坐标观点下的解析几何命题推广探究

摘要：对2023年全国乙卷理科数学第20题做推广探究，给出原题目的一般情形，主要使用坐标法进行分析与证明，以展示本题的命题背景.

关键词：全国乙卷理科数学；解析几何；坐标法；推广探究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0006-04

解析几何主要考查直观想象能力、逻辑推理能力与运算求解能力.坐标法是高中阶段解决解析几何问题的主要方法.“坐标法”的基本含义是：通过将几何关系转化为坐标，并使用代数方法对坐标进行运算，体现了解析几何中的数形结合思想[1].下面我们以2023年的一道高考题目为例，在坐标法的观点下研究其一般情形，并做推广.

1 题目呈现

题目（2023年全国乙卷理科数学20题）如图1，已知椭圆C：y2a2+x2b2=1（a>b>0）的离心率为53，点A（-2，0）在C上.

（1）求C的方程；

（2）过点（-2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.

为了便于说明问题，不妨设点B（-2，3），M，N中点为K.

本题充分考查学生的逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养，解决方法不唯一，可以多角度切入分析试题，定点结论简洁美观，是一道具备选拔功能的优秀试题，下面尝试对问题的一般化情况做讨论.

2 推广探究

结论1已知椭圆C：y2a2+x2b2=1（a>b>0），点A（-b，0）在C上，过B（-b，a）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，线段MN的中点为定点（0，a）.

此结论证明方法较多.考虑到直线AP，AQ地位等同，知其运算方式是相似的.具体来看，当我们通过联立计算解决了点P的坐标时，点Q的坐标也可以通过类似的计算方式得出.所以，我们选择方程同构方法解决，目的是为了尽可能减少计算量.

证明设直线AP，AQ的方程分别为

y=k1（x+b），y=k2（x+b），

根据题意可得k1，k2必然存在.联立直线AP与椭圆C方程y2a2+x2b2=1，y=k1（x+b）可得

（a2+b2k21）x2+2b2k21x+b4k21-a2b2=0.

由韦达定理，可得

xAxP=b4k21-a2b2a2+b2k21，

xp=a2b-b3k21a2+b2k21，

yP=k1（a2b-b3k21a2+b2k21+b）=2a2bk1a2+b2k21.

設直线PQ的方程为y-a=t（x+b），可得

2a2bk1a2+b2k21-a=t（a2b-b3k21a2+b2k21+b）.

化简得到ab2k21-2a2bk1+a3+ta2b+tab2=0.

同理，可得ab2k22-2a2bk2+a3+ta2b+tab2=0.

此时k1，k2可看作方程ab2x2-2a2bx+a3+ta2b+tab2=0的两个不等实数根.

所以k1+k2=2ab .

对于直线AP，AQ，令x=0，可得

yP=bk1，yQ=bk2.

设MN的中点为K，

所以yK=yP+yQ2=b（k1+k2）2=a.

评注对于结论1，令a=3，b=2即得到乙卷理科第20题.通过此分析可以看到，几何上的相同地位暗示着相同的代数运算方式.事实上，我们证得定点的同时，发现本质上是斜率和为定值导致定点的出现，所以得到结论2.

结论2已知椭圆C：y2a2+x2b2=1（a>b>0），点A（-a，0）在C上，过B（-b，a）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，K（0，a），则kAP+kAQ=2kAK.

证明根据结论1，可得

kAP+kAQ=2ab，kAK=ab.

故有kAP+kAQ=2kAK成立.

本结论可以推广至双曲线，于是得到结论3.

结论3已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），点A（-a，0）在C上，过B（-a，b）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，K（0，-b），则kAP+kAQ=2kAK.

证明方法与结论1类似，此处略去.

结论4如图2，已知椭圆C：y2a2+x2b2=1（a>b>0），点A（-a，0）在C上，过B（-b，a）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，K（0，a），AK交PQ于点G，则|BP|·|QG|=|BQ|·|PG|.

证明设P（x1，y1），Q（x2，y2），B（-b，a），根据B，P，Q三点共线可得PB=λBQ，也即

（-b-x1，a-y1）=λ（x2+b，y2-a）.

得到关系x1+λx2=-（1+λ）b，y1+λy2=（1+λ）a.

根据几何图形可知，λ≠-1.

根据y21a2+x21b2=1，y22a2+x22b2=1， 得到

y21a2+x21b2=1，λ2y22a2+λ2x22b2=λ2.

作差，得

y21-λ2y22a2+x21-λ2x22b2=1-λ2.

即（1+λ）a（y1-λy2）a2+-（1+λ）b（x1-λx2）b2=1-λ2.

也即ay1-λay2a2+-bx1-λ（-b）x2b2=1-λ.

考虑x1+λx2=-（1+λ）b，y1+λy2=（1+λ）a变形为

-bx1+λ（-b）x2b2=1+λ，ay1+λay2a2=1+λ，

两者相加，可得

ay1+λay2a2+-bx1+λ（-b）x2b2=2（1+λ）.

考虑表达式

ay1-λay2a2+-bx1-λ（-b）x2b2=1-λ，ay1+λay2a2+-bx1+λ（-b）x2b2=2（1+λ），①②

①+②2，②-①2λ分别得

ay1a2+-bx1b2=32+λ2，ay2a2+（-b）x2b2=12λ+32，

即ay1a2+-bx1b2-1=12+λ2

=（12+λ2）［a2a2+（-b）2b2-1］，

ay2a2+（-b）x2b2-1=12λ+12

=1+λ2λ

=1+λ2λ［a2a2+（-b）2b2-1］.

直线AK的方程为-bxb2+aya2=1，分别计算点P，Q到直线AK的距离为

hP=|-bx1/b2+ay1/a2-1|

1/b2+1/a2，

hQ=|-bx2/b2+ay2/a2-1|1/b2+1/a2.

可知hPhQ=

|-bx1/b2+ay1/a2-1||

-bx2/b2+ay2/a2-1|=

|1/2+λ/2（1+λ）/2λ|=|λ|=|PG||GQ|=|PB||BQ|.

所以|PG|·|BQ|=|PB|·|GQ|.

评注我们用纯坐标法证明了此结论，避免了使用平面几何与高等几何中繁杂的推导，体现了坐标法的优势.若此结论成立，认为点B，P，G，Q为调和点列.在证明过程中，我们使用了定比点差法，点差法在代数结构上简明对称，便于我们找到等量关系，整体代换求出线段比为定值.事实上，此结论也揭示了全国乙卷20题的命题背景为调和点列.

结论4可一般化推广，我们得到结论5.

结论5已知椭圆C：y2a2+x2b2=1（a>b>0），椭圆外一点B（x0，y0），过点B的直线与椭圆C交于P，Q两点，直线y0ya2+x0xb2=1与椭圆相交于A，K两点，交直线PQ于点G，则有|PG|·|BQ|=|PB|·|GQ|成立.

此结论的证明方式同结论4，并且对于焦点在x轴上的椭圆也成立.

调和点列的出现意味着出现调和线束，可知AB，AP，AG，AQ为调和线束.我们将调和点列的结论改进，得到结论6.

结论6对椭圆y2a2+x2b2=1（a>b>0），B（x0，y0）是椭圆外任意一点，过点B的直线与椭圆C交于P，Q两点，直线y0ya2+x0xb2=1与椭圆相交于A，K两点，交直线PQ于点G，有关系1kAG-kAQ+1kAB-kAQ=2kAP-kAQ成立.

证明根据结论5，B，P，G，Q为调和点列，可得|PG||GQ|=|PB||BQ|.

也即|PG||GQ|·|BQ||PB|=1.

根据正弦定理，易证得

PGGQ=APAQsin∠PAGsin∠GAQ，BQPB=AQAPsin∠BAQsin∠BAP.

所以sin∠PAGsin∠GAQsin∠BAQsin∠BAP=1.

分别设调和线束AB，AP，AG，AQ的倾斜角为θ1，θ2，θ3，θ4，其斜率分别为k1，k2，k3，k4，根据三角形外角关系，得

sin∠PAGsin∠GAQsin∠BAQsin∠BAP=sin（θ2-θ3）sin（θ3-θ4）sin（θ1-θ4）sin（θ1-θ2）

=（tanθ2-tanθ3）（tanθ1-tanθ4）（tanθ3-tanθ4）（tanθ1-tanθ2）

=（k2-k3）（k1-k4）（k3-k4）（k1-k2）=1.

有（k2-k3）（k1-k4）=（k3-k4）（k1-k2）成立.

也即（k2-k4+k4-k3）（k1-k4）=（k1-k4+k4-k2）（k3-k4）.

即（k4-k3）（k1-k4）+（k2-k4）（k1-k4）=（k4-k2）（k3-k4）+（k1-k4）（k3-k4）.

故有2（k1-k4）（k3-k4）=（k2-k4）（k1-k4）+（k2-k4）（k3-k4）.

所以2k2-k4=1k3-k4+1k1-k4.

所以1kAG-kAQ+1kAB-kAQ=2kAP-kAQ成立.

评注根据此结论，在2023年全国乙卷理科20题的情境下，可知kAB为无穷大，我们认为1kAB-kAQ为0，故有1kAG-kAQ=2kAP-kAQ，化簡可得kAP+kAQ=2kAG=2kAK.由此，可知结论2为结论6的特殊情形之一.结论6也可推广至双曲线和抛物线，此处不再详述，证明方法与结论6证明类似.这条结论将调和点列关系转化为斜率关系，然而斜率本身可以由坐标进行定义，所以，本结论在坐标观点下有重大意义［2］.

3 结束语

通过以上结论与分析可以看到，坐标法在解决解析几何问题时有非常重要的推动作用，能通过计算避免繁杂的几何推理，并且推导出来的结果更具备一般性.在运用坐标法计算时，要注意灵活运用代数中的对称、同构、替换的思路，巧妙运算，减少计算量.同时，解析几何的关系经过坐标的加工、转化之后可以出现新的数学问题.正是坐标观点的出现，使解析几何问题的呈现形式多样化，变得越来越丰富多彩，引人入胜.

参考文献：

［1］ 金毅.深抓几何关系，感悟坐标思想[J].中学生数学，2019（23）：16-17.

［2］ 金毅.对2022年高考乙卷理科数学第20题的多角度探析［J］.数理化解题研究，2022（22）：83-88.

［责任编辑：李璟］