平面一般二次曲线的垂径定理及其应用

2024-05-29钟德光肖柔敏

数理化解题研究·高中版 2024年4期

关键词：二次曲线圆锥曲线

钟德光肖柔敏

摘要：利用高中数学的“点差法”得到平面一般二次曲线的垂径定理，该结果给出圆、椭圆、双曲线、抛物线以及双直线的垂径定理的一种统一形式.作为应用，给出了一道2022年江西数学竞赛预赛试题的一种简单解法.

关键词：垂径定理；圆锥曲线；二次曲线；点差法

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0065-03

垂径定理是圆的一个重要性质，它在椭圆、双曲线以及抛物线都有类似的推广.目前为止，中小学数学关于椭圆、双曲线以及抛物线的垂径定理的讨论都是零散的，因此，寻找圆锥曲线的垂径定理的统一形式有着重要意义.

1 圆的垂径定理及其在圆锥曲线中的推广

命题1设O是坐标原点，且设直线l与圆O相交于A，B两点，点D为线段AB中点.在直线OD的斜率存在且不为零的情况下，则有

kOD·kAB=-1.

圆的上述解析版本的垂径定理已经在圆锥曲线中得到推广，见文献[1-3].

在文献[1-3]中，他们给出了椭圆、双曲线和抛物线的垂径定理：

命题2（椭圆的垂径定理）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）与斜率存在且不为零的直线l相交于M，N两点，设MN中点为P（x0，y0），则有kMN·kOP=-b2a2.

命题3（双曲线的垂径定理）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>b>0）与斜率存在且不为零的直线l相交于M，N两点，设MN中点为P（x0，y0），则有kMN·kOP=b2a2.

命题4（抛物线的垂径定理）已知抛物线y2=2px（p>0）与斜率存在且不为零的直线l相交于M，N两点，设MN中点为P（x0，y0），则有kMN·y0=p.

命题5设有心二次曲线Ax2+By2=1（A>0且B>0，或者AB<0）与斜率存在且不为零的直线l相交于M，N两点，设MN中点为P（x0，y0），则有kMN·kOP=-AB.

2 关于圆锥曲线垂径定理的一些问题

我们知道，命题5是关于有心二次曲线的垂径定理，它给出命题1～3的一种统一形式.实际上由解析几何知识可知，有心二次曲线不但包括圆、椭圆以及双曲线，还应该包括相交的双直线.因此，命题5并非完整地给出有心二次曲线的垂径定理.于是我们自然提出如下问题：

问题1相交的双直线的垂径定理是什么？

问题2有心二次曲线与抛物线的统一垂径定理是什么？

此外，命题1～5都是对于方程是标准的二次曲线的垂径定理，因此，若该二次曲线的方程不是标准的，比如椭圆5x2-6xy+5y2-62x+22y-4=0，则其相应的垂径定理应该是怎样的？设平面一般二次曲线方程为：

a1x2+b1xy+c1y2+d1x+e1y+f1=0， ①

其中，系数满足a1，b1，c1，d1，e1，f1∈R，且a12+b12+c12≠0.由于平面上的圓、椭圆、双曲线、双直线以及抛物线的标准或非标准方程都具有①的形式，因此上述问题可以总结为如下的问题3：

问题3设平面一般二次曲线方程为

a1x2+b1xy+c1y2+d1x+e1y+f1=0，

其中a1，b1，c1，d1，e1，f1∈R，且a12+b12+c12≠0，则相应的垂径定理如何？

3 平面一般二次曲线的垂径定理

本文我们主要给出问题3的答案，我们找到了如下的定理1.事实上，此结果可由文献[4]第203页的推论得到.但是，文献[4]对于该推论的证明涉及到一般二次曲线的渐近方向，该概念在高中数学未提及.为了使所涉及的方法不超出高中数学的范畴，在此我们利用高中数学常用的“点差法”给出该结果的一个证明.

定理1设斜率存在的直线y=kx+m与平面一般二次曲线①相交于互异的M，N两点，且设线段MN中点为Q（x0，y0），则直线MN的斜率kMN满足关系式

（b1x0+2c1y0+e1）·kMN+2a1x0+d1+b1y0=0.②

证明设M，N坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）.由于点M，N在平面二次曲线①上，故有

a1x21+b1x1y1+c1y21+d1x1+e1y1+f1=0，③

a1x22+b1x2y2+c1y22+d1x2+e1y2+f1=0.④

将③式减去④式，并且整理可得

a1（x21-x22）+b1（x1y1-x2y2）+c1（y21-y22）+

d1（x1-x2）+e1（y1-y2）=0.⑤

由于点M，N在直线MN上，故有

x1y1-x2y2=x1（kx1+m）-x2（kx2+m）=k（x21-x21）+m（x1-x2）.⑥

将⑥代入⑤并且整理，可得

（a1+b1k）（x21-x22）+c1（y21-y22）+（d1+b1m）·（x1-x2）+e1（y1-y2）=0.⑦

由于M，N互异，故x1≠x2.

因此，将⑦式两边除以x1-x2并且整理，可得

（a1+b1k）（x1+x2）+c1（y1+y2）y1-y2x1-x2+d1+b1m+e1y1-y2x1-x2=0.⑧

注意到k=kMN=y1-y2x1-x2，2x0=x1+x2和2y0=y1+y2，将它们代入⑧式，可得

2x0（a1+b1kMN）+2c1y0kMN+d1+b1m+e1kMN

=0.⑨

由于点Q（x0，y0）在直线MN上，

故y0=kMNx0+m.

解得m=y0-kMNx0，代入⑨并整理，得

（b1x0+2c1y0+e1）·kMN+2a1x0+d1+b1y0=0.

4 定理1对于命题1～5的推导

现在我们利用定理1的结果推出命题2.而命题1以及命题3～5的情形可类似给出，有兴趣的读者可自行检验，在此我们不再详细推导.

容易知道此时命题2中的椭圆方程的一般形式可以写成

x2a2+y2b2-1=0.

即a1=1a2，b1=0，c1=1b2，d1=e1=0，f1=-1.

根据定理1，此时直线l的斜率kl满足方程

（0x0+2b2y0+0）·kl+2a2x0+0+0y0=0.

即2·1b2y0·kl+2·1a2x0=0.

化简即可得到kMN·kOP=-b2a2.

5 平面一般二次曲线垂径定理的应用

题目（2022年全国高中数学联赛江西省预赛试题第2题）若一直线l被另外两条直线l1：4x+y+6=0与l2：3x-5y-6=0所截得的線段的中点恰好是原点，则直线l的方程为.

分析将直线l和直线l1的交点假设为（a，b），则根据条件可知点（-a，-b）在直线l2上.因此，有4a+b+6=0和-3a+5b-6=0.联立这两个方程可得a+6b=0，从而得出直线l方程为x+6y=0.考虑到相交的双直线是平面二次曲线①的一种，且题意涉及弦的中点，因此可以考虑平面一般二次曲线的垂径定理.

解析（双直线垂径定理法）将双直线l1：4x+y+6=0与l2：3x-5y-6=0写成平面二次曲线的形式，可得（4x+y+6）（3x-5y-6）=0，即

12x2-17xy-5y2-6x-36y-36=0，

其中a1=12，b1=-17，c1=-5，d1=-6，e1=-36，f1=-36，x0=y0=0.代入定理1，即可得到关于直线l的斜率k的一个关系式为-36k-6=0，解得k=-16.

又因为直线l经过原点，故直线l的方程为y=-16x或者x+6y=0.

评注上述例题需要我们知道平面上的两条相交直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0可写成二次曲线的形式：

（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0.

此外，与命题1～5的情形不同，上述例题的双直线的中心并不在原点处.这体现了定理1在处理一般二次曲线的垂径定理相关问题中所显示出来的优势.

6 结束语

总之，我们找到了椭圆、双曲线以及抛物线的垂径定理.其实，我们用高中数学常用的“点差法”证明了更加一般的结果，即定理1.该结果给出了圆、椭圆、双曲线、抛物线甚至双直线的垂径定理的一种统一形式.此外，定理1对于直线斜率等于零，以及对于中心不在原点处的圆锥曲线亦成立，这导致了定理1的使用范围更加广泛.

参考文献：

[1]卢会玉.圆锥曲线中的垂径定理[J].数理化解题研究，2021（31）：44-46.

[2] 张小凯.有心圆锥曲线的“垂径定理”[J].中学数学研究，2006（08）：23-24.