一道2023年高考题的多解和思考

刘社新

摘要：平面向量作为数学工具对解题有很大帮助，它具有代数和几何双重性.以平面向量为背景的试题往往具有迷惑性、开放性，试题通常难度较大，灵活多变，解法新奇.2023年全国乙卷第12题就是一个典例，入口宽、解法多，有研究价值.

关键词：数量积；圆；最值

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0020-04

以平面向量為背景的题目作为高考压轴题虽然不多，但是每次出现都很新颖，感觉似曾相识，又相去甚远，入手难，推进更难.这是因为平面向量具有代数和几何双重性，往往使题目具有迷惑性、开放性[1].

1 试题呈现

题目（2023年高考乙卷第12题）已知圆O的半径为1，直线PA与圆O相切于点A，直线PB与圆O交于B，C两点，D为BC中点，若|PO|=2，则PA·PD的最大值为（）.

A.1+22B.1+222C.1+2D.2+2

2 总体认识

本题作为选择压轴题自有其独到之处，具体表现为：首先，背景知识丰富，有圆与直线相切的位置关系，圆与直线相交的位置关系，弦中点，数量积运算和最值；其次，表象上虽属于常规题，却很有新意，融合度高，思路开阔，高度体现了高考的改革风向：注重数学思想、方法的考查.

3 解法探究

思路1按照数量积的定义计算，从题设中寻找两个向量的模，引入角来联系向量的模与向量夹角，构造三角函数求最值［2］.

解法1如图1，连接AO，DO，因为直线PA与圆O相切于点A，所以AO⊥PA.

因为圆O的半径为1，|PO|=2，

所以△PAO为等腰直角三角形.

所以|PA|=1，∠APO=π4.

设∠OPD=β，当直线PA，PD在PO同侧时，记为β负角；当直线PA，PD在PO异侧时，记为β正角.

所以β∈（-π2，π2）.

在Rt△PDO中，|PD|=2cosβ.

所以PA·PD=|PA|·PD|cos（π4+β）

=1×2cosβ×cos（π4+β）

=cos2β-sinβcosβ

=22sin（π4-2β）+12

≤1+22，

当β=-π8时，等号成立.

所以PA·PD的最大值为1+22.

故选A.

评析本解法容易想到，但是角β的范围容易失误，误判为锐角，从而取错最值.对于正负角的考查实属精辟，也是创新，体现了学以致用的教学精髓.以前不曾在正负角这个知识上做文章，或者说，以前应用较为浅显.

思路2用特值法固定点A和点P，为引进直线参数方程构造条件，将向量问题转化为三角问题.

解法2不失一般性，如图2，依据题意，可令A（0，1），P（1，1）.

易得圆O：x2+y2=1，①

直线PD即BC的参数方程为x=1+tcosα，y=1+tsinα

t为参数，α为直线的倾斜角，②

将②代入①整理，得

t2+2（sinα+cosα）t+1=0.

所以t1+t2=-2（sinα+cosα）.

由参数t的几何意义知|PD|=|t1+t22|.

所以|PD|=|sinα+cosα|.

数形结合得α∈（0，π2）.

所以|PD|=sinα+cosα.

易知AP∥x轴.

所以PA与PD的夹角为α.

因此PA·PD=|PA|·|PD|cosα

=1×（sinα+cosα）×cosα

=cos2α+sinαcosα

=22sin（2α+π4）+12

≤1+22，

当α=π8时，等号成立.

所以PA·PD的最大值为1+22.

故选A.

评析本解法处理模长和夹角都显得简捷，当然概念性更强.将直线BC的倾斜角直接转化为向量的夹角，比解法1简单，也使后续运算方便许多.参数方程的引入是本解法的关键.

思路3抓住直线与圆相切，以及圆的中点弦，利用垂径定理，易知A，P，D，O四点共圆，利用平面向量的坐标运算解题.

解法3如图3，以线段PO所在直线为x轴，线段PO的中垂线为y轴，新的原点记为E，建立平面直角坐标系.

连接AO，因为直线PA与圆O相切于点A，

所以AO⊥PA.

因为D为BC中点，

易得A，P，D，O四点共圆，记为圆E.

因为|PO|=2，

所以圆E：x2+y2=12.

同时，P（-22，0），A（0，22）.

连接DE，设∠DEO=φ，则D（22cosφ，22sinφ）.

于是PA=（22，22），PD=（22cosφ+22，22）.

所以PA·PD=12cosφ+12+12sinφ，

=22sin（φ+π4）+12.

当φ=π4时，PA·PD的最大值为1+22.

故选A.

评析这种方法变换了坐标系，被研究元素的坐标具体化、简单化，从而使相关向量坐标可视化，于是数量积就水到渠成.将抽象复杂问题简单化，需要较高的逻辑推理能力，从而简化运算.

思路4本题中，点P的位置不影响问题的本质，因此可以特殊化，从而可以确定点A，于是可以把问题归结为动直线BC与圆O的相交关系下的函数问题.

解法4不失一般性，结合题意，设P（-2，0），结合前文，易得A（-22，22）.

圆O：x2+y2=1，设BC：y=k（x+2），

由y=k（x+2），x2+y2=1，得

（1+k2）x2+22k2x+2k2-1=0.

因为直线BC与圆O相交，

所以Δ=8k4-4（1+k2）（2k2-1）>0，

解得-1

另外，xB+xC=-22k21+k2，

所以xD=-2k21+k2.

因為yD=k（xD+2），

所以yD=2k1+k2.

于是PA=（22，22），PD=（21+k2，2k1+k2）.

所以PA·PD=11+k2+k1+k2=1+k1+k2.

令φ（k）=1+k1+k2，-1

则φ′（k）=-1+2k+k2（1+k2）2.

由φ′（k）>0，得-1

由φ′（k）<0，得2-1

所以φ（k）在（-1，2-1）单调递增，在（2-1，1）单调递减.

因此φ（k）max=φ（2-1）=1+22.

故选A.

评析本解法是圆锥曲线的通解通法，借助导数求出最值，平时教学加强训练，既对小题有帮助，又对解析几何的压轴大题有支撑作用.

思路5处理复杂函数是学生的难点，解法4中处理函数最值也可以从均值不等式入手，构造均值不等式是关键.

解法5结合解法4，

φ（k）=1+k1+k2

=1+k（1+k）2-2k

=1+k（1+k）2-2（1+k）+2

=1（1+k）+2/（1+k）-2，-1

因为-1

所以1+k+21+k≥22.

所以1+k+21+k-2≥22-2>0.

进而11+k+2/（1+k）-2≤122-2=1+22，

当且仅当1+k=21+k，即k=2-1时等号成立.故选A.

评析这类函数最值是常见模型，处理过程中要注意三点：一是定义域的限制，二是定值（常数）的构造，三是当均值不等式失效的情况下，及时利用对勾函数补救.这个问题可以衍生出其他类型的最值问题.

类型1已知h（k）=1+k1+k2，k∈R，求h（k）的值域.特点：定义域开放.

类型2已知h（k）=1-k21+k2，k∈R，求h（k）的值域.特点：解析式中仅含二次项.

类型3已知h（k）=1+k21+k，k∈（-1，1），求h（k）的值域.特点：与类型1比较，分子分母颠倒，更容易构造均值不等式.

类型4已知h（k）=1+k21+k，k∈R，求h（k）的值域.特点：定义域区别于类型3.

类型5已知h（k）=1+k+k21+k2，k∈R，求h（k）的值域.特点：与类型2比较，分子分母均为二次式，且含有一次项.

以上每种类型的处理办法不尽相同，有兴趣的同仁可以仔细研究.

4 高考链接

（2017年高考数学课标Ⅱ卷理科第12题）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·（PB+PC）的最小值是（）.

A.-2B.-32C.-43D.-1

参考答案：B.

5 结束语

突破高考压轴题要在日常教学中下功夫，尤其不能有畏难思想，比如遇到“难题”“新题”就因为害怕而放弃，因为下次可能不再遇见就侥幸过关，因为耗时较多就搁下，等等.事实上，只有加强耐挫力的培养，学生才能提高学习自信心.通过一定次数的磨砺，所谓的难题也就在感觉上变得容易.否则，学生的应试能力节节败退，高端题害怕，中档题也担心.

突破高考压轴题要在基本功上下功夫，不能搞套路化训练.因为基本功扎实了，思路就开放了，逻辑就连贯了，运算就准确了，速度也自然提升了.反之，被灌输一些套路的学生遇到新情景、新问题就只能束手就擒，无计可施，在考场上情绪激动，影响整场考试心理，这就是常说的“平时学得很好，高考没发挥出来”.本题中，求函数的最值需要学生良好的基础，无论是三角出口，还是分式函数出口都是日常教学的重点.

参考文献：

[1]刘族刚，唐忠.一道模拟试题的深度解题[J].数理化学习，2020（10）：29-31.

[2] 候正卫，王勇.2021年高考平面向量考点透析[J].中学生理科应试，2022（Z1）：26-30.

［责任编辑：李璟］