一道高考圆锥曲线试题多解的深度探究与启示

安中顺 余泉

摘要：以一道典型的圆锥曲线问题开展一题多解，体现其中的不同知识和多种思想方法，促进知识的融会贯通.不仅有助于提高学生推理能力和思维的发展，还有利于学生核心素养的养成.

关键词：直线过定点；圆锥曲线；一题多解；数学核心素养

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0071-03

圆锥曲线中直线过定点的问题是近些年高考常考的一种题型，基本都是以压轴题出现，人们常用“高考常青树”来形容［1］.对于这一题型学生很难拿到较高的分数，本文以2020年高考数学全国Ⅰ卷理科第20题为例，详细讨论了本题直线过定点问题多种解法中的6种特别解法.

1 题目呈现与解答

题目已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

解析（1）

由椭圆方程E：x2a2+y2=1（a>1）可得A（-a，0）， B（a，0），G（0，1）.

所以AG=（a，1），GB=（a，-1） .

所以AG·GB=a2-1=8.

所以a2=9.

所以椭圆E的方程为x29+y2=1.

本题第（2）问中，高考参考答案解法破解难度大，需依托数学模型，强调对数学思想方法的考查，要求学生具有较高计算能力和细致、全面的思维品质.笔者从近些年的直线过定点考题中分析问题并从深度探究与教学的不同角度给出建议，用6种不同解法加以阐述.

解法1（斜率比值型）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.

若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知-3

所以y1+y2=-2mnm2+9，y1y2=n2-9m2+9.

由此可得y1+y2=-2mnn2-9y1y2.

易求kPB=t3=3kPA.

即kPBkPA=3.即y2（x1+3）y1（x2-3）=3.

将直线方程代入得my1y2+（n+3）y2my1y2+（n-3）y1=my1y2+（n+3）（y1+y2）-（n+3）y1my1y2+（n-3）y1=3.

提取公因式，该等式一定可化为

-（n+3）（d+y1）（n-3）（d+y1）=3，

其中d=my1y2n-3=mn-3·n2-9m2+9=m（n+3）m2+9，

即-（n+3）（n-3）=3，解得n=32.

故直线CD恒过定点（32，0）.

点评斜率比值型kPAkPB=（y1-t）/x1（y2-t）/x2=x2y1-tx2x1y2-tx1=kx1x2+（m-t）x2kx1x2+（m-t）x1式子并不能完全整理为韦达定理的形式，一般称为“非对称韦达定理”.这时需要通过所求得的韦达定理找到x1+x2和x1·x2之间的关系，将其中一个替换，常用方法是把乘法替换成加法.这样通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.

具体办法之一为联立方程后得到韦达定理：x1+x2=f（t），x1x2=g（t），m（t）（x1+x2）=n（t）x1x2代入之后进行代换消元解题，在给学生讲解时注意转化思想的引导.

解法2设点P（6，t），直线CD的方程为x=my+n，由题意可知-3

由于直线PA的方程为tx-9y+3t=0，

直线PB的方程为tx-3y-3t=0，

過A，B，C，D四点的曲线系方程可设为

λ（tx-9y+3t）（tx-3y-3t）+μ（x29+y2-1）=0.

直线CD的方程为x-my-n=0，直线AB的方程为y=0，即y（x-my-n）=0也过A，B，C，D四点，所以λ（tx-9y+3t）（tx-3y-3t）+μ（x29+y2-1）=y（x-my-n），用待定系数法求解得n=32.

故直线CD恒过定点（32，0）.

点评经过两曲线f1（x，y）=0和f2（x，y）=0交点的一系列曲线的方程为f1（x，y）+λf2（x，y）=0.如果f1（x，y）=0和f2（x，y）=0齐次，则f1（x，y）+λf2（x，y）=0表示过两已知曲线交点的一系列同构的曲线，如果f1（x，y）=0和f2（x，y）=0都是圆，则f1（x，y）+λf2（x，y）=0也是圆.综合起来，可以理解为f1（x，y）=0和f2（x，y）=0相交形成了曲线系f1（x，y）+λf2（x，y）=0.

解法3（截距式）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t），易知

3kPA=3kAC=kPB=kBD.即3·y1x1+3=y2x2-3.

即3x2y1-y2x1=3y2+9y1.①

由椭圆第三定义知y1x1+3·y1x1-3=-19，y2x2-3·y2x2+3=-19，得

x2y1-3x1y2=-3y1-9y2.②

由①+②，得4x2y1-4x1y2=6y1-6y2.

即a=32.

故直线CD恒过定点（32，0）.

点评设A（x1，y1），B（x2，y2）为不同两点，且AB不与坐标轴垂直，则直线AB的横截距a=y2x1-y1x2y2-y1，纵截距b=y2x1-y1x2x1-x2，先通过猜想定点在坐标轴上，再利用截距式求解.

解法4设点P（6，t），点C（3cosα，sinα），D（3cosβ，sinβ），則

kAC=kAP=t9=sinα3cosα+3=tan（α/2）3，

kBD=kBP=t3=sinβ3cosβ-3=1-3tan（β/2）.

即tanα2·tanβ2=-13.

设CD过定点为M（m，0），

由kMD=kCM，得

m=3sin（β-α）sinβ-sinα

=3×2sin［（β-α）/2］·cos［（β-α）/2］2cos［（β+α）/2］sin［（β-α）/2］

=3cos［（β-α）/2］cos［（β+α）/2］

=3［1+tan（α/2）·tan（β/2）］1-tan（α/2）·tan（β/2）

=32.

故直线CD恒过定点（32，0）.

解法5平移使点B（3，0）→（0，0），在新坐标系下，设lC′D′：1=mx′+ny′，并将该直线代入椭圆（x′+3）29+y′2=1中得

9（y′x′）2+6n（y′x′）+6m+1=0.

故有kBD·kBC=y′1x′1·y′2x′2=6m+19=-13.

解得m=-23.

即可知新坐标系下直线C′D′恒过（-32，0）.

故直线CD恒过定点（32，0）.

点评对于圆锥曲线中的双斜率问题， 常规方法是联立方程结合韦达定理求解；也可以通过齐次化处理，利用齐次式解决更加方便快捷，可简化运算，降低运算难度.

齐次化方法一般适用于两直线斜率之和（或积）为常数的题型，可以解决与斜率之和（或积）有关的定点、定值或轨迹等问题.使用齐次化方法时，需要注意两个关键步骤：

步骤1：先平移坐标系， 将定点P（x0，y0）平移至原点O（0，0），平移公式x′=x-x0，y′=y-y0，其中（x′，y′）为新坐标，（x，y）为同一点旧坐标.

步骤2：设直线l：mx+ny=1（l不过原点时这样设，避免讨论斜率是否存在，简化了解题）与一个二次曲线C：ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0交于两点A，B，显然该式子是一个二次齐次式，且一定可化为Ay2+Bxy+Cx2=0的形式，即A（yx）2+B（yx）+C=0.

由韦达定理知k1+k2=-BA，k1k2=CA，解出m，n之一的值或m，n的关系，进而求得直线过定点或定斜率.

解法6设点P（6，t），则点P对应的极线方程为69x+ty=1，因点P对应的极线必过AB与CD的交点，即CD必过极线与AB的交点（32，0），故直线CD恒过定点（32，0）.

2 结束语

通过对圆锥曲线问题的深度探究，学生从“会通性通法”到“能变式解法”，再到“会创新解法”，有利于培养学生发现问题和解决问题的能力，在探究过程中让学生的综合素质得到发展.总之，对学生解压轴题能力提升的探究不是一朝一夕就能完成的，也不是仅通过几个题目的多种解法就可以强化的，它需要学生领会圆锥曲线中直线过定点或定斜率问题呈现背景的多样性.因此，学生要注重以必备知识和方法为起点，借助模型和师生合作探究挖掘更多的探究点，从圆锥曲线性质多方面进行渗透，促进学生将直线过定点或定斜率的知识掌握得更牢固.

参考文献：

［1］ 胡惠根.“直线与圆锥曲线位置关系”的判断新法［J］.中学数学教学参考，2015（13）：25-27.

［责任编辑：李璟］