二次曲线的对称性及曲率
2022-08-31郭芳承王艳琰
郭芳承,王艳琰
(陇东学院 数学与统计学院, 甘肃 庆阳 745000)
对特定几何对象进行分类是几何学研究的重要问题之一[1-4],二次曲线是初等几何和高等几何的重要研究对象,二次曲线一般理论的一个重要方面是对其进行分类[5-7]。然而,分类的一个关键步骤是对其进行化简,找到各类二次曲线的标准形式[8-11]。采用代数学的技巧,用不变量对二次曲线进行化简是所有化简方法中最简洁的一种,但严重缺乏几何直观。
容易发现,二次曲线的图形都具有高度的对称性,从几何上看,以对称轴为坐标轴时,二次曲线的表达式最为简单,为二次曲线的标准形式。因此,讨论二次曲线的对称中心和对称轴对化简二次曲线具有重要作用。
平面上,二元二次方程
F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0
(1)
表示的曲线称为二次曲线。定义三阶对称矩阵
二次曲线(1)又可表达为
1 二次曲线的对称中心
定义1 对于一条二次曲线,若平面上有一固定点,它是该二次曲线的所有经过它的弦的中点,则该点是二次曲线的一个对称中心,简称二次曲线的中心。
若二次曲线的中心存在,它既可能在二次曲线上,如两条相交直线的情形;也可能在二次曲线之外,如椭圆和双曲线等,存在中心的二次曲线的图像具有高度的对称性。下面讨论二次曲线中心存在的条件,二次曲线中心的个数,以及中心的坐标等。
设点C(x0,y0)是二次曲线(1)的中心,过点C且以(X:Y)为方向的直线为
(2)
或
(3)
将(2)或(3)代入(1)得
Φ(X,Y)t2+2[F1(x0,y0)X+
F2(x0,y0)Y]t+F(x0,y0)=0
(4)
其中Φ(X,Y)=a11X2+2a12XY+a22Y2,且
方程(4)是参数t的一元二次方程,其两根t1与t2分别对应于直线l0与二次曲线的两个交点,而点C为两个交点的中点,故t1+t2=0,进而有
F1(x0,y0)X+F2(x0,y0)Y=0
由直线l0的方向的任意性知道,中心C(x0,y0)满足方程组
记
由线性代数理论,易知有如下结论。
定理1 对于二次曲线(1),(I)当I2≠0时,二次曲线有唯一中心,其坐标为
2 二次曲线的对称轴
定义2 在平面上,若存在一条直线,与之垂直的二次曲线的弦的中点都在该直线上,称该直线为二次曲线的一条对称轴。
同时,设直线
将直线l′的方程带入二次曲线的方程(1),有
(5)
(6)
根据对称轴的定义,有
(7)
即
(8)
整理得
(9)
下面的结论给出了中心二次曲线的对称轴的存在性。
证明 对于中心二次曲线,由(8)知,二次曲线的中心必在所有的对称轴上,而中心二次曲线有唯一中心,故对称轴的个数等价于对称轴方向的个数。
Δ=(a11-a22)2+4a12>0
从而,二次曲线有两个对称轴方向
易见这两个方向相互正交。
这时,二次曲线或为圆,或为虚圆,或为圆点。
对于非中心二次曲线,有如下结论。
定理3 对于非中心二次曲线(1)(I2=0),(I)若a12≠0,则二次曲线有唯一一条对称轴
(a11a13+a12a23)=0
3 利用对称性化简二次曲线
若二次曲线(1)为中心二次曲线,由方程(9)得两条对称轴的方向
进而由方程(8)得到两条对称轴的方程为
显见这两条直线相互正交,交点为二次曲线的中心。以这两条对称轴作为新的坐标轴,建立坐标变换,代入原二次曲线的方程(1)即可化简该二次曲线。
例1 化简二次曲线8x2+4xy+5y2+8x-16y-16=0。
解a11=8,a12=2,a13=4
a12=2,a22=5,a23=-8
易见,该二次曲线为中心二次曲线,对称轴方向
进而两条对称轴为
l1:x-2y+5=0
l2:2x+y=0
以l1做新坐标系的y′-轴,l2做新坐标系的x′-轴,得到坐标变换公式
(10)
进而
将其代入二次曲线的方程,整理得
图1 注:1.在选择新的坐标轴的时候,为确保定向不变,要求(10)中 等号右侧的系数行列式的值大于零;2.要根据直线与原坐标轴 的交点坐标判断坐标轴的正向;3.为保证新坐标轴与原坐标轴 长度单位不变,须在变换公式(10)左边乘以方向向量的模长.
若二次曲线(1)为无心二次曲线,即满足
将以上对称轴方程的参数方程代入二次曲线的方程(1),容易发现二次曲线与该对称轴只有一个交点,称为二次曲线的顶点,其坐标为
(x0,y0)=
(11)
其中
(12)
对于无心二次曲线,以对称轴(11)和直线(12)为坐标轴建立新坐标系,可以对二次曲线进行有效化简。
例2 化简二次曲线x2+2xy+y2+2x+y=0。
易见该二次曲线为无心二次曲线,直接计算得到对称轴的方程为
以l1为x′-轴,l2为y′-轴,得到坐标变换公式
解出x与y得
将其代入二次曲线方程整理得到
图2
若二次曲线(1)为线心二次曲线,即满足
由定理3,线心二次曲线有唯一一条对称轴
a12x+a22y+a23=0
即中心直线。
在中心直线上任取一点作为新的坐标原点,以过该点与中心直线垂直的直线和中心直线为新的坐标轴,建立坐标变换,可以快速化简二次曲线。
例3 化简二次曲线x2-2xy+y2+2x-2y-3=0。
易见,该二次曲线是线心二次曲线,其唯一的对称轴
l1:x-y+1=0
为建立新坐标轴,再另外任取一条与l1垂直的直线
l2:x+y=0
以l1为y′-轴,l2为x′-轴,得到坐标变换公式
解出x与y得
图3
4 二次曲线的曲率
对二次曲线(1),记
Fx(x,y)=2(a11x+a12y+a13)
Fy(x,y)=2(a12x+a22y+a23)
并记矩阵A的行列式为I。化简后的二次曲线方程表达式为
F(x,y)=a11x2+a22y2+a33=0
(13)
定理4 二次曲线(1)上正则点P(x,y)处曲率
对化简后的二次曲线方程(13),曲率
其中,F(x,y)=0.
证明 设F(x,y)=0在正则点P(x,y)处有显式表达y=f(x),求导得
设曲线在点P(x,y)处有向量式参数方程
则曲线的曲率可以表达为
直接计算得
从而
直接计算得
进而
对于线心二次曲线,行列式I=0,从而有如下结论。
推论1 线心二次曲线的曲率为零,即线心二次曲线只能由直线构成。