两类弹簧木板分离问题比较探究

摘要：弹簧木板分离问题是高中物理中的重要临界模型，是牛顿运动定律、功能关系与胡克定律相结合的典型应用，是简谐运动的有效拓展，对提升学生物理核心素养发挥着必要的作用.比较整体做匀加速直线运动和简谐运动这两种典型的物理模型并熟练应用，对解决相关问题起到事半功倍的效果.

关键词：弹簧；木板；分离；模型；比较

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0115-03

弹簧木板分离问题是高中物理中的重要临界模型，是力学板块的难点知识，含弹簧的问题也是高频考点.弹簧木板分离问题涉及的过程多，处理该问题所用的规律、公式复杂，不易理解，导致学生在考试中容易失分.这就需要学生学习时对这类现象及规律进行浸润式思维，深刻领会物理概念、规律的本真，深度学习，不斷提升核心素养.因此，弄清两类典型模型的特点，掌握应用相应规律的方法，熟悉应用模型去解决实际问题很有必要.为此，本文将对弹簧木板分离前一起做匀加速运动和简谐运动进行分析和探讨，以求达到掌握其特点并熟练应用的目的[1-2].

1 模型分类

如图1所示，一根劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在水平面上，另一端与滑块B相连，滑块A与B靠在一起（不粘连），两滑块的质量分别为mA、mB，系统处于静止状态，弹簧始终在弹性限度范围内，从零时刻起对滑块A施加一个竖直向上的力F作用.

1.1 匀加速运动（F是变力）

滑块A与B向上一起匀加速直线运动，设匀加速运动的加速度已知为a.则：

运动性质：分离前二者一起做匀加速直线运动，分离后A做匀变速直线运动，B做简谐运动.

外力变化：分离前变力，分离后是恒力.

分离临界条件：二者加速度、速度相等，相互作用力为零.

分离前（含分离时）满足的物理规律：如图2所示，初始时刻，对整体，由力的平衡条件，有：

kx1=（mA+mB）g①

分离时，对滑块B，由牛顿第二定律，有：

kx2-mBg=mBa

②

由几何关系，得：x1-x2=12at21③

联立解得：t1=2（mAg-mBa）ka④

在匀加速过程中，设整体的位移为x，有：

F+k（x1-x）-（mA+mB）g=（mA+mB）a⑤

成立，变形得：F=kx+（mA+mB）a⑥

函数图像如图3所示.且当x=0时，拉力取最小值，有：

Fmin=（mA+mB）a⑦

当x=x1-x2时，拉力取最大值，有：

Fmax=mA（g+a）⑧

由运动学公式，得：v=at1⑨

解得：v=2a（mAg-mBa）k⑩

v-t图像如图4所示.由于在F-x图像中，图线与x轴所围“面积”在数值上表示力F在这段位移所做的功，由图3可知，外力所做的功为：

WF=12［（mA+mB）a+mA（g+a）］（x1-x2）B11

解得WF=m2Ag（g+2a）-mBa2（2mA+mB）2kB12

对整体，由动能定理，得：

WF+［-（mA+mB）g（x1-x2）］+W弹

=12（mA+mB）v2B13

弹簧弹力所做的功为：

W弹=-ΔEP弹

=m2Ba（2g+a）-mAg2（mA+2mB）B14

1.2 简谐运动（F是恒力）

A与B向上一起简谐运动，已知竖直向上的拉力为F.则：

运动性质：分离前二者一起做简谐运动，分离后滑块A做匀变速直线运动，滑块B做简谐运动.

分离临界条件：二者加速度、速度相等，相互作用力为零.

是否分离的条件及规律：初始位置，对整体，由力的平衡条件，有：

kx1=（mA+mB）g①

设振幅为A，此时在F的作用下二者的加速度最大且满足：

F=kA=（mA+mB）amax②

若在滑块B运动的最高点分离，由对称性，对滑块A，有：

mAg-F=mAamax③

对滑块B，满足：mBg-kx2=mBamax④

解得：F=mA（mA+mB）2mA+mBg⑤

得出结论：若F

二者永不分离；若F>mA（mA+mB）2mA+mBg⑦

二者一定会分离；且分离时弹簧的压缩量

x2=mBFmAk⑧

平衡位置：设二者做简谐运动的平衡位置对应弹簧的压缩量为x3，由对称性，则振幅

A=x1-x3=x3-x2⑨

且F+kx3=（mA+mB）g⑩

解得振幅A=mA（mA+mB）g-mBF2mAkB11

函数图象：若不分离，v-t图像为标准的正弦函数.

2 应用品鉴

例1如图5（a）所示，光滑斜面的倾角为30°，一根轻质弹簧一端固定在斜面底端，另一端与滑块A相连，滑块B与A靠在一起（不粘连），两滑块的质量均为m，系统处于静止状态.从零时刻起对滑块B施加一个平行斜面的变力F，两滑块的v-t图像如图5（b）所示，t0时刻F的大小是零时刻F大小的2倍，重力加速度大小为g，弹簧始终处于弹性限度内，则下列说法正确的是（）.

A.t0时刻前两滑块的加速度大小均为g3

B.t0时刻两滑块的速度大小均为16gt0

C.弹簧的劲度系数为2mt20

D.0到t0时间内弹簧弹性势能的减少量为572mg2t20

解析由图5（b）所示图像可知，t=t0时刻两滑块开始分离，此时它们的加速度大小、速度大小分别相等，它们间的作用力为零，设此时弹簧的压缩量为x，设t=0时弹簧的压缩量为x0，弹簧的勁度系数为k，则t0时刻拉力大小为2F0，施加拉力前，对A、B整体，由平衡条件得：

kx0=2mgsin30°①

t=0时刻，对A、B整体，由牛顿第二定律得：

F0+kx0-2mgsin30°=2ma②

t0时刻，对滑块B，由牛顿第二定律得：

2F0-mgsin30°=ma③

解得：a=16g，选项A错误；由图（b）所示图像可知，在t0内， A、B一起做初速度为零的匀加速直线运动，t0时刻两滑块的速度大小为：

v=at=16gt0

④

选项B正确；由图5（b）所示图像可知，在t0内， A、B一起做初速度为零的匀加速直线运动，位移大小为：

x0-x=12at20⑤

t0时刻，对滑块A，由牛顿第二定律得：

kx-mgsin30°=ma⑥

解得弹簧的劲度系数为：k=4mt20，选项C错误；任意时刻在A、B系统在斜面上的位移为s，则此时有：

F+k（x0-s）-2mgsin30°=2ma⑦

即F=ks+2ma，则F-s图像如图6所示，根据A中分析可得：F0=13mg，则此过程中F做的功即为图像与坐标轴围成的面积，有：

W=F0+2F02·12at20⑧

设弹簧弹性势能的减少量为EP，则根据功能关系，F做功与弹簧弹性势能的减少量之和等于系统重力势能与动能的增加量，即

W+EP=122mv2+2mgsin30°·s⑨

解得：EP=572mg2t20，

或EP=12kx20-12kx2=572mg2t20⑩

选项D正确.

3 结束语

弹簧木板分离问题本质还是弹簧的临界问题[3]，对学生物理核心素养要求较高.弹簧问题几乎在每年的高考试题中都有所体现，解决弹簧问题的关键是画出物体运动的情境图，然后进行正确的受力分析、运动过程分析、做功分析、能量分析、冲量分析、动量分析[4].

参考文献：

[1] 孙志华.刍议简谐运动中的能量问题[J].中学物理教学参考，2022，51（16）：19-21.

[2] 王立良.弹簧木块分离模型：由清华大学强基试题说起[J].高中数理化，2022（08）：13-15.

[3] 杨天才.一道试题的变形[J].数理化解题研究（高中版），2007（01）：31-33.

[4] 颜福莉，杨天才.不可或缺的弹簧[J].中学生理科应试，2022（08）：21-24.

［责任编辑：李璟］