高考数学复习备考策略的研究

董同明

摘要：我国的中学数学教育正经历着前所未有的变革，在“新课程、新教材、新高考”背景下对高考数学复习备考的教学提出了新的要求.文章从四方面分析高考数学复习备考策略，以适应教育教学和高考命题改革的需要.

关键词：数学复习；备考策略；高考试题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0002-04

本文以2023年全国卷高考数学试题为例，从下述几方面对高考数学复习备考的策略进行研究.

1 数学复习要强调基础性

深化基础考查是高考数学命题的根本，虽然高考数学试题千变万化，但不变的是数学的基础知识、基本技能和基本思想方法.

例1（新高考Ⅰ卷第2题） 已知z=1-i2+2i，则

z-z-=（）.

A.-iB.iC.0D.1

试题分析本题考查复数的代数形式、复数代数形式的运算、共轭复数的概念等基础知识和基本方法.由题意首先计算复数z的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.

解析 因为z=1-i2+2i=（1-i）（1-i）2（1+i）（1-i）=-2i4=-12i，

所以z-=12i.

即z-z-=-i.

故选A.

2 数学复习要突出综合性

作为选拔性考试的高考，综合性就成为高考数学命题的重要特征.高考数学命题依据课程标准，落实“综合性”考查要求，彰显学科核心素养，突出对主干、重点知识、内容及关键能力的考查，考查综合应用知识的能力.高考复习备考要重视知识点的交叉，学会从一个知识点向另一个知识点转化的方法，即转化条件、转化结论.学会在不同的知识点之间建立起桥梁，学会对各个知识点进行挖掘、扩展，既深入思考又广开思路，这是复习备考的核心问题.

例2（乙卷理第21题）已知函数f（x）=（1x+a）ln（1+x）.

（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）是否存在a，b，使曲线y=f（1x）关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，请说明理由；

（3）若f（x）在（0，+

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）上存在极值，求a的取值范围.

试题分析该题考查导数知识的综合应用，设置了三个小题：第（1）小题由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；第（2）小题首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数a的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的a，b是否正确；第（3）小题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数g（x）=ax2+x-（x+1）ln（x+1），然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a≤0，a≥12和0

解析 （1）当a=-1时，f（x）=（1x-1）ln（x+1），

则

f ′（x）=-1x2×ln（x+1）+（1x-1）×1x+1.

据此可得f（1）=0，f ′（1）=-ln2.

函数在（1，f（1））处的切线方程为

y-0=-ln2（x-1）.

即xln2+y-ln2=0.

（2）由函数的解析式可得

f（1x）=（x+a）ln（1x+1），

函數的定义域满足1x+1=x+1x>0，即函数的定义域为（-

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，-1）∪（0，+

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）.所以定义域关于直线x=-12对称.由题意可得b=-12.

由对称性可知

f（-12+m）=f（-12-m）（m>12）.

取m=32可得f（1）=f（-2）.

即（a+1）ln2=（a-2）ln12.

则a+1=2-a，解得a=12.

经检验a=12，b=-12满足题意.

故a=12，b=-12.

（3）由函数的解析式可得

f ′（x）=（-1x2）ln（x+1）+（1x+a）1x+1.

由f（x）在区间（0，+

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）上存在极值点，则f ′（x）在区间（0，+

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）上存在变号零点.

令（-1x2）ln（x+1）+（1x+a）1x+1=0，则

-（x+1）ln（x+1）+（x+ax2）=0.

令g（x）=ax2+x-（x+1）ln（x+1），

f（x）在区间（0，+

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）存在极值点，等价于g（x）在区间（0，+

SymboleB@

）上存在变号零点，

g′（x）=2ax-ln（x+1），g″（x）=2a-1x+1，

当a≤0时，g′（x）<0，g（x）在区间（0，+

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）上单调递减，此时g（x）

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）上无零点，不合题意；

当a≥12，2a≥1时，由于1x+1<1，所以g″（x）>0，g′（x）在区间（0，+

SymboleB@

）上单调递增，所以g′（x）>g′（0）=0，g（x）在区间（0，+

SymboleB@

）上单调递增，g（x）>g（0）=0，

所以g（x）在区间（0，+

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）上无零点，不符合题意；

当0

当x∈（0，12a-1）时，g″（x）<0，g′（x）单调递减，

当x∈（12a-1，+

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）时，g″（x）>0，g′（x）单调递增，

故g′（x）的最小值为

g′（12a-1）=1-2a+ln2a.

令m（x）=1-x+lnx（0

m′（x）=-x+1x>0，

所以函数m（x）在定义域内单调递增.所以m（x）

据此可得1-x+lnx<0恒成立.

则

g′（12a-1）=1-2a+ln2a<0.

令h（x）=lnx-x2+x（x>0），则

h′（x）=-2x2+x+1x.

当x∈（0，1）时，h′（x）>0，h（x）单调递增，当x∈（1，+

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）时，h′（x）<0，h（x）单调递减，

故h（x）≤h（1）=0.

即lnx≤x2-x（取等条件为x=1）.

所以g′（x）=2ax-ln（x+1）>2ax-［（x+1）2-（x+1）］=2ax-（x2+x），

g′（2a-1）>2a（2a-1）-［（2a-1）2+（2a-1）］=0，且注意到g′（0）=0.

根据零点存在性定理可知：g′（x）在区间（0，+

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）上存在唯一零点x0.

当x∈（0，x0）时，g′（x）<0，g（x）单调递减，当

x∈（x0，+

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）时，g′（x）>0，g（x）单调递增，所以g（x0）

令n（x）=lnx-12（x-1x），则

n′（x）=1x-12（1+1x2）=-（x-1）22x2≤0.

则n（x）单调递减，注意到n（1）=0，故当x∈（1，+

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）时，lnx-12（x-1x）<0.

从而有lnx<12（x-1x）.

所以g（x）=ax2+x-（x+1）ln（x+1）

>ax2+x-（x+1）×12［（x+1）-1x+1］

=（a-12）x2+12.

令（a-12）x2+12=0，得x2=11-2a.

所以g（11-2a）>0.

所以函数g（x）在区间（0，+

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）上存在变号零点，符合题意.

综上可知，实数a的取值范围是（0，12）.

3 数学复习要关注应用性

数学应用已经渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面，而应用数学解决问题是学生学科核心素养的综合体现.数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式.因此，高考命题重视应用数学模型解决实际问题，强化对“应用意识”的考查，既体现课程标准的要求，也是考查学生学科素养的重要手段.

例3（新高考Ⅱ卷第19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如图1所示的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

（1）当漏诊率p（c）=0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；

（2）设函数f（c）=p（c）+q（c），当c∈［95，105］时，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间［95，105］的最小值.

试题分析（1）根据题意由第一个图可先求出c，再根据第二个图求出c≥97.5的矩形面积即可解出；

（2）根據题意确定分段点100，即可得出f（c）的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出.

解析（1）根据题意可知，左边图形第一个小矩形的面积为5×0.002>0.5%，所以95

q（c）=0.01×（97.5-95）+5×0.002=0.035=3.5%.

（2）当c∈［95，100］时，f（c）=p（c）+q（c）=（c-95）×0.002+（100-c）×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02；

当c∈（100，105］时， f（c）=p（c）+q（c）=5×0.002+（c-100）×0.012+（105-c）×0.002=0.01c-0.98>0.02.

所以f（c）=-0.008c+0.82，95≤c≤100，0.01c-0.98，100

故f（c）在区间［95，105］的最小值为0.02.

4 数学复习要重视创新性

培养学生的创新精神、创新意识和创新能力是高中数学新课程的重要任务，而在数学探究中发现问题、提出问题，并应用数学知识、思想方法分析问题和解决问题是这种创新性的最好表现.高考命题重视对情境创新性的考查，这就要求我们在高考复习备考中重视和加强对数学创新型问题的研究，并引导学生加强对创新问题的训练，以适应高考命题的要求.

例4（新高考Ⅱ卷第15题）已知直线l：x-my+1=0与⊙C：（x-1）2+y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值.

试题分析根据直线与圆的位置关系，求出弦长|AB|，以及点C到直线AB的距离，结合面积公式即可解出.

解析设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得|AB|=24-d2.

所以S△ABC=12×d×24-d2=85，

解得d=455或d=255.

由d=|1+1|1+m2=21+m2，

所以21+m2=455或21+m2=255，

解得m=±2或m=±12.

故答案为2 （2，-2，12，-12中任意一个皆可以）.

5 结束语

教育部考试中心发布的高考评价体系由“一核”“四层”“四翼”组成，其中：“四翼”即基础性、综合性、应用性、创新性为考查要求［1］.高考数学复习备考要强化对实现“四翼”考查要求策略的研究，把复习备考的着眼点放在数学的“问题本质”和能力培养上，将本质性的东西弄熟吃透了，阅读理解能力及数学抽象、逻辑推理和数据分析、直观想象和数学建模等数学核心素养提高了，相应的问题便迎刃而解.

参考文献：

［1］ 教育部考试中心.中国高考评价体系说明[M].北京：人民教育出版社，2019.

［责任编辑：李璟］