基于结构化教学的高中数学“主题—课时”教学设计

朱坤密 李德安 孙雪梅 罗蕊

［摘  要］ 数学结构化教学能让学生用整体、全局、联系的视角把握数学知识体系，从而形成良序的知识结构，养成良好的数学思维方式.文章提出高中数学“主题—课时”教学设计框架：在教材分析时，一找“三点”（找到新知的“起点”，新旧知识的“连接点”，思维的“突破点”）；二理“三线”（梳理“知识主线”，寻找“方法主线”，提炼“素养主线”）. 根据“三点”“三线”，在教学环节的设计中使知识结构化、方法结构化、过程结构化，利于学生实现知识、经验、思想方法的正迁移，从而促进学生认知结构及数学学科核心素养的发展.

［关键词］ 结构化教学；教学设计；核心素养

布鲁纳在其著作《教育过程》中指出：要掌握事物的结构，因为条理有序，整体性强的知识结构，很容易被学生掌握和记忆，因此，充分培养学生逻辑性和整体性思维，可以提高他们的学习效率，促进对知识的理解、概括［1］. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确提出：要突出数学主线，凸显数学的内在逻辑和思想方法；要引导学生整体把握教学内容，促进学生数学学科核心素养的形成和发展［2］.

结构化是一种思维方法，着重于对事物内部基本结构的探索，力求认识事物的基本要素和要素之间的基本关系，从而探索事物内在的基本规律［3］. 數学结构化教学能让学生用整体、全局、联系的视角把握数学知识体系，从而形成良序的知识结构，养成良好的数学思维方式，便于学生实现知识、经验、思想方法的正迁移，进而能举一反三、融会贯通，促进学生认知结构和数学学科核心素养的良好发展.

“主题—课时”教学是指以某一主题（如“函数”主题）为大单元下的某一具体章节（如4.2.1指数函数的概念）的教学（主要针对课时新授课教学）. 本文基于结构化教学的相关理论和多年的教学实践，提出高中数学“主题—课时”教学设计框架：在教材分析时，一找“三点”（找到新知的“起点”，新旧知识的“连接点”，学生思维的“突破点”）；二理“三线”（梳理“知识主线”，寻找“方法主线”，提炼“素养主线”）. 根据“三点”“三线”，通过“明线”（情境、问题、知识、活动等）和“暗线”（思想、方法、素养等）的形式贯穿整个教学过程，在教学环节的设计中使知识结构化、方法结构化、过程结构化，从而让学生的数学学习能够置于结构组织中，便于学生拥有一个整体的认知框架，能较好地促进学生思维品质和数学学科核心素养的发展.

下面以人教A版普通高中数学教科书（2019版）必修第一册（下文简称“课本”）“4.2.1指数函数的概念”为例，谈谈“主题—课时”教学设计框架的应用．

找“三点”

新知的“起点”是指学生的“现实起点”和“认知起点”. “现实起点”与学生的生活实际、学习及生活经验等相关. 本节课，学生在以往学习中接触过人口增长问题、细胞分裂问题、放射性物质衰减问题等，在新闻报道中听过指数增长、指数爆炸等词，这些都是学生的“现实起点”. 因此，可选择细胞分裂或病毒传播或碳14衰减等问题情境作为新课导入实例. “认知起点”是指学生的知识、技能以及认知经验等基础. 本节课，学生的“认知起点”在函数及幂函数概念学习的基础上展开，在前面的学习中，学生经历概念抽象的过程，具有通过对具体实例共性的归纳，进而再抽象概括的经验.

学生在新课学习中，旧知、思维、经验与新知会出现“断层”的现象，因而产生认知缺失或认知冲突. 想要解决这个问题，就需要有知识的联系、经验的链接或者思维的变换，这些就是新旧知识的“连接点”. 在教学中，要引导学生找到新知与已有知识和经验的连接点和结合点. 指数函数概念是课本第四章第二节第一课时的教学内容，安排在函数、幂函数、指数幂等知识之后，与函数概念、幂函数概念之间具有从属、并列的关系，这些都是新旧知识的“连接点”. 因此，教学中可类比函数概念、幂函数概念的学习来建构指数函数的概念，同时让学生注意指数函数与函数的上下位关系以及与幂函数在形式上的区别.

在数学教学中，数学概念的形成、运算法则及定律的探究、规律的总结、公式的推导、解题方法的揭示等都是学生思维的突破点. 在学习本节课之前，虽然学生对函数、幂函数的概念有了一定的了解，对幂ax（a>0）也有了一定的认识，但对指数函数的学习仍然有一定的畏惧感． 此外，高一学生的数学建模能力比较薄弱，对实际问题的解决有无助感. 因此，这些既是学生的“痛点”，也是学生思维的突破点.

理“三线”

从学习论的角度来看，学习的过程就是一个概括化的过程，越是概括化、结构化的知识就越具有迁移应用价值［4］.

梳理“知识主线”既要关注同一单元内容之间的逻辑关系，又要关注同一主题内容之间的逻辑关系.把章节内容置于同一单元内、同一主题内进行纵横联系和梳理，从不同视角对知识进行系统感知，并形成有序的、立体的、动态的整体结构，从而把零碎的、孤立的知识由点串成线，由线连成面，由面形成体.

教师可以通过“导学案”将知识主线图呈现给学生（指数函数相关知识主线图如图1所示），也可以让学生自己画出章节知识结构图. 让学生从整体、从全局系统把握所学章节知识与前后相关知识的联系，以及它所具有的或承上启下或基础铺垫或拓展延伸的作用.

“方法”主线一是指相关单元、相关主题共同的研究路径和方法，二是指本章节数学知识蕴含的通法通性以及具有一般性的数学思维方式.指数函数是基本初等函数之一，对它的研究遵循“背景—概念—图象与性质—应用”的基本路径和思路. 前面学过一般性的上位概念——函数. 函数的概念是通过概念形成的方式引入的，即先对具体实例进行共性分析，抽象概括出函数的定义，并用数学语言下定义，然后通过概念辨析，深入理解函数概念的内涵，从而让学生经历和感受“具体函数—一类函数—函数概念一般化”逐步抽象的过程. 通过对幂函数概念的辨析，学生领会了通过具体实例（正例和反例）进一步理解概念的关键词（或语句）的含义，能正确区分相似概念的方法. 这些都为指数函数概念的学习提供了方法指导.

本章节的学习要让学生理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，学会用图象和代数运算的方法研究函数，理解函数中所蕴含的运算规律，并会用这些函数建立模型解决实际问题［5］. 因此，本章节以及本课题的“核心素养线”主要涉及数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养.

教学过程设计

基于对指数函数概念“三点”“三线”的分析，下面呈现的是相应教学过程设计片段.

1.？摇创设情境，实例导入

情境创设：（1）播放某地区病毒传播的新闻报道，并展示病毒感染人数图片.

（2）引用课本第四章的引言：考古学家利用良渚遗址中遗存物碳14的残留量测定遗址年代.

通过对两个实例的呈现，引入课题：病毒传播的研究以及考古学家测定遗址年代时所用的数学知识就是今天要学习的指数函数.

设计意图 通过对学生的“现实起点”的分析，用现实中的实例引入新课，让学生明确为什么要学习指数函数，同时激发学生的求知欲.

2. 归纳概括，抽象概念

问题呈现：（1）《庄子·天下篇》中说道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”请写出取x次后，木棰的剩余量y与x的关系式.

（2）將一张A4纸不断对折，请写出对折x次后，纸的层数y与x的关系式.

（3）阅读课本第113页的问题2后，请写出生物体内碳14含量y与死亡年数x的关系式.

列表观察：如表1所示.

类比思考：（1）函数的定义是什么？

（2）前面对函数和幂函数下定义时，采用的是什么样的思维方式？ 结合学习函数和幂函数的经验，应该如何学习这个新的函数？

（3）这三个函数的共同特征是什么？请写出其一般形式.

形成概念：通过对上述三个问题的思考，采用引出函数和幂函数概念的思维方式“观察例子—寻找共性—归纳概括—抽象定义”，使指数函数概念的引出水到渠成：函数y=ax（a>0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．

概念理解：（1）比较指数函数与幂函数的表达式的异同.

（2）类比一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数一般形式中对相关常数的取值范围的限制，请思考并讨论指数函数y=ax中的常数a为什么要限制“a>0，且a≠1”？

（3）呈现正反例，通过辨析判断，进一步理解并掌握指数函数的概念和本质特征. 判断下列说法的对错.

①y=是指数函数．（  ）

②y=x2是指数函数．   （  ）

③y=2-x不是指数函数． （  ）

（4）呈现课本第114页的例1，指导学生联想求函数表达式常用的待定系数法及方程思想，先求得指数函数的表达式，再求得相应的函数值.

设计意图 一方面，改变教材中的引例——通过对三个问题的探讨作为引例，类比函数和幂函数概念的抽象，引导学生观察三个函数的共性并归纳概括，抽象出指数函数的概念，进一步培养学生数学抽象核心素养． 另一方面，通过复习旧知，找到新旧知识的“连接点”，并通过对指数函数和幂函数概念以及表达式的对比学习，加深学生对指数函数内涵及外延的理解和判断.最后，利用（3）（4）两道例题，一是促进学生对指数函数概念本质的理解和掌握，二是回顾旧知，加强新旧知识的联系. 在教学中，通过迁移、类比、联想，让学生感受数学的整体性及系统性.

3. 模型建立，拓展应用

提出问题：呈现课本第111页的问题1和第113页的问题2，引导学生建立指数函数模型来解决实际问题.

问题1 略，详见课本第111页.

（1）比较A，B两地景区游客人次的变化情况，有怎样的变化规律？

（2）如果游客平均出游一次可给当地带来1000元的门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，B地景区没有门票，比较这15年间A，B两地旅游收入的变化情况.

建立模型：（1）引导学生将表中的数据直观化：根据表格中的数据，描点、连线，分别作出A地景区和B地景区游客人次随时间变化的图象，如图2、图3所示.

（2）对问题（1），引导学生观察图象，并用数学语言将A地景区和B地景区游客人次随时间变化的规律表示出来：设经过x年后，景区游客人次为y，则A，B两地景区y与x之间分别有什么关系？

对于A地景区，引导学生通过图象观察和数据分析，可得A地景区游客人次近似直线上升，年增加量约为10万次，易得y=600+10x（x∈［0，+∞））.

对于B地景区，引导学生分组探究，通过对B地景区每年的游客人次做相应的运算：一些组做减法，一些组做除法.通过图象观察和数据计算，学生明白当每年游客人次的年增长量不同时，不能用“增长量”求出B地景区游客人次y与x的关系式，应该寻找“增长率”这个相同的量来刻画此规律. 通过计算可知，经过x年后，B地景区游客人次是2001年的1.11x倍，即y=278×1.11x（x∈［0，+∞））.

对于B地景区游客人次的变化规律，有了前面的探讨和指数函数概念的学习，要探究y与x之间的关系，还可直接告知B地景区游客人次是指数增长，图3是指数型函数图象，可假设y=278ax. 引导学生用待定系数法和方程思想来求函数表达式：由题目中的数据和图象可知，当x=1时，y=309，即309=278a，解得a≈1.11，所以y=278×1.11x（x∈［0，+∞））.

解决问题：对于问题（2），引导学生应用问题（1）得到的两个函数解析式，画出其图象来分析这15年间A，B两地景区旅游收入变化情况，并在此基础上延伸出一般的指数增长模型：设原有量为M，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y=M（1+p）x（x∈［0，+∞），p>0）．

设计意图 由于教材中的问题1较难，因此教学设计时将其调到应用环节. 在分析和解决问题的过程中，引导学生通过分析数据和计算推理，找出规律，建立函数模型． 根据“素养主线”，在教学过程中要注意培养学生的数据分析、数学运算、数学建模等核心素养. 通过分组探究，让学生学会用不同的方法寻找变化数据中的不变量，同时让学生掌握增加量、增长率这两个刻画事物变化规律的重要量. 通过数学运算来培养学生的数据分析素养，让学生养成数学思维思考现实世界. 这是学生思维的“突破点”，也是教学的“突破点”.

通过对问题1的分析和探究，渗透数学建模思想，让学生初步感知数学建模的基本过程：在实际情境中，从数学的视角，发现和提出问题—建立和求解模型—检验和完善模型—分析和解决问题，使方法、过程结构化. 这既能为以后解决实际问题提供思路和方法，又能化解学生的“痛点”.

问题2 在课本第113页的问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？

呈现新概念：教师把问题1、问题2中出现的两种指数函数模型概括为一个新概念——形如y=kax（k≠0，a>0，且a≠1）的函数称为指数型函数.

设计意图 对于问题1及问题2，教师引导学生利用指数函数模型分析和解决问题，让学生感受函数在现实生活中的应用，进一步培养学生的应用意识，让学生逐步会用数学语言表达世界. 另外，通过拓展延伸，让学生由一种函数的学习迁移到一类函数的学习，同时掌握解决实际问题的基本思路：发现问题—提出问题—分析问题（找寻方法）—解决问题（模型建立）—拓展应用（模型应用）.

4. 反思总结，整体建构

（1）今天我们学到了哪些知识和思想方法？

（2）本节课的学习与哪些知识有联系？回到知识主线图，我们学习了什么？将要学习什么？

（3）本节课的学习应用了哪些研究方法或思维方式，体现了哪些数学学科核心素养？

（4）根据对多种函数的研究经验，我们后续要如何研究指数函數？说说你的研究思路和方法.

设计意图 通过对问题（1）（2）（3）的反思总结，让学生梳理本节课所学到的知识、方法等，让学生通过“主题—课时”学习能做到“瞻前顾后”“前呼后应”，进而形成完整的知识体系，并重构其认知结构. 通过对问题（4）的反思，一是为后续指数函数图象和性质的研究做铺垫，二是总结研究一种新函数的思路和方法：可从数的角度（定义和解析式）研究函数，也可从形的角度（图象）研究函数.

基于结构化教学的高中数学“主题—课时”教学设计要遵循“整体性、联系性、结构化”等原则，以知识结构、方法结构、素养结构为抓手，以点带面，让学生学会从一个知识点到一类知识群的学习，掌握解决一个问题到一类问题的数学思维方式，从而能达到触类旁通、举一反三的效果，促进学生认知结构和核心素养的发展和完善.

参考文献：

［1］ 布鲁纳. 教育过程［M］. 邵瑞珍，译. 北京：文化教育出版社，1982.

［2］ 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］ 皮亚杰. 结构主义［M］. 倪连生，王琳，译. 北京：商务印书馆，2017.［4］ 王俊. 结构尝试教学法［M］. 北京：首都师范大学出版社，2012.

［5］ 章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究（上册）［M］. 上海：华东师范大学出版社，2021.