紧扣解析几何本质 适应新高考新变化

作者简介：胡凯林，1983年生，江西上饶人，研究生，硕士，高级教师，主要研究方向为中学数学教育教学。

摘 要：解析几何是高中数学重要的教学内容之一，在高考中占据较大分值，是考生必争之地。近四年多省联考和高考新课标Ⅰ卷、Ⅱ卷中解析几何试题有较多创新变化之处，尤其是2024年九省联考试题、分值和命题方向都有较大调整。课题组对近四年多省联考与高考解析几何试题进行分析，提出落实立德树人根本任务、以系统复习为抓手建立知识体系、探寻试题课本根源拓展综合能力，加强教学研究紧跟联考导向等复习建议。

关键词：解析几何；多省联考；试题分析；新高考

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：0450-9889（2024）08-0063-05

为适应新高考的变化，引导教学，教育部考试中心广泛调研，分别于2021年1月组织了八省联考、2023年1月组织了四省联考和2024年1月组织了九省联考。广西是2021年进入新课程新高考改革的省份，2024年第一届新高考即将落地，因此广西招生考试院把2024年1月的九省联考举办成高考适应性演练，要求“全真、全员、全要素、全流程”实战演练，确保新高考改革平稳落地，帮助考生提前适应并熟悉新高考的程序和环节，帮助各级招生考试机构、考点和学校检验新高考各项工作流程。

近四年的多省联考由教育部组织命制语文、数学、外语三科试题，其他科目试题则由各省市组织命题。各学科联考试题以新课程理念为指导思想，重点考查学科核心素养，检验各省市教育教学的效果，目的在于指导教育教学的改革方向，也将为命制高考试题提供数据支撑。特别是2024年1月九省联考数学学科的试题结构有较大调整，引发广大师生的强烈关注，对2024年高考试题结构是否也会有相应调整的讨论不绝于耳。基于此，本研究以近四年三次联考及相应年份新课标卷数学学科（含Ⅰ卷和Ⅱ卷）解析几何试题为分析对象，对联考后的高考备考提出建议。

一、试题整体分析

解析几何是高中数学重要的知识内容之一，笔者通过对近四年三套多省联考与相应年份高考新课标Ⅰ卷、Ⅱ卷试题中以解析几何为主要考查对象的试题进行梳理和统计（统计结果如下页表1所示），得出以下基本结论。

（一）落实人才选拔，突出核心素养

纵观近四年联考试题与高考全国卷题解析几何部分，全面落实了《中国高考评价体系》对“一核四层四翼”基本要求［1］。“一核”即试题的核心功能，是为什么考，即“立德树人、服务选材、引导教学”，解析几何难度合理，涵盖易、中、难不同类型题目，具有选拔区分人才的价值。“四层”即命题范围，是考什么，即“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”，解析几何对数学思维的要求较高，能充分体现学科素养与关键能力，尤其体现数学直观、数学运算、数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养，是数学的重点知识，需要重点考查。“四翼”即命题方式，是怎么考，即“基本性、综合性、应用性、创新性”，对解析几何的考查往往会涉及平面几何、向量、解三角形等内容，综合性与应用性较强，在试题情境、设问方式上较为新颖和有创新性。

（二）覆盖完整内容，结构趋于稳定

近四年三次多省联考与相应年份四套高考全国卷试题中，除2023年四省联考略少外，其他年份解析几何基本稳定在4个题目，即3小1大共27分，占全卷分值比例18.00%，分值占比较高，是重点考查内容。即使是在2024年九省联考试题结构有较大变化的情况下，分值依旧是27分，占比不变。试题类型覆盖完整，有选择题、填空题、解答题等多种题型，一般是选择题2个，填空题和解答题各1个。两个选择题不同年份会灵活处理，或是两个单选题，或是一个单选题一个多选题，往往一题较易，考查基础性内容，一题适中，考查关键能力和学科核心素养，兼具选拔区分功能。曲线模型和情境覆盖完整，每套试题全面考查直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等五种曲线，是重点考查内容。试题难度覆盖全面，易中难兼具，往往解答题较难，思维量和计算量较大，是全卷的压轴题。

（三）关注基本概念，注重必备知识

根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课程标准》），在平面解析几何教学中，应关注基本概念的形成，知识的来源及产生过程需要“通过实例了解几何图形的背景”［2］，深刻理解概念和内涵。熟悉解析几何基本概念与必备知识的联系，能“结合情境清晰地描述图形的几何特征与问题”，并能建立坐标系，运用解析的方法分析平面曲线问题并解决问题。综合表1所示，近四年多省联考与高考全国卷试题中主要围绕基本概念与必备知识进行考查，具体体现在以下八个方面：①直线与圆相切、相交、相离等位置关系；②椭圆、双曲线、抛物线的定义及方程；③椭圆和双曲线焦点三角形为背景的问题，④椭圆和双曲线的离心率等几何性质；⑤抛物线的准线等几何性质；⑥直线过定点；⑦点在定直线；⑧距离、弦长或面积最值。

（四）贯穿思想方法，强调关键能力

在全面考查必备知识和基本概念的同时，还加强了对思想方法的考查。解析几何涉及的思想方法较多，尤其强调数形结合思想、函数与方程思想。数形结合就是几何问题代数化，代数问题中找几何模型，通过数与形的结合，简化解题过程，促进思维发展。解析几何本质上是平面几何问题，通过建立坐标系，平面上的点与方程的解对应，利用解析的方法解决平面几何的问题。坐标系就是数形结合的纽带，解析几何可以说是数形结合的典范。几何问题代数化后，就转化成了函数与方程的求解问题，因此解析几何从始至终贯穿数学思想方法。

关键能力是学生在面對新问题新情境时提出问题、分析问题和解决问题的能力，是学科素养的外在体现。根据《课程标准》核心素养的要求，高中数学重点考查的关键能力有逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力。分析以上试题，对逻辑思维能力有较高要求的试题有2021年八省联考第7题、第14题、第21题，2021年新课标Ⅰ卷第11题、第21题，2021年新课标Ⅱ卷第11题、第20题，2023年四省联考第14题、第21题，2023年新课标Ⅰ卷第6题、第16题、第22题，2023年新课标Ⅱ卷第10题、第15题、第21题，2024年九省联考第8题、第18题；对运算求解能力有较高要求的试题有2021年八省联考第7题、第21题，2021年新课标Ⅰ卷第11题、第21题，2021年新课标Ⅱ卷第11题、第20题，2023年四省联考第21题，2023年新课标Ⅰ卷第16题、第22题，2023年新课标Ⅱ卷第15题、第21题，2024年九省联考第8题、第18题；对创新能力有较高要求的试题有2021年八省联考第7题、第14题、第21题，2021年新课标Ⅰ卷第21题，2021年新课标Ⅱ卷第20题，2023年四省联考第21题，2023年新课标Ⅰ卷第16题、第22题，2023年新课标Ⅱ卷第15题、第21题，2024年九省联考第8题、第18题。

二、命题导向与试题分析

（一）开放、双空、不良结构等创新试题

为选拔出真正的创新型人才，高考试题也进行了创新，重点考查学生的能力素养和创新能力。高考试题的创新首先体现在呈现方式上。从2019年开始，不良结构、双空、开放性问题、多选题等多种新颖的试题形式让大家眼前一亮，但也让不少考生措手不及。命制这类试题是为了反刷题和反套路，引导教师和学生备考时减少无效机械记忆，关注概念的本质和知识形成的过程，提升关键能力和数学学科核心素养。

例1 （2021年八省联考第14题）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为    ，    .

例2 （2023年新课标Ⅱ卷第15题）已知直线[l：x-my+1=0]与[⊙C：（x-1） 2+y2=4]交于A，B两点，写出满足“[△ABC]面积为[85]”的m的一个值  ．

评析：例1有多处创新。首先，试题呈现形式新颖，采用了双空模式。其次，没有明确给出坐标系，没有给出图形，对考生的能力要求很高，考生需要做到心中有图，心中有数。最后，解法新颖创新，可以采用直线的方向向量求解，也可以采用直线的夹角公式求解，还可以联立对角线所在直线方程与正方形外接圆的方程，求出正方形四个顶点的坐标。夹角公式虽然不在《课程标准》中，但关注基本知识和基本概念的学生很容易利用正切两角和差公式推导得到。

例2是答案不唯一的开放题，并且解题方法灵活创新，有多种求解方法。方法一，以三角形ABC的面积是定值，可以以AB为底，分别求出AB的弦长和点C到直线AB的距离，进一步得到和面积有关的方程，求出m的值。方法二，用两边夹一角的三角形面积公式，利用面积求出圆心角，再得到点C到直线AB的距离，进一步得到m的值。方法三，通过观察发现，直线过定点（-1，0），并且定点在圆上，设为A，以AC为底，结合三角形面积为定值，很容易求出点B的纵坐标，进而得到直线的斜率。

（二）从基本概念基本图形中提升综合能力

《课程标准》明确指出，在平面解析几何学习中，应“借助几何图形的特点，形成解决问题的思路”［2］。椭圆与双曲线的焦点是最基本的元素，在椭圆和双曲线上取一点与两焦点形成的三角形可以称为焦点三角形，焦点三角形是椭圆和双曲线中最基本最重要的图形，紧密结合了椭圆和双曲的定义，揭示了概念的本质，是日常学习中重点研究对象。教师和学生需要对焦点三角形一类问题归类总结，提升综合能力。

例3 （2024九省联考第8题）设双曲线[C：][x2a2]-[y2b2=1]（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，[F1B=F1A]，[F2A?F2B=4a2]，则C的离心率为（  ）

A.[2]   B.2   C.[5]   D.[7]

例4 （2021年新课标Ⅰ卷第5题）已知[F1]，[F2]是椭圆[C：][x29]+[y24=1]的两个焦点，点M在C上，则[MF1 · MF2]的最大值为（  ）

A.13     B.12    C.9    D.6

例5 （2021年八省联考第4题）椭圆[x2m2+1]+[y2m2=1]（m＞0）的焦点为[F1]，[F2]，若[∠F1AF2=π3]，则m=（  ）

A.1    B.[2] C.[3]   D.2

评析：例3至例5这三个试题类型相似，以椭圆或双曲线的焦点三角形为背景载体，考查椭圆或双曲线的基本概念和性质以及逻辑思维能力、运算求解能力和数形结合思想，强调对知识的综合理解和灵活应用。焦点三角形与曲线的定义、正余弦定理、向量等平面几何知识紧密联系，可以延伸考查角的变化、面积的变化、离心率等问题。

除了焦点三角形是基本图形，焦点弦、焦点弦三角形、中点弦、顶点三角形等常见图形也需要归纳整理通性通法，减少盲目刷题。

（三）“多想少算”考查理性思维和核心素养

例6 （2024年九省联考第18题）已知抛物线[C ： y2=4x]的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．

（1）证明：直线MN过定点；

（2）设G为直线AE与直线BD的交点，求[△GMN]面积的最小值．

例7 （2023年新课标Ⅰ卷第22题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点[0，12]的距离，记动点P的轨迹为W．

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三個顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于[33]．

评析：例6和例7都是以抛物线为情境模型，考查抛物线与直线的位置关系、直线过定点、三角形的面积、弦长问题等。试题灵活性、综合性强，突出创新思维，直接求解计算量大，在有限的时间难以得到正确结果，能够有效地选拔出创新人才。

例6共17分，分值高，不同于其他年份解析几何解答题。2024年九省联考整套试题结构调整力度大，减少了题量，增加了思考时间，让学生的能力得到充分展现。第（1）小问思路较常规，但计算量不小，难度相当于历年高考试题的第（2）小问。学生设直线AB的方程，利用韦达定理得到中点M的坐标，同理得到N的坐标，再得到MN的直线方程，进一步得到直线过定点（3，0）。学生也可以根据对称性确定定点在x轴上，从而减少计算量。“多想少算”的理念在第（2）小问中体现得淋漓尽致，如果不加思索直接求解点G的坐标，再得到三角形GMN的面积，计算量非常大。但考生如果能在紧张的考试中缓一缓、想一想，跳出思维框架，利用平面几何的知识，将三角形GMN的面积转化为四边形ADMN的面积，问题迎刃而解。

例7第（1）小问得到的方程不是标准抛物线，在解决第（2）小问时，直接求两相邻弦长，计算量也较大，若考生能等一等、想一想，将抛物线平移，转化为基本图形，则会简单很多。

“多想少算”是考查拔尖创新能力的重要理念，教师要指导学生学会适当联想类比、数形结合，跳出思维定式，从而求解问题。

三、复习备考建议

（一）落实立德树人根本任务

《中国高考评价体系说明》明确提出立德树人是高考的根本任务［3］，高考评价要坚持价值引领，强化育人功能和积极导向作用。立德树人根本任务需要教师在课程和活动中落地，主阵地还是课堂。数学教师要强化德育意识，全面育人，“德智体美劳”五育并举，不唯智，不唯分。数学教人追求真理，不畏困难，勇于探索，敢于质疑。数学中有大量中华优秀传统文化，可以增强学生爱国热情和民族自信；数学中包含大量美的东西，如图形对称美、公式简洁美、表述简约美、思维灵巧美；数学知识中有很多哲学道理，如对立统一、有限包含无限等。因此，教师在日常教学中要注意言谈举止，注重言传身教，坚持人才培养和人才选拔的国家战略。

（二）以系统复习为抓手建立知识体系

解析几何的学习过程就是在坐标系下重新学习认识直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线，并利用函数与方程研究几何性质，总体来说就是研究轨迹方程及其性质的过程。在高三备考复习教学中，教师要重视系统复习，要求学生归纳类比，完成知识迁移，完善知识网络体系。例如，“一个动点到一个定点的距离为定值”，迁移至“一个动点到两个定点的距离之和为定值”，再延伸至“一个动点到两个定点的距离之差为定值”的轨迹。垂径定理是圆的重要性质，教师要引导学生对比联想椭圆和双曲线是否具有类似的性质。通过系统类比，学生既能整体认识各种曲线的关系，建立知识体系，又能获得通性通法，减少机械刷题，关注本质，淡化技巧。

（三）探寻试题课本根源拓展综合能力

教师在复习备考中，常常将课本置于一边而不顾，实际上教材例题、习题、课后阅读材料也是复习的重要资料。

例8（2023年新课标Ⅱ卷第10题）设O为坐标原点，直线y=[-3（x-1）]过抛物线[C：y2=2px]（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．

A.p=2       B.[MN=83 ]

C.以MN为直径的圆与l相切

D.[△OMN]为等腰三角形

A选项直接考查课本中关于抛物线的定义，B选项由人教A版选择性必修二第135页例4改编，C选项由人教A版选择性必修二第136页例5改编。

对课本典型问题进行改编的方法有：研究的对象特殊化或一般化；改编为否命题或逆命题；将研究对象从平面类比到空间；变换思考的角度或方法，改变表述方式等。通过改编能深化学生对数学本质的理解，提升学生的综合能力，因此教师在命制試题或设置作业时也可以适当地改编教材中的题目。

（四）加强教学研究紧跟联考导向

多省联考是高考的导向、摸底和预测，对教师更新教学观念具有重要的作用。2021年八省联考与2021年新课标Ⅰ卷多题结构一致，甚至考查的知识点也相同，单选题都是考查焦点三角形，解答题都以双曲线为背景考查解析几何。历年高考解析几何解答题多以椭圆或抛物线为背景，即使2021年八省联考考查双曲线，较多教师仍认为应以椭圆和抛物线为高考备考方向。

2024年九省联考又一次释放出改革创新的重大信号，是高考内容改革的风向标，发挥着育人功能和正向积极的导向作用。试卷践行《中国高考评价体系》提出的命题理念，严格依照《课程标准》提出的处理好考试时间和题量的关系，给学生充足的思考时间，适度增加试题的思维量等命题原则和要求，助推高考内容和高中育人方式改革。试卷充分发挥了检测和导向的作用，有效引导高中数学教学，助力拔尖创新人才选拔。

参考文献

［1］教育部考试中心.中国高考评价体系［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2022年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］教育部考试中心.中国高考评价体系说明［M］.北京：人民教育出版社，2019.

注：本文系南宁市教育科学“强基计划拔尖人才培养”专项课题“基于合作学习理念的文科拔尖创新人才培养路径研究”（2021QJ009）的研究成果。

（责编 林 剑）