基于知识系统的视角理解数学教材——对一个准判定定理处理方式的比较分析

刘向权 (邮编:236700)

安徽省利辛县利辛中学

在“图形与几何”领域,《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称“新课标”)对第四学段(7～9年级)的课程内容有如下规定:探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形[1].《义务教育数学课程标准(2011年版)》涉及平行四边形性质和判定的课程内容,也有与新课标相同的规定.显然,“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”和“平行四边形的对边相等”“对角线互相平分的四边形是平行四边形”和“平行四边形的对角线互相平分”是两组互逆定理.但对“平行四边形的对角相等”这一性质定理的逆命题(即“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”,以下简称“准判定定理”),新旧两版课标似乎都在有意回避.今年7月,在沪科版八年级下册数学新教材编写组内部审读期间,这一问题再次进入笔者视野,随即引起笔者的关注与深思,进而促使笔者对现行十个版本的初中数学教材加以比较分析.本文通过系统梳理、简要归纳准判定定理几种不同的处理方式,基于知识系统的视角,力求厘清各版本教材试图构建结构化的数学知识体系的基本脉络,从而达到高位理解数学教材的目的.

1 准判定定理处理方式梳理呈现

1.1 以判定定理的形式直接呈现

人教版教材八年级下册第18章第1节第2小节“平行四边形的判定”

教材首先呈现了如下“思考”:通过前面的学习,我们知道,平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.反过来,对边相等,或对角相等,或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗?也就是说,平行四边形的性质定理的逆命题成立吗[2]?

随后,教材作了如下表述:

可以证明,这些逆命题都成立.这样我们得到平行四边形的判定定理:

两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

对角线互相平分的四边形是平行四边形[2].

1.2 以教材例题的形式间接呈现

在初中现行十个版本的数学教材中,以下两个版本在介绍完新课标规定的三个判定定理并初步巩固后,均安排了一道例题.

(1)湘教版教材八年级下册第2章第2节第2小节“平行四边形的判定”(例8 )

在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.求证:四边形ABCD是平行四边形[3].

(2)华东师大版教材八年级下册第18章第2节“平行四边形的判定”(例4)

在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.求证:四边形ABCD是平行四边形[4].

1.3 设置“思考”栏目引导学生总结归纳

北京版教材八年级下册第15章第3节“平行四边形的性质与判定”

在探索归纳出新课标规定的三个判定定理并简单巩固后,教材安排了如下“思考”:

根据对角之间的关系能否判定一个四边形是平行四边形[5]?

1.4 通过相关题目的解答或证明变相渗透

在初中现行十个版本的数学教材中,以下五个版本均采用了这一处理方式.其中,沪科版、苏科版、青岛版教材在推出新课标规定的三个判定定理并初步巩固后,安排了练习或习题;冀教版教材在探究得到“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理,并通过两个例题加以巩固后,安排了一道练习;北师大版教材则在全册总复习中呈现了一道题目.

(1)沪科版教材八年级下册第19章第2节“平行四边形”(练习第1题)

已知:在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.试判断四边形ABCD是否是平行四边形,并说明理由[6].

(2)苏科版教材八年级下册第9章第3节“平行四边形”(习题9.3第5题)

在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.四边形ABCD是平行四边形吗?证明你的结论[7].

(3)青岛版教材八年级下册第6章第2节“平行四边形的判定”(习题6.2第1题)

求证:两组对角分别相等的四边形是平行四边形[8].

(4)冀教版教材八年级下册第22章第2节“平行四边形的判定”(练习第1题)

两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗?为什么[9]?

(5)北师大版教材八年级下册(总复习第16题)

两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗?证明你的结论[10].

1.5 通过教材“留白”对准判定定理“零处理”

笔者翻阅浙教版八年级下册数学教材后发现,第4章(“平行四边形”)第4节为“平行四边形的判定定理”,本册教材自始至终未以任何方式对准判定定理加以呈现.浙教版教材对准判定定理的“留白”式处理,不仅体现了其独特的编写思路,同时也为教师留出了灵活处理教材的余地,为学生留下了充分的思考空间.

2 从准判定定理的不同处理方式看数学知识体系构建

2.1 对准判定定理不同处理方式的比较分析

前文所述十个版本的初中数学教材,除浙教版外,其余九个版本均以各自的呈现形式对准判定定理作了相应处理,虽然处理方式不尽相同,但无疑都在试图向学生传递如下信息:“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”也可以作为平行四边形判定的依据(尽管2011年版课标和新课标均未将其视为平行四边形的判定定理).只是信息传递或显或隐,或明或暗,或强或弱而已.对准判定定理的处理,从人教版教材大胆“突破”新旧两版课标“限制”以判定定理的形式直接给出,到湘教版、华东师大版教材以例题的形式间接呈现,北京版教材以“思考”栏目为抓手引导学生归纳总结,再到沪科版、苏科版、青岛版、冀教版、北师大版教材以练习、习题或复习题的形式变相渗透,无疑是对上述信息传递从显到隐、自明至暗、由强及弱的最好诠释.

如前所述,相对于其余九个版本的初中数学教材,浙教版教材更倾向于给教师以灵活的处理余地,并为学生留下充分的思考空间.从上述九个版本教材依次对准判定定理的具体处理,到浙教版教材对准判定定理的“零处理”,恰恰体现了从“有”到“无”的“衰减”过程.不过,对使用浙教版初中数学教材的师生而言,也可通过对平行四边形判定方法的拓展研究,让准判定定理实现从“无”到“有”的自然“生长”.这其中,不仅应有教师的适时启发、适当引导,还需要学生养成必要的反思习惯和问题意识.

2.2 基于知识系统的视角理解数学教材

通过以上分析,我们不难发现,在对准判定定理的处理上,前九个版本的教材均立足于知识系统的视角.即先将准判定定理以不同方式纳入到“平行四边形的判定”这个子系统,让平行四边形的三个性质定理都有互逆的判定定理(包括准判定定理)与之相对应,进而实现“平行四边形”从定义、性质到判定这个母系统的“闭环”.基于知识系统的视角,尤其关注对结构化的数学知识体系的构建[11].鉴于此,教师“在教学中要重视对教学内容的整体分析,帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系”[1].相比之下,浙教版初中数学教材对“平行四边形”知识系统的构建,则显得较为开放,甚至不够“完整”.而从另一个角度看,浙教版教材对准判定定理的回避式处理,在严格落实新旧两版课标规定的同时,也更容易让教师“跳”出教材而不囿于教材,从而更好地实现“用教材教”,而不仅仅只会“教教材”.这也为师生在教与学的双边活动中自主构建“平行四边形”的完整知识体系创造了更好机遇.

3 思考与建议

3.1 几点思考

笔者进一步翻阅2001年版《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》,发现课标(实验稿)也未将准判定定理规定为平行四边形的判定定理.既然准判定定理可以判定一个四边形是平行四边形,那么为何前后三版课标一脉相承,如出一辙地对准判定定理加以回避?笔者推测,这大概是出于以下几方面考虑:

首先,如果将准判定定理作为平行四边形的判定定理规定于课标中,初中数学各版本教材就必须将其以定理的形式加以呈现,这会在一定程度上增加学生的学习(记忆)负担;其次,对准判定定理的推导证明难度不大,只要教师稍作引导,学生便能轻松地完成证明;再者,便于各版本教材编写人员对教材内容设计做一定的弹性处理,也有利于发挥教师的教学创造性.《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出:按照本标准要求,教材的编写要面向全体学生,也要考虑到学生发展的差异,在保证基本要求的前提下,体现一定的弹性,以满足学生的不同需求,使不同的人在数学上得到不同的发展,也便于教师发挥自己的教学创造性[12].鉴于我国现行各版本初中数学教材均是依据2011年版课标编写的,上述十个版本教材之所以对准判定定理采取不同的处理方式,个中原委已不言自明.

3.2 教学建议

基于以上论述和分析,教学中准判定定理是否应该呈现?何时加以呈现?当以何种方式呈现?这些问题都需要初中数学教育同行们认真思考.立足知识系统的视角,参照绝大多数版本初中数学教材的做法,以适当方式对准判定定理的适时呈现显然是必要的.鉴于前后三版课标均未将准判定定理作为平行四边形的判定定理,笔者认为,在探索证明出新课标规定的平行四边形的三个判定定理后,再以适当方式呈现准判定定理为妥.当然,视具体学情,实际教学中也可像人教版教材那样让数学结论“来得更快些”,或如北师大版教材,待整册教材新课内容学习完毕,再引导学生完成“平行四边形”知识体系的构建,同样可行.值得注意的是,在准判定定理呈现时机和具体呈现方式的确定上,教师要恰当处理好“预设”与“生成”的关系,并善于敏锐观察课堂动态,及时捕捉学情变化.对于准判定定理的探讨,如果学生能自主提出如下问题实属最佳:既然“平行四边形的对边相等”“平行四边形的对角线互相平分”这两个性质定理的逆命题都是真命题,那么,“平行四边形的对角相等”的逆命题是否也成立呢?倘若学生未能主动提出以上问题,教师可在引导学生探索证明完新课标规定的平行四边形的三个判定定理后,进一步启发学生思考:学习平行四边形的性质和判定后,同学们不妨将平行四边形的性质定理与判定定理进行比较,你有什么发现?由此,你想提出什么数学问题?假如此时学生仍不能提出我们期待的问题,退而求其次,便可考虑直接出示类似北京版教材上述“思考”栏目的问题,或通过安排学生完成相关练习、习题、复习题,进而提炼出准判定定理.