高中数学学习资源开发之高中生数学写作

潘文超

摘要：本文旨在探讨如何引导学生通过数学写作来促进高中数学学习。文章介绍了数学写作的概念和作用，强调了数学写作对于加深学生对数学知识的理解、提高数学表达能力、增强批判性思维和创造性思维能力等方面的积极作用。数学写作可以促进学生对数学知识的理解和掌握。通过将数学知识用自己的语言表达出来，学生可以更深入地理解和消化所学的数学内容，提高对数学知识的记忆和掌握程度。通过数学写作，可以更好地促进学生对数学知识的理解和掌握，提高数学表达和批判性思维能力，增强学生的创造性思维能力，激发学生的数学兴趣和学习热情。

关键词：高中数学 数学写作 数学表达能力 批判性思维 创造性思维

随着互联网的普及，高中数学教学资源愈加丰富，覆盖了微小的知识点和专题视频讲座等。然而，作为教育工作者，我们应该注重培养学生能力，而非仅仅传授知识。自新高考改革实施以来，高考数学命题理念已经转变为“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”，要求学习者具备更高层次的能力，例如独立思考、探索和研究。为了适应新课程改革，促进学生的学科素养提升，教师应该鼓励高中生进行数学写作，以此提高他们的能力水平，并为高中数学资源的开发和建设注入新的活力。

高中生数学写作的范畴涉及以下几个方面。

首先，数学感悟类文章，包括读后感、数学理解、课堂学习、解题感悟等，围绕数学教材或课外读物中某一节，也可以就印象较深、思考较多的某一课、某一题或某种方法等，谈谈自己的学习体会，用具体的事例与反思表达自己数学学习的心路历程、思维过程。

其次，数学探究类论文涵盖数学建模和纯粹数学问题探究。鼓励运用现代科技手段和实地探究相结合的方法，利用所掌握的数学知识解决现实生活中的实际问题。文章要提供现实背景材料、具体数据、数学模型、解答过程和实际结果。纯粹数学问题探究可以基于教材中或感兴趣的问题和知识，并通过类比、推理、运算等思维活动得出“新成果”。

再次，数学科普、文艺类作品，包括中学生喜闻乐见的数学科普文章、数学文艺作品、数学游戏设计、学习方法、解题思维等。

最后，数学问题辩论类论文涵盖对某个问题独特的理解、对某道试题的独特解法、对某些知识的争论和分析等方面。以下是一些学生研究的案例，进行分析。

一、探寻高考题在书中的根源

人教A版选择性必修第一册136页例5一道课本例题引发的探究思考。

原题再现：过抛物线焦点[F]的直线交抛物线于[A，B]两点，通过点[A]和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点[D]，求证：直线[DB]平行于抛物线的对称轴。（如图1）

分析：课本中例题通过坐标法证明了一个结论，具体做法是建立抛物线和直线DB的方程，然后通过研究直线和抛物线对称轴之间的位置关系来得到这个结论。但是课本对于直线[AB]方程做了斜率存在、斜率不存在两种情况的分析，计算量稍大，稍作改动证明如下。

证明：以抛物线的对称轴为[x]轴，顶点为原点建立平面直角坐标系[xOy].

设抛物线的方程为[y2=2pxp>0]  ①

设直线[AB]方程为[x=my+p2]       ②

设[A（y212p，y1），B（y222p，y2）]，

则直线[OA]的方程为[y=2py1x]

联立①②得：[y2-2pmy-p2=0]，[y1+y2=2pm]，[y1y2=-p2]

于是：[y2=-p2y1]

设点[D（-p2，yD）]，将其代入直线[OA]方程得：[yD=-p2y1]于是[yD=y2].因此，直线[DB]平行于抛物线的对称轴。

得：[yD=-p2y1]于是[yD=y2]，因此，直线DB平行于抛物线的对称轴。

推论1.一条经过抛物线焦点[F]的直线与抛物线相交于点[A]和点[B]，通过点[B]作一条平行于抛物线对称轴的直线，这条直线与抛物线的准线相交于点[D]，则[AD]过抛物线的顶点.

证明：同上建坐标系设方程[y1y2=-p2]

设[A（y212p，y1），B（y222p，y2）]，则点[D（-p2，y2）]

因为[y2=-p2y1]   所以[D（-p2，-p2y1）]

所以[kOA=2py1，kOD=2py1]   即[kOA=kOD]

因此，直线[AD]过抛物线的顶点。

推论2.过抛物线上异于顶点的点[A]作经过顶点的直线交准线于点，过点[D]平行于抛物线对称轴的直线交抛物线于点[B]，则直线[AB]过抛物线的焦点。

证明：[A（y212p，y1），B（y222p，y2）]，[D（-p2，yD）]

直线[OA]的方程：[y=2py1x]   ①

准线[x=-p2]                ②

联立① ②得：[yD=-p2y1]

于是[D（-p2，-p2y1）]，[y2=-p2y1，所以y1y2=-p2]

[A（y212p，y1），B（y222p，y2），F（p2，0），]所以[FA=FB]

于是[A，B，F]三点共线

因此直线[AB]过抛物线的焦点。

“题在书外，根在书中”，下面就2029年北京理科卷说明该结论的应用。

（2019年北京理18题）已知抛物线[C：x2=-2py]经过点[2，-1]．（Ⅰ）求抛物线[C]的方程及其准线方程；（Ⅱ）假设[O]为原点，过抛物线[C]的焦点作斜率不为0的直线[l]交抛物线[C]于两点[M，N]，直线[y=-1]分别交直线[OM，ON]于点[A]和点[B.]求证：以[AB]为直径的圆经过[y]轴上的两个定點．

解：（Ⅰ）如图2，将点[2，-1]代入抛物线方程：[22=2p×-1]可得：[p=2]，故抛物线方程为：[x2=-4y]，其准线方程为：[y=1].

（Ⅱ）很明显直线[l]的斜率存在，焦点坐标为[0，-1]，

设[Mx1，y1，Nx2，y2]，

设直线[l]方程为[y=kx-1]①

与抛物线方程[x2=-4y]②

联立①②可得：[x2+4kx-4=0].故：[x1+x2=-4k，x1x2=-4].

则[kOM=-x14，kON=-x24]

所以[kOM=-x14，kON=-x24]，

直线[OM]的方程为[y=-x14x]与[y=-1]联立可得：[A4x1，-1]，同理可得[B4x2，-1]，易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：[2x1+2x2，-1]，圆的半径为：[2x1-2x2]，且：[2x1+2x2=2x1+x2x1x2=2k]，[2x1-2x2=2×x1+x22-4x1x2x1x2=2k2+1]，

则圆的方程为：[x-2k2+y+12=4k2+1]，

令[x=0]整理可得：[y2+2y-3=0]，解得：[y1=-3，y2=1]，

即以[AB]为直径的圆经过[y]轴上的两个定点[0，-3，0，1]

利用推论得到如下解法：

如图3，设直线[OM]与准线相交于点[C]，直线[ON]与准线相交于点[D]，由推论得[C（x2，1），D（x1，1）]

又因为[A（-x2，-1），B（-x1，-1）]

[AB中点（-x1+x22，-1），半径为x1-x22=（x1+x2）2-4x1x22=2k2+1]

则圆的方程为：[x-2k2+y+12=4k2+1]，

令[x=0]整理可得：[y2+2y-3=0]，解得：[y1=-3，y2=1]，

即以[AB]为直径的圆经过[y]轴上的两个定点[0，-3，0，1]

點评：将教材例题的结论拓展推广，对历年高考题追根溯源，利用推广的结论以简驭繁。题目作法始终贯彻“先用几何眼光观察与思考，再用坐标法解决”的策略，培养学生数形结合思想，通过方程、坐标运算解决几何问题。

二、创设生活情境，构建数学模型

《高中学生研究性学习课题报告疫情形势下的数学建模》中涉及如下情境。“传染病传播过程”的数学模型是通过控制感染人群来实现的。由于传染病在新病例的研究中具有重要意义，所以应该用数学知识来联系实际问题，并制订相应的解决方案和治疗方法。另一方面，根据传染病动力学的基本原理，在爆发初期，累计病例数的增长呈现的是指数式增长，这就为建模提供了理论基础。通过指数型函数模型，对爆发初期的数据做一次数学建模，通过该模型我们希望能够预测之后的发展趋势，并最终解释措施的合理性。

（一）初期数据处理

下表是某一疾病累计的确诊病例数，由表中数据可以看出，确诊病例数逐日增加，而且增加得越来越快。为了更加直观地反映数据的变化情况，将下表数据制成如下散点图，并观察数据的增长情况，选用合适的函数进行拟合。

根据图像的发展变化趋势，我们决定采用指数型函数[y=kert]进行拟合，将此非线性回归，经过变形得到[lny=lnk+rt]，进而得到线性回归方程[y=rt+k]，运用以上十组数据经过运算得到[y=291e0.59t]，经检验前八组数据拟合效果较好，后两组拟合效果差，增长不再是马尔萨斯增长模型，而这个变化在指数型函数模型中很难体现。

（二）模型预测

如何有效控制住病毒的传播，减少感染人数，是建立传染病模型后我们需要考虑的首要问题。其中，控制住增长率是关键。那么，如何控制增长率？

对策一：保持感染者的增长率不变，对疫情不加控制，仅对患者进行救治。但由于医疗条件限制，治愈率远低于感染率，假设每天只能治愈2000人，得到新的函数模型[y=291e0.59t?2000t]，这样能否控制住？

显然不行。仅靠救治是无法控制的，必须通过措施来降低增长率。如果不及时采取措施，感染人数将会呈指数型增长。

对策二：在积极救治患者的同时，切断传播途径，降低传染率，同时降低增长率。同样假设每天只能治愈2000人，同时增长率变为r=0.59-0.01t，得到新的函数模型[y=291e（0.59?0.01t）t?2000t]，这样能否控制住？

显然可以。不仅疫情得到了有效控制，后期病例数更是趋近于零。

（三）对策分析

实践证明，采用控制传染源、切断传播途径、保护易感人群的方法，能够有效控制疫情传播。其中，控制增长率是关键因素。因此，执行严格的隔离措施、加强个体自我保护（如接种疫苗等），都是降低增长率的有效措施。

此外，虽然应用指数型函数对疫情数据进行拟合可以在疫情初期取得不错的效果，但随着各种防控措施的实施，该模型将逐渐失去适用性。因此，我们需要考虑更加精准的函数模型，例如SI模型、SIR模型或SEIR模型。这些模型不仅能够预测疫情“拐点”的出现时间，还能够预测整体的发展趋势和病例数的变化，从而指导我们采取更加有效的应对措施。

（四）模型反思

数学建模已经成为21世界科学研究的必备手法之一。但上述指数型函数模型有很多不足之处，考虑的因素过于单一，没有将很多具体的因素如境外输入、接种疫苗、人口流动、病毒毒性减弱等考虑在内。若要将更多因素考虑在内，需要建立更加复杂的函数模型，但无论何种函数模型，都不能毫无误差地描述真实的过程。这也表明，数学建模不是万能的，模型难免会有不足之处，但是当我们尽可能多的考虑主要因素时，模型的预测功能对我们后期做预测和决策是有很大帮助的。研究医学等自然学科中，采用数学工具往往能使问题得到科学有效的解决，这也正体现了数学在自然科学领域的基础性作用。

数学建模作为高中数学六大核心素养之一，是高中数学课程的重要组成部分。在高一的函数教学中，有很多数学建模的实例，函数应用更是课本中的重要章节，要结合生活中的热点问题，鼓励学生利用大数据，建立统计模型对数据进行预测，使学生认识到数学模型的魅力。

三、结合现代信息技术手段让知识“活”起来

2019人教A版数学必修一课本146页有一道例题，题为：借助信息技术，用二分法求方程[2x+3x?7=0]的近似解（精确度为0.1）。

若是通过普通的计算，需要利用取中点的方法，逐步缩小零点所在的范围。解题过程如下：题中求方程[2x+3x?7=0]的近似值即求函数[fx=2x+3x?7]的零点，列表如下：

因為函数[f（x）=2x+3x?7]在定义域R上单调递增，所以函数有且仅有一个零点在区间（1，2）内，然后取区间中点当[x=1.5]时，[fx]的值约为0.33，因为[f1?f1.5<0]，所以该零点所在区间缩小至区间（1，1.5），再取区间的中点当[x=1.25]时，[f（x）]的值约为-0.87，因为[f1.25?f1.5<0]，所以该零点所在区间缩小至区间（1.25，1.5），同理可得该零点在区间（1.375，1.5），（1.375，1.4374）内，因为1.4375-1.375=0.0625<0.1，所以原方程的近似解可取为1.375.

通过对以上的过程分析可知，该求解过程具有重复性，且所求的函数的值较为难算，而我们所学的信息技术中恰好进行过循环程序的教学，因此本题就可通过一定的计算程序，借助信息技术完成计算[7]。该程序（c++语言），如下：

#include

#include

using namespace std;

double f（double x）

{double s=0;

s=pow（2，x）+3*x-7;

return s;}

int main（）

{double o，a，b;//o为精准度，a，b为零点存在的整数区间

cin>>o>>a>>b;

while（fabs（a-b）>=o）{

double c=（a+b）*1.0/2;

if（f（a）*f（c）<0）b=c;

else if（f（c）==0）{

a=c;

break;}

else a=c;}

cout<

return 0;}

通过此程序，该问题仅需输入原始整数区间和精确度，就能快速求解，节省了大量时间。用二分法解决方程的近似解的时候过程比较繁琐，如果学生有良好的计算机基础，可以利用信息技术所学的C++语言简化过程，体现了思维的深度，很好地展现了一位高中生良好的数学素养和计算机素养，在剖析的过程中，体现出了数学和信息技术之间的联系。

结束语：资源的开发和建设必须关注学生的认知和观点，以便更好地适应新高考的趋势。这需要教师鼓励广大中学生积极参与，培养他们的问题意识和创新能力。为了让学生更好地参与资源的开发和建设，如教师需要提供具有挑战性和启发性的任务和项目，以激发他们的创造力和创新意识。通过与行业合作、引入新技术和新方法、组织团队竞赛等方式实现。在这个过程中，应基于学生充分的支持和指导，以便他们能够学习和掌握必要的技能和知识。教师还需要注重学生问题意识的培养，以便他们能够深入探究资源开发和建设过程中的各种问题，并提出有建设性的解决方案。