怎样的数量关系？

问题3 假设点P的运动轨迹所对的角是锐角，你能得到怎样的数量关系？

通过刻画（x，y）与（r，α）之间的联系，让学生自主发现三角函数与圆周运动之间的关系. 同时，引导学生利用图形来分析和解决问题，这样借助图形的直观既可以淡化学生对数的抽象感，提高学生探究的积极性，又能培养学生的数学建模和直观想象素养，有利于学生学习能力的提升.

设计意图 问题给出后，引导学生画出图3所示的图形，借助图形让学生理解，对于确定的角α，若其终边确定，比值不会随着点P在终边位置上的变化而变化，继而为引入单位圆埋下伏笔. 在以上探究活动中，让学生在“变与不变”中感悟思想、提炼规律，促进学生逻辑推理素养的形成和发展.

设计意图 沟通角度制与弧度制之间的联系，让学生理解α是角，也是实数，逐步从探索锐角三角函数中的“函数关系”过渡至研究任意角三角函数的“函数关系”，体会数学知识间的内在联系，感悟由特殊到一般的数学思想方法. 同时，在此过程中，为了帮助学生理解终边相同的角有无数个，教师引导学生联想摩天轮旋转的过程，以此生活背景为依托，激发学生的探索热情，培养学生的直观想象素养.

设计意图 将锐角三角函数中的结论推广至任意角中，让学生体验数学迁移的魅力. 同时让学生经历类比、归纳、交流等过程完成概念的建构，体会逻辑推理在获得数学结论、构建知识体系中的价值，以此优化研究方法.

问题7 在问题6的基础上，继续向一般推广，你能发现什么？

设计意图 问题给出后，教师预留时间让学生对比、交流、推广，在启发和引导下自主归纳总结三角函数的定义.

问题8 既然sinα，cosα，tanα的值与α终边上的点的位置无关，能否在终边上取适合的点P，用它来计算sinα，cosα，tanα的值，以此达到简化运算的效果呢？

设计意图 充分发挥问题情境承上启下的作用，让学生在特殊化的过程中理解引入单位圆的价值，感悟数学的简约美.

在以上环节中，教师从学生熟悉的情境出發，借助摩天轮的运动情况，引导学生通过经历特殊到一般、具体到抽象的过程，逐步建立刻画周期现象的模型——三角函数模型，培养学生数学建模意识及素养.

3. 巧妙应用，深化理解

例1 已知角α的终边过P（2，－3），求sinα，cosα，tanα的值.

设计意图 通过“用”进一步理解相关概念及方法，培养学生程序化思考问题的品质. 另外，解题后，教师引导学生观察各象限函数值的符号，为后续研究三角函数值在各个象限的符号埋下伏笔.

4. 课堂小结，建构体系

说说本节课学习了哪些知识内容，有什么收获，并以小组为单位建构知识框架图.

设计意图 将课堂还给学生，让学生通过交流、反思、回顾，建构成如图4所示的知识框架图. 在巩固知识的同时，建构知识结构，让学生的思维更加有序，促进学生数学思维的生长.

5. 分层作业，巩固知识

作业在教学中是必不可少的. 在“双减”背景下，为了实现“减负增效”的教学目标，教师要结合教学设计分层作业，让不同的学生都能有所发展、有所提升.

教学感悟

1. 关注过程

众所周知，知识的掌握、技能的提升、能力的发展是无法通过直接讲授来达成的，需要经历一个循序渐进、反思顿悟的过程. 因此，教学中要提供机会让学生参与教学活动，鼓励学生反思感悟，逐渐将知识内化为能力. 若教学中采用“强灌”的教学方式，会束缚学生的思维，限制学生的发展. 在教学中，教师要不断更新教学观念，改变传统的只追求结果的教学模式，带领学生参与发现、构建和应用数学知识的过程，让学生深刻理解知识，掌握数学研究方法，获得可持续学习能力.

2. 关注整体

在教学中，教师应从全局的角度出发，关注知识的前后联系，引导学生回顾与拓展，逐步完善学生的认知结构，让学生更好地理解数学、应用数学，提高学生的数学应用能力和数学素养.

总之，数学学习能力的培养是一个慢过程，教师要学会放慢脚步，给学生一些时间和空间去探索与感悟，以此逐步提升学生的学习能力以及数学学科核心素养.