PMSM正切趋近律无位置传感器角度补偿方法研究

摘 要：

在负载转矩突变的动态过程中，基于PI调节器的角度补偿方法作用时PMSM超螺旋滑模观测器（STSMO）转子电角度估算误差波动剧烈，因此依据角度估算误差的定义，建立了转子电角度补偿算法的数学模型。根据滑模控制和趋近律理论，提出了基于正切趋近律的变步长闭环角度补偿方法，选择角度估算误差的半角正切值作为角度调节步长，并通过前馈解耦得到的角度估算误差正余弦信号计算该步长，实现了对无位置传感器控制系统动态性能和抗扰动能力的改善。根据归一化灵敏度的定义，分析调节步长随角度估算误差变化的灵敏度，提出了基于归一化补偿灵敏度的系统动态性能分析方法，衡量两种补偿算法作用下系统的动态性能。计算和仿真结果表明，正切趋近律补偿方法具有更高的归一化补偿灵敏度，在负载转矩突变等角度估算误差变化剧烈的工况下能够实现更好的补偿效果，抑制估算角度误差的波动。实验结果表明，相比传统的PI补偿方法，正切趋近律补偿方法能够将突加额定转矩动态过程中角度估算误差的波动幅度降低619%，动态过程持续时间缩短23%，有效提升了系统的动态性能和抗扰动能力。

关键词：永磁同步电机；无位置传感器控制；超螺旋滑模观测器；角度估算误差；PI补偿方法；滑模控制；正切趋近律；归一化补偿灵敏度

DOI：10.15938/j.emc.2024.01.003

中图分类号：TM351

文献标志码：A

文章编号：1007-449X（2024）01-0026-09

Angle compensation method using tangent reaching law for PMSM sensorless control system

XU Qiwei，"JIANG Donghao，"WANG Yiming，"ZHANG Xuefeng，"LIU Jincheng，"CHEN Yangming

（State Key Laboratory of Power Transmission Equipment Technology， Chongqing University， Chongqing 400044， China）

Abstract：

To solve the problem that in dynamic process of sudden change of PMSM load torque， the fluctuation of supertwisting slidingmode observer （STSMO） rotor electric angle estimation error is intense even under the regulation of angle compensation method based on PI regulator， the mathematical model of PMSM rotor electric angle compensation method was established according to the definition of angle estimation error， and the variablestep closeloop angle compensation method using tangent reaching law was proposed from the perspective of slidingmode control and reaching law theory. The tangent value of half angle estimation error was chosen as angle regulating step of compensation method and was calculated by sine and cosine signal of angle estimation error obtained by feedforward decoupling algorithm， which can improve the dynamic performance as well as ability against disturbance of PMSM sensorless control system. According to the definition of normalized sensitivity， the method of system dynamic performance analysis based on normalized compensation sensitivity was proposed by analyzing the sensitivity of regulating step to the variation of angle estimation error， which can compare the dynamic performance of the system under the regulation of 2 different compensation methods. Calculation and simulation results show that the normalized compensation sensitivity of tangent method is higher than that of PI method. This means that the tangent method can achieve better compensation accuracy and suppress the fluctuation of angle estimation error when angle estimation error changes dramatically. Finally， relevant experiments have been conducted， whose results show that for experimental PMSM， tangent method can reduce the fluctuation of angle estimation error by 61.9% and shorten the transient process by 23% in dynamic process of sudden increasement of rated load torque. The dynamic performance and ability against disturbance are improved effectively.

Keywords：permanent magnet synchronous machine; sensorless control; supertwisting slidingmode observer; angle estimation error; PI compensation method; slidingmode control; tangent reaching law; normalized compensation sensitivity

0 引 言

作为一种二阶滑模观测器，超螺旋滑模观测器（super"twisting sliding"mode observer，STSMO）结构简单，对自身参数变化和外部扰动具有较强鲁棒性，尤其是能够显著抑制观测器在滑模面附近的抖振[1-2]，可以对反电动势信号进行观测，并通过锁相环（phase"locked loop，PLL）对反电动势信号包含的转子位置信息进行提取[3-4]。因此，在中高速下表贴式永磁同步电机（surface"mounted permanent magnet synchronous machine，SPMSM）的无位置传感器控制领域得到了广泛的研究与应用。

理论上STSMO能够完全抑制观测器在滑模面附近的抖振现象，其观测的反电动势不需要进行低通滤波即可直接作为PLL的输入，因此理想状态下STSMO估算反电动势信号中不存在相位延迟，无需对PLL估算的转子电角度进行补偿。然而，考虑到脉冲宽度调制（pulse width modulation，PWM）数据更新延迟、PLL动态跟踪过程的时间滞后性等非理想因素的影响，实际STSMO和PLL估算转子电角度将存在较大的角度估算误差，尤其在负载转矩突变的动态过程中，角度估算误差的大幅波动可能导致电机失步，严重破坏系统的可靠性和稳定性。

针对SPMSM无位置传感器控制系统中观测器估算转子电角度存在的角度估算误差，国内外学者进行了大量研究，提出了多种补偿方法。文献[5]根据SPMSM参数变化造成的滑模观测器（sliding"mode observer，SMO）角度估算误差与逆变器母线电流之间的关系，将母线电流变化率作为误差信号，通过PI调节器计算补偿角，但需要在硬件部分增加母线电流的采样和处理电路。文献[6]提出使用2个同步频率提取滤波器对SMO估算反电动势信号中的谐波误差进行提取和补偿。然而，该方法包含多个待调整参数，导致观测器设计的复杂程度增加。文献[7]针对SMO趋近律使用Sigmoid函数近似代替符号函数带来的转子电角度估算误差进行补偿，同时采用一种前馈PLL抑制调速过程中SMO的角度估算误差。文献[8]提出一种基于PI调节器的SPMSM角度估算误差全补偿方法，根据SPMSM估算坐标系下的电压方程，在电流环加入前馈解耦算法获得角度误差的正弦信号，之后将该信号作为误差信号，经过PI调节器计算得到补偿角。相对其他角度补偿方法，该方法相对简单，将角度估算误差作为整体进行分析和补偿，避免了针对角度估算误差的各类产生机理进行分析，因而在SPMSM无位置传感器控制系统中得到了广泛的应用。

本文在仿真和实验基础上指出，不加角度补偿算法时STSMO和PLL估算转子电角度存在较大的角度估算误差，揭示对STSMO和PLL估算转子电角度进行补偿的必要性；对基于PI调节器的角度补偿方法进行理论和仿真分析，指出其存在负载转矩突变的动态过程中角度估算误差波动剧烈的问题。其次，针对这一问题，结合滑模控制和趋近律理论提出一种基于正切趋近律的变步长闭环角度补偿方法，改善系统的动态性能和抗扰动能力，并提出归一化补偿灵敏度的概念，分析比较两种补偿算法作用下的系统的动态性能，同时通过仿真结果对理论分析进行验证。最后，搭建三相SPMSM实验台架，对正切补偿方法进行实验验证。

1 基于PI调节器的SPMSM角度补偿

1.1 三相SPMSM"STSMO的设计

根据超螺旋滑模控制原理，三相SPMSM的二阶STSMO可以设计为

式中：i^α、i^β分别是SPMSM定子α、β轴电流的观测值；uα、uβ分别是定子α、β轴电压；Rs、Ls分别表示定子电阻和定子电感。

超螺旋滑模控制量zα和zβ的表达式为

式中：参数k1gt;0和k2gt;0是STSMO的增益；sgn（）是符号函数；i～α、i～β表示STSMO电流观测误差，即

在控制量的作用下，当系统到达滑模面附近时，STSMO观测的反电动势可以表示为

根据式（4），可以通过PLL对转子位置进行估算。基于STSMO的SPMSM无位置传感器控制系统的整体结构如图1所示。

图1中： iabc表示定子三相电流；idref、iqref分别为d^、q^轴电流环电流给定值；idfdb、iqfdb分别为d^、q^轴反馈电流；nref和n^m分别为转速环给定值和估算机械转速；θ^e是系统进行坐标变换采用的估算电角度。假设STSMO和PLL估算转子电角度为θ^e_PLL，在不加入补偿算法时，θ^e等于θ^e_PLL；若考虑加入角度补偿算法的情况，则θ^e表示经过补偿后的估算转子电角度。

图1所示的STSMO能够抑制观测器在滑模面附近的抖振，其估算反电动势信号E^α和E^β不存在高频抖振分量，可直接作为PLL的输入量，不需要进行低通滤波，因而可以完全消除低通滤波器带来的相位延迟。

1.2 基于PI调节器的闭环角度补偿方法

如前所述，理想状态下STSMO估算的转子电角度不存在相位延迟，不需要进行补偿。然而，由于采样和计算延迟、离散化误差等非理想因素的存在，实际STSMO在高速负载运行过程中仍然会产生较大的角度估算误差，可能导致电机失步，破坏系统的稳定性，因此有必要对STSMO估算转子电角度进行补偿。

SPMSM无位置传感器控制系统中，转子电角度估算误差通常定义为

θerr=θe－θ^e。（5）

θerr的变化范围是［－π，π）。实际系统的采样和计算延迟时间以及离散化误差通常难以确定，开环角度补偿算法很难精确计算角度误差，因此必须设计一种闭环角度补偿算法，实现转子电角度的精确补偿[8]。

忽略SPMSM的动态过程和转速估算误差，在估算转子坐标系d^-q^下，SPMSM的电压方程为：

根据式（6），加入前馈解耦算法后，d^-q^轴电流环PI调节器的输出量将变为：

根据式（7），当角度估算误差θerr较小时，d^轴电流环PI调节器的输出量uderr近似与θerr成正比，因此将uderr作为一个误差信号，通过PI调节器就能够计算得到角度估算误差θerr。基于PI调节器的SPMSM闭环角度补偿方法的原理如图2所示。

图2中，参数KPgt;0和KIgt;0分别是角度补偿PI调节器的比例和积分参数，θcomp1是PI补偿算法输出的补偿角，系统进行坐标变换实际采用的转子位置信号是补偿后的估算转子电角度θ^e。

2 基于正切趋近律的变步长闭环角度补偿方法

2.1 基于正切趋近律的角度补偿方法设计

根据文献[8]，基于PI调节器的角度补偿方法具有较高的稳态补偿精确度。然而，传统PI调节器应对时变扰动的能力较弱。此外，PI补偿方法有两个待调节参数KP和KI，算法设计和参数调节过程比较复杂。如果用滑模控制的方法控制角度估算误差趋近于0°，不仅可以减少一个待调节参数，简化算法的设计和参数调试过程，而且针对滑模控制的趋近律进行设计，能够在保持滑模控制强鲁棒性的同时，提高系统的动态性能。

根据上述思想，首先建立SPMSM角度补偿算法的数学模型。假设在不进行补偿时，转子电角度估算误差θerr随时间变化的规律为

若采用最常见的等速趋近律滑模控制方法控制θerr趋近于0°，则θerr满足的方程将变为

式中参数Kcgt;0是等速趋近律的增益。

将式（9）离散化，可以看出这种方法本质上是一种固定步长的角度补偿方法。对于固定步长的调节方法，为提高稳态补偿精确度，一般需要把角度调节步长设置得很小，但这会导致SPMSM无位置传感器控制系统的动态性能变差；并且在角度估算误差θerr接近0°时，固定的步长会导致角度估算误差在0°两侧反复振荡，不能准确地收敛。

为提高补偿方法作用下无位置传感器控制系统的动态性能，角度补偿方法在保留滑模控制良好鲁棒性的同时，还应该具有变步长的特性，即算法的调节步长能够根据角度估算误差的大小自动调整。当θerr的值较大时采用较大的调节步长，实现动态过程的快速跟踪；当θerr的值较小时采用较小的调节步长，实现稳态时的精确补偿。根据上述想法，本文提出一种基于正切趋近律的变步长闭环角度补偿方法，其基本原理如下式：

式中参数Kgt;0是正切趋近律的增益。对式（10）进行离散化，得到正切补偿方法的角度调节步长为

根据式（11），基于正切趋近律的角度补偿方法是一种变步长算法，在角度估算误差θerr的值较大时角度调节步长也较大，当θerr接近0°时调节步长也近似为0°。并且，正切函数是奇函数，其符号始终与θerr保持一致，故无需引入额外的符号函数项。另外，当θerr接近0°时，根据正切函数的泰勒展开式可知：

根据式（12），在滑模面附近，正切趋近律近似与指数趋近律等效，角度估算误差将会以近似指数衰减的方式趋近于0°，而不是在0°附近反复振荡。根据式（7）和式（11），角度调节步长可以设置为

基于正切趋近律的SPMSM角度补偿方法的原理如图3所示。

图3中，θcomp2表示正切趋近律补偿方法输出的补偿角。对比图3和图2可知，两种补偿方法均是基于前馈解耦算法获得式（7）所示的uderr和uqerr信号，区别在于二者分别采用PI调节器和正切趋近律计算补偿角。

2.2 正切补偿方法作用下系统动态性能分析

2.1节正切补偿方法是针对PI补偿方法作用下系统动态性能和抗扰动能力较弱的问题提出的。为分析比较两种补偿方法作用下系统的动态性能，对加入补偿方法后角度估算误差θerr满足的方程进行分析。根据图2可知，PI补偿方法补偿角的表达式为

根据式（8）和式（14），加入PI补偿方法后，θerr满足的方程可以写成

为保持系统稳定，角度补偿PI调节器的比例参数KP通常远小于1，因此式（15）可以进一步简化为

式（16）说明，PI补偿方法可近似等效为利用指数趋近律的滑模控制方法控制θerr趋近于0°。根据式（16）可以计算出PI补偿方法的调节步长为

为衡量角度补偿方法作用下系统的动态性能，本文根据归一化灵敏度的概念，提出归一化补偿灵敏度的定义如下式：

式（18）定义的归一化补偿灵敏度S反映了补偿算法的调节步长随θerr大小调整的速度。归一化补偿灵敏度越大，θstep随θerr的调整速度也越快。对于负载突变等动态过程，θerr变化比较剧烈，S较大的补偿算法的调节步长可以更快地跟随θerr的大小进行调整，系统动态性能较好。根据式（11）、式（17）和式（18）计算得到PI补偿方法和正切补偿方法归一化补偿灵敏度的表达式分别如下：

由式（19）和式（20）可知，相比PI补偿方法，正切补偿方法的调节步长对θerr的变化更加敏感，其归一化补偿灵敏度会随着θerr的增大而增大。当θerr增大时，正切趋近律调节步长随θerr的调整速度也会加快，因此当施加相同扰动时，正切补偿方法能够更好地跟踪θerr的变化，在其作用下系统的动态性能和抗扰动能力均强于PI补偿方法。

3 仿真分析

3.1 不加入角度补偿时STSMO仿真结果

根据图1，搭建基于STSMO的SPMSM无位置传感器控制系统的仿真模型，仿真所用的电机和逆变器部分参数如表1所示。

当电机在空载、1 200 r/min工况下运行时，估算转子电角度θ^e、实际转子电角度θe以及角度估算误差θerr的仿真波形如图4所示。

仿真模型中电机转速大于300 r/min时，系统从有传感器矢量控制切换为基于STSMO的无位置传感器矢量控制。图4所示的仿真结果表明，STSMO在运行过程中会产生较大的角度估算误差，该误差导致系统不能稳定从低速运行切换至中高转速范围的STSMO无位置传感器控制系统，因此必须对STSMO和PLL估算的转子电角度进行补偿。

3.2 正切趋近律角度补偿方法稳态仿真分析

在31节的仿真模型中分别加入基于PI调节器的角度补偿方法和基于正切趋近律的闭环角度补偿方法，角度补偿PI调节器的比例和积分参数分别设为001和10，正切趋近律的增益取为8，保持其他条件不变。运行仿真，得到两种补偿方法作用下STSMO估算转子电角度θ^e，实际转子电角度θe和角度估算误差θerr的仿真波形，分别如图5和图6所示。

对比两种角度补偿方法作用下系统稳态运行时STSMO角度估算误差的仿真波形，可以看出正切补偿方法与PI补偿方法的稳态补偿精确度基本相同（稳态角度估算误差约为36°）。稳态仿真结果说明，正切补偿方法在保持与PI补偿方法相同稳态精确度的同时只包含一个调节参数，其设计和调试过程相比PI补偿方法更为简单。

3.3 正切趋近律角度补偿方法动态仿真分析

为比较两种角度补偿算法的动态补偿性能和抗扰动能力，本文以32节的仿真模型为基础，设计动态加载实验的仿真模型，即先让系统由空载启动，待SPMSM的转速达到并稳定在给定转速后，突然将负载转矩由0提高到额定转矩8 N·m。PI补偿方法和正切趋近律补偿方法作用下，STSMO估算转子电角度θ^e、实际转子电角度θe和角度估算误差θerr的动态加载仿真波形分别如图7和图8所示。

对比正切补偿方法与PI补偿方法的仿真波形可知，正切补偿方法在突加额定负载的动态过程中角度估算误差波动幅度相比PI补偿方法减小了834%，动态过程持续时间缩短了379%，表明在正切补偿方法作用下系统具有更强的动态补偿性能和抗扰动能力，证实了22节中由归一化补偿灵敏度计算结果得出的结论。

4 实验验证

为了验证本文的结论和仿真结果，搭建了如图9所示的三相SPMSM实验台架进行实验验证。实验电机和逆变器参数与表1相同。

4.1 不加补偿时STSMO运行实验

系统在零低速范围需通过旋转变压器获取转子的位置和速度信息，当电机转速达到550 r/min时切换到基于STSMO的无位置传感器控制。将给定转速和负载转矩分别设置为500 r/min和0，可以得到不加入角度补偿时STSMO估算电角度θ^e、旋变测得的转子电角度θe和角度估算误差θerr的实验波形如图10所示。

根据图10所示的实验波形，在不加入角度补偿算法的情况下，当SPMSM的转速达到并保持在500 r/min时，STSMO角度估算误差约为20°，导致系统不能稳定地从有位置传感器矢量控制系统切换到STSMO无位置传感器控制系统。这一实验结果与31节中的仿真结果相吻合，证明了对STSMO估算的转子电角度进行补偿的必要性。

4.2 正切趋近律角度补偿方法稳态运行实验

为了对比PI补偿方法和本文提出的正切补偿方法在SPMSM稳态运行时的补偿精确度，在41节实验的基础上，分别加入PI补偿方法和正切补偿方法。将机械转速的给定值设为1 500 r/min，负载转矩为0，可以得到在PI补偿方法和正切补偿方法的作用下，SPMSM实际转子电角度θe、STSMO估算转子电角度θ^e和角度估算误差θerr的稳态实验波形，分别如图11和图12所示。

分别加入两种补偿方法后，系统均能够稳定由低速范围的有传感器矢量控制系统切换至中高转速范围基于STSMO的无位置传感器控制系统。根据图12，当系统稳定运行在1 500 r/min时，在正切补偿方法的作用下，STSMO角度估算误差近似为05°。对比图11和图12实验结果可知，正切补偿方法在保持与PI补偿方法相同稳态精确度的同时减少了一个待调节参数，简化了角度补偿方法的设计和调试。

4.3 正切趋近律角度补偿方法动态补偿实验

为探究正切补偿方法作用下系统的动态性能，在42节稳态运行实验的基础上，完成突加额定负载转矩的实验。SPMSM加速至给定转速1 500 r/min并达到稳态时，将负载转矩由0突然增大至额定转矩，可以得到在PI补偿方法和正切补偿方法作用下，补偿角θcomp、补偿前后的角度估算误差θerr0和θerr的实验波形，分别如图13和图14所示。

根据图14，当负载转矩突然从0增大至额定转矩8 N·m时，正切趋近律输出的补偿角θcomp能够跟随θerr0变化，在其调节作用下STSMO角度估算误差首先从稳态时的05°减小至-8°，之后缓慢增大并收敛至稳态值-6°。突加额定转矩动态过程的持续时间Δt≈1 s，角度估算误差的波动幅度Δθerr≈85°。对比图13和图14的实验波形可知，相比PI补偿方法，正切补偿方法作用下角度估算误差波动幅度减小了619%，动态过程持续时间缩短了23%，表明本文提出的正切补偿方法能够有效提升系统在突加负载过程中的动态性能，增强系统的抗扰动能力。

5 结 论

本文对基于STSMO的SPMSM无位置传感器矢量控制系统的角度估算误差及角度补偿方法展开研究，主要成果如下；

1）针对传统PI角度补偿方法在负载转矩突变的动态过程中波动剧烈的问题，本文结合滑模控制和趋近律理论分析了PI补偿方法的性能，进而提出了基于正切趋近律的SPMSM角度补偿方法，改善SPMSM"STSMO无位置传感器控制系统的动态性能和抗扰动能力；

2）本文创新性地提出归一化补偿灵敏度的概念，衡量两种补偿算法作用下系统的动态性能，通过计算结果从理论上证明，相比PI补偿方法，正切补偿方法能够明显增强系统的动态性能和抗扰动能力；

3）仿真与实验结果表明，本文提出基于正切趋近律的SPMSM角度补偿方法具有与PI补偿方法基本相同的稳态补偿精确度（稳态角度估算误差约05°）；同时具有更强的动态性能和抗扰动能力，在突加额定负载转矩（8 N·m）的动态过程中，在基于正切趋近律的SPMSM角度补偿方法作用下，STSMO角度估算误差波动幅度（85°）与系统动态过程持续时间（1 s）相比PI补偿算法均显著降低（角度估算误差波动幅度降低了619%，动态过程持续时间缩短了23%），证明了基于正切趋近律的角度补偿方法的有效性和优越性。

参 考 文 献：

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（编辑：刘琳琳）

收稿日期： 2023-03-16

基金项目：重庆市自然科学基金（CSTB2022NSCQ-MSX0430）；国防科技工业核动力技术创新中心（HDLCXZX-2021-ZH-016）

作者简介：徐奇伟（1983—），男，博士，副教授，博士生导师，研究方向为高动态性能电机驱动控制、电磁优化设计；

蒋东昊（1996—），男，硕士，研究方向为永磁同步电机驱动与控制；

王益明（1985—），男，博士，研究方向为永磁同步电机驱动与控制；

张雪锋（1995—），男，博士，研究方向为多相电机和现代电机控制；

刘津成（1995—），男，硕士，研究方向为同步磁阻电机无位置传感器控制；

陈杨明（1988—），男，博士，助理研究员，研究方向为电机驱动控制及其故障诊断技术、储能管理。

通信作者：陈杨明