笛莎格定理

顾森

吉拉德·笛沙格是17世纪法国著名的工程师和数学家，在工程方面，他设计了巴黎和里昂的多幢建筑，还为塞纳河制作了一套抽水系统，在数学方面，他发现了很多漂亮的几何规律，奠定了射影几何这一数学分支的基础．下面这个神奇的规律就是笛沙格发现的．

过点O作三条直线．在第一条直线上任选两个点，记作A，A；在第二条直线上任选两个点，记作B，B'；在第三条直线上任选两个点，记作C，C'．我们得到了△ABC和△A'B'C'.作直线BC和B'C'，两者交点记为X;作直线AC和A'C'，两者交点记为Y;作直线AB和A'B'，两者交点记为Z那么，X，Y，Z三点一定在一条直线上．

这个规律真的对吗？你可以用直尺和铅笔，在草稿纸上作图试试．不过，画完图之后，你或许会有疑问：纸上画出的X，Y，Z三点看起来好像是在一条直线上，但这是精准的吗？学过了一次函数之后，我们有一个更好的方法来验证这个规律，在平面直角坐标系里，几何元素的各种属性都能用数字确切地刻画出来，点X，Y，Z的位置也能毫无误差地计算出来．这样，我们就能精准地验证这个规律了．

如图1，不妨假设点O是坐标原点（0，0），過点O的三条直线依次是x轴，y轴和直线y=2x.假设点A和A'的坐标分别为（0，2），（0，3），点B和B'的坐标分别为（1，0），（4，0），点C和C'的坐标分别为（1，2），（2，4）.为了求出这些点确定的直线，我们可以使用待定系数法．直线BC就是一条过点（1，0）且平行于y轴的直线，直线B'C'的解析式是y=-2x+8.代入x=1，得到y=6．因此，点X的坐标就是（1，6）.直线AC就是一条过点（0，2）的水平线，直线A'C'的解析式是y=1/2x+3．代入y=2，得到x=-2．因此。点Y的坐标就是（-2，2）．再次利用待定系数法，可以得到直线Xy的解析式为y=4/3x+14/3．

最后，我们来求一下点Z的坐标．直线AB的解析式为y=-2x+2，直线A'B'的解析式为y=-3/4x+3．这样，我们就得到了一个二元一次方程组．解这个方程组，得到x=-4/5，y=18/5.点z的坐标就是（-4/5，18/5）．这个点是否在直线XY上呢？让我们把点Z的横坐标-4/5代入直线XY的解析式，得4/3×（-4/5）+14/3=-16/15+14/3=18/2，正好等于点Z的纵坐标．这说明，X，Y，Z三点确实在一条直线上．

我们这里只是对其中一种情况进行了验证．不过，即使三条直线的解析式变了，以及点A，A'，B，B'，C，C'的坐标变了，利用同样的方法，我们仍然可以检验规律的正确性，事实上，我们可以直接把三条直线设为y=k1x，y=k2x，y=k3x，把点A，A'，B，B'，C，C'的坐标设为（x1，k1x1），（x'1，k1x'1），（x2，k2x2），（x'2，k2x'2），（x3，k3x3），（x'3，k3x'3）．带着这些字母进行计算，把点X，Y，Z的坐标都表示出来，就可以验证在任何情况下点Z都会落在直线XY上．这样就证明了笛沙格发现的规律始终成立．当然，这种证明方法的代数运算量会非常庞大．但这并不是不能完成，利用计算机等工具，这个计算任务就会变得非常轻松．

正方形拉伸后会变成长方形，四边不再一样长了．正方形在透视作用下还会变成平行四边形，连内角都变了，但笛沙格发现的几何规律很有意思：条件和结论都只涉及点和直线的位置关系，完全不涉及角度关系、长度关系、面积关系．因此，将图形随意拉伸变形，甚至是改成各种透视图，条件和结论都不会发生变化——该在某条直线上的点，肯定还会在这条直线上：该过某个点的直线，肯定仍然会过这个点，这种类型的几何规律就是射影几何的研究对象．

笛沙格的发现在射影几何中非常重要，后人把它叫作“笛沙格定理”．

2023年12月号“数学潜能知识竞赛”

参考答案

1.B 2.C 3.-3／4 4.1 5.1／8 6．（1）不能．（2）10060元．

2023年12月号“数学潜能知识竞赛”获奖名单

（括号内为辅导老师）

金子耀 张珊尼（郭卫锋） 于金朋（刘晓玲） 焦梓峻（刘莎） 杨忠桦（陈星）

朱家慕 于浩轩（陈星） 韩赓（马婷） 孙人则（柴国江） 程俊杰（魏月娥）

王秉法 闫涵（魏月娥）