对一道线段比值为定值问题的深入探究

摘要：从培养学生数学核心素养的角度出发，对2023年3月清华中学生测试中的圆锥曲线试题进行深入探究，先进行解法探究，接着对试题结论作了多角度的推广.

关键词：清华中学生测试；圆锥曲线；解法探究； 一般性推广

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0043-05

高中新课标突出对学生数学核心素养的考查，而圆锥曲线成为考查逻辑推理能力和数学运算的重要载体.其中有关“定”的问题在高考和模考中频繁出现，主要包括了动直线过定点，证明线段长、面积、斜率和积、线段比值为定值等问题.定值问题的特征是“定”，而与

“定”相对的是“动”，因而定值问题的本质就是寻找运动变化过程中的不变性.正如张奠宙教授所言：数学中到处都是变与不变的矛盾统一，数学研究变化，却以找到其中的不变性作为归宿.寻找并欣赏数学中无处不在的不变性质，领略不变量和不变性的内在魅力，是把握数学的钥匙之一.下面以2023年清华中学生能力测试第21题为例进行探究.

1 考题呈现

题目（2023年3月清华中学生标准学术能力测试第21题）如图1，已知双曲线C以2x±5y=0为渐近线，其上焦点F坐标为（0，3）.

（1）求双曲线C的方程；

（2）不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于P，Q两点，

PQ的中垂线交y轴于点T，问|TF||PQ|是否为定值，若是，请求出定值；若否，请说明理由.

分析该题考查了双曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及线段定值问题，检验学生分析问题和解决问题的能力，也考查了学生数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.考题设计精巧、内涵丰富，是一道有研究价值的好题.

2 解法探究

视角1本题通解是直曲联立结合设而不求思想，分別求两条线段的长度，再消去参数即可.

解析1（1）设所求方程为（2x+5y）（2x-5y）=λ，由条件易得C：y24-x25=1.

（2）设直线l：y=kx+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立5y2-4x2-20=0，y=kx+3，

整理，得

5（kx+3）2-4x2=20.

化简，得（5k2-4）x2+30kx+25=0.

则有x1+x2=-30k5k2-4，x1x2=255k2-4.

所以|PQ|=1+k2·900k2（5k2-4）2-1005k2-4

=101+k2·4k2+4（5k2-4）2

=20（1+k2）|5k2-4|.

又知PQ中点M坐标为（-15k5k2-4，-125k2-4），

所以PQ中垂线方程为

y--125k2-4=-1k（x--15k5k2-4）.

令x=0，所以y=-275k2-4.

则|TF|=|3+275k2-4|=|15k2+155k2-4|.

所以|TF||PQ|=|（15k2+15）/（5k2-4）||（20k2+20）/（5k2-4）|=34.

视角2考虑分子是焦点弦长，故使用焦半径公式.分母可用点差法或垂径定理处理，从而无需直曲联立来解决，这样可以节约运算量.

解析2 设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ中点为（x0，y0），故由双曲线的焦半径公式可得：

|PQ|=|FP|+|FQ|=（ey1-a）+（ey2-a）=

e（y1+y2）-2a=3y0-4.

又因P，Q均在双曲线上，故

5y21-4x21-20=0，5y22-4x22-20=0.

两式相减，得

5（y22-y21）=4（x22-x21）.

再整理知y2-y1x2-x1=4（x2+x1）5（y2+y1）=4x05y0.

从而中垂线为y-y0=-5y04x0（x-x0）.

令x=0，则y=94y0.

故点T（0，94y0）.所以|TF|=|94y0-3|.

所以|TF||PQ|=|9y0/4-3||3y0-4|=34.

视角3考虑到直线l过定点F，故而可考虑直线的参数方程，利用其几何意义处理该题.

解析3因直线l过定点F，故设直线的参数方程为x=0+tcosθ，y=3+tsinθ（t为参数），将其代入双曲线C方程得

5（3+tsinθ）2-4（tcosθ）2-20=0.

整理知（5sin2θ-4cos2θ）t-30sinθ·t+25=0.

则tP+tQ=-30sinθ5sin2θ-4cos2θ，

tPtQ=255sin2θ-4cos2θ.

所以|PQ|=|tP-tQ|

=（tP+tQ）2-4tPtQ

=（-30sinθ5sin2θ-4cos2θ）2-1005sin2θ-4cos2θ

=20|5sin2θ-4cos2θ|.①

又PQ中点M对应的

tM=tA+tB2=-15sinθ5sin2θ-4cos2θ，

故M（-15sinθcosθ5sin2θ-4cos2θ，-12cos2θ5sin2θ-4cos2θ）.

所以y-15+9sin2θ4+cos2θ=-cosθsinθ（x-sin2θ8+2cos2θ）为PQ中垂线方程.令x=0，则yT=-27cos2θ5sin2θ-4cos2θ.

所以|FT|=|-27cos2θ5sin2θ-4cos2θ-3|

=15|5sin2θ-4cos2θ|.②

从而将①②代入故可得|TF||PQ|=34.

视角4因双曲线5y2-4x2=20的参数方程为x=5tanθ，y=2secθ（θ为参数），而x=5tanθ=25tan（θ/2）1-tan2（θ/2），y=2secθ=2·1+tan2（θ/2）1-tan2（θ/2），

再换元可令x=25t1-t2，y=2·1+t21-t2.

解析4 由双曲线的参数方程，可设P（25t11-t21，2+2t211-t21），Q（25t21-t22，2+2t221-t22），因P，Q，F三点共线，故

（5t21-1）/（1-t21）25t1/（1-t21）=（5t22-1）/（1-t22）25t2（1-t22）.

即（t1-t2）（1+t1t2）=0.

所以t1t2=-15.

从而|PQ|=1+（5t21-125t1）2·|25t11-t21-25t21-t22|=45·5t2+1|t1|·|t1-t2||（1-t21）（1-t22）|.③

又因PQ中点M为

（65（t1+t2）5（1-t21）（1-t22），4825（1-t21）（1-t22））.

故MT：y-4825（1-t21）（1-t22）=5t21-125t1·（x-65（t1+t2）5（1-t21）（1-t22））.

令x=0，得yT=-15（5t21-1）（t1+t2）+48t2225t1（1-t21）（1-t22）.

所以|FT|=|-15（5t21-1）（t1+t2）+48t2225t1（1-t21）（1-t22）-3|

=|-15（5t21-1）（t1+t2）+48t2225t1（1-t21）（1-t22）|

=35|（5t21+1）（t1-t2）t1（1-t21）（1-t22）|.④

從而将③④代入比值式得

|TF||PQ|=34.

3 一般性推广

波利亚曾说：“没有任何一个题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做.[1]”细品解题过程及结论，笔者发现第（2）问的解答耐人寻味，值得探究.于是笔者思考，当双曲线为特殊的5y2-4x2=20时，线段TF和PQ比值为定值，那么对于一般双曲线b2y2-a2x2=a2b2，线段TF和PQ比值是否仍为定值？当双曲线焦点在x轴时呢？另外能否类比到椭圆和抛物线呢？进一步还能推导出哪些拓展结论呢？基于以上思考，笔者探究得到如下结论：

结论1一般地，双曲线C：y2a2-x2b2=1（a>0，b>0）的上焦点为F，不平行于坐标轴的直线l过点F与双曲线C交于P，Q两点，PQ的中垂线交y轴于点T，则|TF||PQ|为定值c2a.可以联想到，将焦点在y轴上的双曲线顺时针旋转90°，则可得到相似结论：

结论2一般地，双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，不平行于坐标轴的直线l过点F与双曲线C交于P，Q两点，PQ的中垂线交x轴于点T，则|TF||PQ|为定值c2a[2].

证明设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ中点（x0，y0），因直线l过点F，故设l：y=k（x-c），与已知双曲线b2x2-a2y2=a2b2联立，消去y，得

（b2-a2k2）x2+2a2ck2x-a2c2k2-a2b2=0.

则x1+x2=2a2ck2a2k2-b2，x1x2=a2c2k2+a2b2a2k2-b2.

故由弦长公式，得

|PQ|=1+k2|x1-x2|

=1+k2·（2a2ck2a2k2-b2）2-4a2c2k2+a2b2a2k2-b2

=2ab2（1+k2）|a2k2-b2|.⑤

而显然x0=a2ck2a2k2-b2，y0=b2cka2k2-b2，

所以线段PQ的中垂线方程为

y-b2cka2k2-b2=-1k（x-a2ck2a2k2-b2）.

令y=0，则xT=c3k2a2k2-b2.

从而|FT|=|c3k2a2k2-b2-c|=|cb2k2+b2ca2k2-b2|.⑥

所以将⑤⑥代入知：|TF||PQ|=cb22ab2=c2a.

结论1证法类似结论2，这里略.

再由特殊到一般的探究思路，假如将直线l所过定点F推广到y轴上一般的定点N（0，n），其他条件不变，那么线段NT和PQ的比值是否仍为某定值呢？

这里仍以双曲线b2y2-a2x2=a2b2为例，联立l：y=k（x-n）和b2y2-a2x2=a2b2消去y，可由韦达定理和弦长公式得

|PQ|=2ab·1+k2·b2k2+n2-a2|a2-b2k2|.

再求出线段NT：

|NT|=b2·|n+ck2||a2-b2k2|.

从而知

|NT||PQ|=b2a·|n+ck2|（1+k2）（b2k2+n2-a2）.

所以易得|NT||PQ|不为定值，且只有当n=c，即点N恰为焦点F时，此时比值恰为定值c2a.

另外还可探究当点M为线段PQ的三等分点或其他等分点时，两线段比值是否为定值？

碍于篇幅，这里略.

4 类比推广

结论3 一般地，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F，不平行于坐标轴的直线l过点F与双曲线C交于P，Q两点，PQ的中垂线交x轴于点T，则|TF||PQ|为定值c2a.

结论1和结论3的证法类似于结论2，这里略.

结论4如图2，一般地，抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，不平行于y轴的直线l过点F与抛物线C交于P，Q两点，PQ的中垂线交x轴于点T，则|TF||PQ|为定值12.

证明设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ中点M（x0，y0），因直线l过点F，故设l：y=k（x-p2），与已知双曲线y2=2px联立消去y，得

k2x2-（pk2+2p）x+k2p24=0.

则x1+x2=p+2pk2，x1x2=p24.

故|PQ|=x1+x2+p=p+p+2pk2.⑦

又M（p2+pk2，pk），

MT：y-pk=-1k（x-p2-pk2），

令y=0，則xT=

3p2+pk2.

从而|FT|=|3p2+pk2-p2|=|p+pk2|.⑧

将⑦⑧代入知|FT||PQ|=12.

对于抛物线我们还可以进一步进行拓展，得到一些更深入的结论，这对于掌握此类问题的性质和培养学生的探究意识大有裨益.

结论5如图3，一般地，抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，不平行于y轴的直线l过点F与抛物线C交于P，Q两点，PQ的中垂线交x轴于点T，过P，Q两点作准线的垂线，垂足分别为A，B，若AB的中点为R，PQ的中点为M，则|MT||RF|为定值1.

证明 因MR∥FT，而由结论4知

|FT|=|p+pk2|.

又线段MR的长度

|MR|=12（|PA|+|QB|）

=12（|PF|+|QF|）

=12|PQ|

=12（2P+2Pk2）

=p+pk2，

所以|MR|=|FT|.

从而四边形MRFT为平行四边形.

即|MT||RF|=1.

结论6一般地，抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，不平行于y轴的直线l过点F与抛物线C交于P，Q两点，PQ的中垂线交x轴于点T，过P，Q两点作准线的垂线，垂足分别为A，B，若AB的中点为R，PQ的中点为M，则RF⊥PQ且线段RM中点在C上[3].

证明如图3，前同结论4知，M（p2+pk2，pk），而易得点R（-p2，pk），故MR中点坐标为（p2k2，pk）.经验证知（pk）2=2p·（p2k）2，即线段RM中点在C：y2=2px上.再由结论5知，四边形MRFT为平行四边形，故RF∥MT，而MT⊥PQ，所以RF⊥PQ.

另外，我们还可探究对于椭圆和双曲线是否有类似结论，感兴趣的读者可进一步进行探究.

5 结束语

由特殊到一般是数学研究的一种常用方法.教师在实际教学中，在解决这些特殊问题后如能加以深入思考和探究，则必能从一类题型拓展到一种方法，由掌握一种方法到解题能力的提升，最终能够将这种能力化为学生的数学素养.

参考文献：

[1] 波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

[2] 王东海.数缺形时少直观 形缺数时难入微：2022届高三八省联考数学卷21题的深入探究[J].数理化解题研究，2022（22）：52-56.

[3] 王东海.2022年高考甲卷理数20题的探究及背景分析[J].数理化解题研究，2023（19）：47-51.

［责任编辑：李璟］