一个有趣的数学教学案例

汤芳

【内容摘要】假设你手上还有一把没有刻度的直尺和一个圆规，则你可以在有限步内做出任意长度为有理数的线段。该问题的解法其实就来源于对于四则运算最朴实的认识。

【关键词】尺规作图 四则运算 数域

假设现在有一个平面，已知这个平面上的两点AB，并且已知它的长度是1。假设你手上还有一把没有刻度的直尺和一个圆规，请证明：

（1）你可以在有限步内做出任意长度为正整数的线段；

（2）你可以在有限步内做出任意长度为有理数的线段。

为了进一步明确题意，在此列出所有你可以做的事情：

①可以把一条已知线段延长成为一条直线，

②只能以已知点为圆心作圆，

③只能以已知某两点之间的距离为半径长度作圆，

④在你所做的线段，直线或者圆上取出你想要的任何一个点（进而你可以取出它们相互之间的交点），取出后都视为已知点。

解答（1）以B为圆心，长度1（已知线段AB的长度就是1）为半径作圆；利用直尺做出直线AB；取得直线和圆异于A的交点C，于是得到已知点C，并且2也是已知长度（AC长度是2）；以C为圆心，长度1为半径作圆，取得它与直线AB异于B的交点D，于是得到已知点D，并且3也是已知长度。不断重复这个步骤，在有限步内一定可以做出任意长度为正整数的线段

（2）对于任意的有理数 ，由 （1），我们可以在直线AB上取得四个已知点PQRS，使得PQ长度为p，QR长度为1，QS长度为q；以已知点Q为圆心，已知长度q为半径长度作圆，取出这个圆上任意一个不在直线AB上的点T，得到已知点T；由于尺规可以在有限步内做出任意线段的垂直平分线，于是我们做出PT和TR的垂直平分线，取得它们的交点O作为已知点；以O为圆心，已知点OP之间的距离为半径长度作圆；利用直尺做出直线QT；取得直线QT与圆异于T的交点U，于是得到已知点U，并且QU长度即为 。

小结（1）关于读题，本题的读题关键是读懂“有限步内”。本题最容易出现的一类读题错误就是：对于AB（长为1），以B为圆心，AB为半径作圆，圆上所有点与A的距离的取值范围是0到2，于是就认为长度为0到2之间所有实数的线段都可以做出来了。如果你是这样认为，请你想想，以 为例，圆上确实有一个点，它到A的距离是 ，问题是你怎么在有限步内把它找到？

（2）本题的解法其实就来源于对于四则运算最朴实的认识，在最开始人们只知道做加法的时候，人们拿着数0和1通过加法就做出了所有正整数（第一问就是考察这个），同一个正整数不停地重复和它自己相加于是得到了乘法的定义。对于a，b，人们不会直接作减法，但是人们思考什么数c会满足a+c=b，于是就产生减法的定义，并且产生所谓“负”的概念，正整数被扩展到全体整体。除法也是一样的，对于a，b，人们是通过寻找c，使得ac=b才定义了除法。这就是为什么人们把减法叫做加法的逆运算，把除法叫做乘法的逆运算。

（3）解方程a+x=b，我们真正做的事情是寻找一个c，使得a+c=0，方程两边同时加上c，就得到解是x=b+c，实际上c就是a的“负元素”，即（-a），上述工作实际就是减法；解方程ax=b（a 不为0），我们真正做的事情是寻找一个元素c，使得ac=1，方程两边同乘c，于是得到解是x=bc。不要觉得这样的认识没有意义，有的时候加法和乘法运算你可以一目了然，但是除法就不一定了，比如在模p的意义下看除法 ，仔细想想这个时候除法是怎么定义的，你就会知道这样的认识是必要的。

（4）进一步介绍四则运算封闭的定义，以及数环和数域的概念。集合S对加法封闭是指：对于S中任两个数a，b，a+b也在S中（减，乘，除封闭的定义类似可得）。对于加减乘封闭的数集称为环，对于加减乘除都封闭的数集称为数域，比如整数集就是一个环（又叫整数环），有理数集就是一个数域。为了避免空集的干扰，我们定义数环和数域都要求0，1是其元素。我们这道题就模拟了一个有理数域产生的过程，本题说明了所有能够做出的长度组成一个数域，也说明了有理数域是最小的数域（补充说一句最大的数域是复数域）

（5）本题是古希腊人研究的著名问题之一，在还不知道有无理数这个东西的时候，古希腊人当然会猜想用尺规做出的线段长度组成的数集就是有理数域。在数学知识和宗教地位绑在一起的年代，人类认识到无理数的存在是一个艰难而充满血腥的过程，如何进一步从有理数集走到实数集，将是高等数学一开始就将要介绍的知识。在大家都知道无理数存在的今天，我相信有很多同学做出了长度为 的线段，于是这道题的实际结果是不是可以做出所有实数呢？很遗憾，答案也是否定的，伽罗华（Galois）创造的群的理论成功说明了能够做出来的长度是所有以实数为系数的二次方程的根组成的数集，古希腊人在公元前几百年时就已经在寻找的这个数域，在2000多年后的19世纪才被Galois找到。

（作者单位：湖南省长沙市雅礼中学）