通过“尺规作图” 突破几何的局限

武 琼 乌小黑

（1.陕西省宝鸡市渭滨区金陵小学，陕西 宝鸡 721008）

（2.陕西省宝鸡市金台区陈仓路小学，陕西宝鸡721004）

尺规作图的教学在小学阶段的数学学科教学中具有特殊的作用。小学生普遍处在好奇心最强烈的阶段。面对“尺规作图”这一新鲜事物，学生往往会乐于探究何为“尺”、何为“规”，无刻度直尺和圆规这一组合能发挥怎样的作用。教师应当在这一阶段的教学当中引导学生对“尺规作图”这一概念进行探究，了解尺规作图的理论基础，学习尺规作图的作图方法。

一、尺规作图的含义与渊源

尺规作图需要借助直尺以及圆规，绘制出几何图形，在几何知识的学习过程中能够发挥重要的辅助作用。尺规作图能够使学生的动手实践能力和空间想象能力得到良好的培养，推动学生的全面发展。这一方法也得到了越来越多的关注。在数学学科的教育实践当中，尺规作图也始终受到关注与应用。尺规作图最早来源于雅典时期，并在漫长的历史发展当中衍生出了许多有趣的问题。尺规作图在当下已经发展成为几何教学中的重要部分，成为学生研究几何问题的重要工具。

二、尺规作图在小学几何教学中的价值

在小学阶段的教学工作中，往往还要面临着学生基础薄弱的问题。而能否在这一阶段打下良好基础，决定了学生未来的数学学科学习之路是否顺畅。尺规作图可以充分提高学生的基础知识水平，进而增强学生对基础知识的理解，使学生具备更强的解决问题的能力，并使学生的逻辑思维能力得到锻炼，使学生具有更强烈的学习热情。在数学学科几何知识的学习过程当中，尺规作图能够对学生的多项技能水平进行很好的锻炼。在尺规作图的过程当中，学生可以锻炼推理能力、问题分析能力与逻辑思维能力，从而提高综合素质和个人能力。

（一）动手操作能力的增强

几何图案往往需要借助一些辅助工具以及辅助线来认知。因此，要想解决数学学科中的几何问题，就必须具备一定的动手能力。尽管在数学课本上的那些公式和定理，已经经过了众多优秀数学家的验证，但这些被整理和总结出来的公式定理往往过于简练，对于小学阶段的学生来说，因为他们还处在思维发育并不完善的时期，所以很难在短时间内理解和接受。学生往往需要通过死记硬背来记住这些知识点，却并没有将知识点真正融会贯通。要改变这一现状，就让使学生更加直观地进行观察和实际动手操作，从而使学生真正对书本上所讲解的公式定理产生思考，进而理解公式定理的推导过程。例如，在《矩形周长》一课当中，需要使用直尺完成直线绘制，并依靠圆规完成对固定距离的确定。尺规作图这一技能，正是通过这两个特性来实现的。因此，学生在学习尺规作图的过程当中，就必然要学习对直尺和圆规的运用。

（二）几何抽象能力的提升

在学习数学学科的几何知识时，肉眼观察是一个重要环节。尤其是所面对的知识点具有较强的抽象性时，教师需要引导学生了解怎样在直观的图形中表达出抽象的数学概念。直观的图形在几何知识的教学当中具有举足轻重的地位，尤其是对于小学阶段的学生而言。教师应当注意图案的精细程度，在尺规作图的过程当中，需要做到更加精确，从而减小误差，图形以更加直观的形式呈现出来，进而引导学生思考，激发学生的探索热情，使学生能够体会到数学学科的特殊魅力所在。通过尺规作图的锻炼，学生能够依靠动手实操近距离接触图形的构成，了解其几何特性，进而形成更为完备的几何思维。广大教育工作者应当注意引导学生形成尺规作图的基本概念，使学生了解尺规作图是如何实现的、能够作出何种图形以及不同的图形尺规作图的操作步骤，并了解尺规作图背后的原理，增强空间感与想象力。例如，在人教版四年级下册的《三角形》一课中，学生需要利用三条给定长度的线段，并依靠尺规作图的方法，以圆弧确定焦点，使三条线段能够移动拼接，形成一个三角形。学生在这个过程当中能够体会到线段是如何转化为图形的，也能够在动手实操当中展开思考，组成三角形的三条线段之间的关系，进而探究怎样的三条线才能够组成三角形，从而使学生推导出能够构成三角形的线段有怎样的特性、互相之间存在着怎样的关系，从而对三角形这一图形的了解更加深入。

三、小学数学尺规作图教学现状

从学习的角度来看，一方面要运用学习过的知识进行未知世界的探究，另一方面要运用学习过的知识展开问题的解决。因此，必须将学习与生活互相结合，让书本知识融入生活。尺规作图是一种较为简单的实践。就小学数学教学而言，当成功引入尺规作图这一课题后，不仅有利于新课标要求的更好满足，而且有利于学生创新能力的深层次培养，尤其是符合综合素质培养的实际需求。创新能力和思维方法的培养将为学生未来的发展打下良好的基础。

（一）新课标中对小学数学尺规作图的要求

新课标中规定了在义务教育阶段的培养要求，并对这些要求进行了细化。从小学中段学生角度来看，要在尺规作图的作用下，既要掌握已知线段绘制的方法，也要掌握将三角形三条边绘制在同一条直线上等方式。高年段的学生还应当学会利用圆规画圆以及利用尺规作图探究三角形的特点与三边关系。与以前的课程标准相比，新课标在尺规作图方面更加侧重于引导学生了解尺规作图背后的逻辑，从而让学生在动手实践中学习理论知识，促进学生综合素养的提高，为学生未来的学习打下良好的基础。

（二）小学数学教学中尺规作图的难点

在尺规作图的学习当中，小学阶段学生的思维能力水平往往是最大的局限因素。小学阶段的学生逻辑思维能力和探索认知水平还不够高，对于世界的探究还处在观察和分析当中，还没有形成一套严谨的思维逻辑。尤其是低年级的学生，往往很难理解尺规作图的定义和方法。低年级的学生往往掌握的数学概念较少，在探索问题时缺乏一些基础知识，也就无法充分发挥直尺与圆规的工具作用。而与此同时，低年级的学生往往具有较为旺盛的精力和跳跃性的思维，在课堂上容易出现走神的情况，跟不上教师的思路，也容易把教学工具当成玩具来摆弄，使得作图工具不仅对学习无法发挥帮助作用，反而适得其反，影响了学生的学习。

四、尺规作图在小学数学中的教学策略

学生是课堂教学工作的核心，而教师则应当扮演一个引导者的角色，带领学生完成课堂上所布置的学习任务。在尺规作图这一模块，就需要学生加强对图形的认知和对概念的理解。尺规作图能够在学生的脑海中构建起抽象概念模型，使得学生的空间想象能力得到全方位的提升、逻辑思考能力得到多维度的发展。

（一）在实际教学过程中提出并解决问题

处于小学阶段的学生在学习期间缺乏必要的主观能动性作为支撑，需要在教师的引导之下被动地学习。这就需要教师加强课堂引导，提出问题和学习任务，在保持学生课堂主体地位的前提下正确把握教学方向，充分激发学生的兴趣，在潜移默化中引导学生向着正确的探究方向前进。提出问题和解决问题可以使学生的逻辑思考能力得到有效增强。除此之外，尺规作图还能有效增强学生的自信心和成就感，激励学生主动思考问题。例如，在对尺规作图进行初步接触的过程当中，教师可以布置一个开放性的课后作业，使学生感知尺规作图作为一项重要工具对于几何知识学习的作用，进而思考如何利用尺规作图解决遇到的实际数学问题。教师可以启发学生尝试通过独立思考和合作探究，感受在尺规作图当中利用圆规画弧所产生的作用，进而启发学生发现两弧交点这一重要的解题关键。在这个情境的创设当中，学生可以体会到尺规作图所带来的乐趣，获得自主探究的成就感。即使最后没法独立探究出正确结论，也可以对自身的解题过程进行反思。这一环节也为后续尺规作图画三角形的课程教学提供了铺垫，达到了课程教学事半功倍的作用，提高学生的探索欲望和学习热情，使学生真正接触到数学的魅力所在。

（二）注重推理和思考的过程

尽管大多数数学题目的结果是唯一的，但思考的过程和使用的方法却并不唯一，这主要取决于学生个人能力的高低和思维方式的不同。在学习尺规作图和将尺规作图应用到实际问题当中时，也会由于学生综合能力和偏好的不同产生不同的作图方法。这种差异性也体现了思维的多样性。推理和思考能力需要依靠于后天的学习，来自于不断的锻炼。因此，小学阶段的数学教育工作者，应当在开展课堂教学活动时注意结果并不是唯一要关心的事情，也应当关注学生解题的过程，发现学生在思考过程当中是否存在误区。在进行尺规作图的教学工作时，教师可以将不同的方式按照严谨程度排出先后顺序，并为学生详细讲解它们的推理过程，并指导学生对几种作图方式进行比较，看一看不同的思路之间的差异，找到各自的优势与不足之处。这也可以使学生明白，在解题的过程当中，有哪些推理步骤是不能省略的。也可以使学生获得更加深刻的印象，为课堂教学的成效提升提供更多的帮助和支持。此外，教师对尺规作图的教学工作，也不应当被限制在知识点的框架之内，也可以将尺规作图作为一项充满趣味的探索性内容，引导学生按照自己的兴趣展开自主探究，使学生感受数学学科的魅力所在。

（三）教学内容设计依照实际情况

以人为本的教育理念常常被我们反复提及，在尺规作图的教学工作中也不例外。在对教学内容进行设计时，应当遵守总体性原则与渐进性原则，从而使学生打下良好的学科知识基础，不断提升自身的知识水平与思维逻辑。教师也应当针对不同年龄段的学生制定相应的教学计划，使学生随年级的不断升高而不断进步，循序渐进的掌握更多的知识内容，不断增强自身的认知水平。而要想达到这种循序渐进不断进步的效果，就需要教师在教学内容的设计上充分考虑到学生思维能力的发展阶段。对于小学阶段的学生来讲，可以简单地根据年龄划分为低年级、中年级和高年级。而对于不同层次的任务，也可以大致分为三个阶段。第一个阶段要让学生熟悉尺规作图这一概念，能够对尺规作图的基本应用熟练掌握。第二个阶段则要对尺规作图产生理解和思考，并对背后的理论与操作方法进行探索。第三个阶段，则要把思考的内容应用到实际问题当中，真正做到活学活用、融会贯通，能够在解决实际问题时，发挥自身的想象力和主观能动性，体会尺规作图当中所蕴含的数学理念。如果对一个知识点只有死记硬背而没有深入的理解，就很容易将这个知识点忘记。但如果对知识点产生了研究和思考，就可以在这一过程当中记得更加牢固，形成自身的思维模式，而非机械的记忆。更为重要的是，尺规作图的学习过程与学生的综合素养提升之间同样具有非常紧密的联系。

（四）注重给予学生反馈和评价

就教师的评价与反馈而言，其对于检验学生的学习成效来说，有着重要的影响和深远的意义。同时，当教师的评价与反馈具有及时性和准确性后，有利于让学生在更短的时间内实现自身学习效果的提升。特别是在尺规作图的背景下，学生的动手实践能力能够得到较好的提升，但想要实现这一愿景，需要教师对学生进行正确的指导和帮助。此外，教师的评价与反馈与教师对学生的关注程度之间有着直接相关的正向关系。如果一些学生的学习主动性不够好的话，较高的关注程度也是一种激励方法，可以提高学生参与到课堂学习中的积极性，也能够促使学生养成良好的学习习惯。除了教师的评价之外，同学之间的评价也十分重要。这种评价所能带来的满足感是其他激励所无法替代的。

五、结语

总的来说，在小学阶段的数学学科学习过程处在打牢基础的一个阶段，对学生思维逻辑的锻炼和思考能力的提高具有十分重要的意义。而尺规作图能够极大地提升学生的个人能力，使学生的思维得到锻炼，认知水平得到提升，综合能力素质得到提高。在几何知识的教学当中，广大小学数学学科教师应当充分重视到尺规作图的重要价值，把尺规作图运用到几何知识的教学工作当中，打破课本对于几何知识的局限，引导学生学会使用尺规作图解决所遇到的数学问题，激励学生自主地探索尺规作图背后蕴藏的几何思维。尺规作图，将几何知识的教学从静态的知识点变成动态的逻辑思维，真正促进学生个人能力的提高，提升学生的综合素质能力水平，推动学生的全面发展。