平均几点钟怎么求

顾森

晚高峰指的是，傍晚时分城市道路的交通量突然增大的现象，了解一座城市的晚高峰时间，对个人的出行安排以及整座城市的交通规划都有很大的帮助，例如，某城市最近5天晚上拥堵指数最高的时候分別发生在17：00，18：00，17：00，16：30，19：00.平均算下来，晚高峰的时间是几点呢？你或许会说，这还不简单？算一算17，18，17，16.5，19的平均数不就行了吗？（17+18+17+16.5+19）÷5=17.5，因此晚高峰的平均时间就是17：30.乍一看，这个逻辑似乎没有问题，可仔细一想，好像有点儿不对——照这样算，23：00和半夜3：00的“平均数”就应该是（23+3）÷2=13，也就是13：00.但是，夜里的两个时间点平均下来怎么变到下午去了？实际上，这两个时间点的正中间应该是半夜1：00，拿它当这两个时间点平均后的结果要合理一些，再看一个更加复杂的例子吧，假设有6：00，14：00，22：00这三个时间点，它们的“平均数”似乎是（6+14+22）÷3=14，也就是14：00.但这三个时间点均匀地分布在一天当中，两两之间都间隔8个小时，并没有呈现出什么“集中趋势”．

你是不是有些迷茫？其实，这一切都是因为，“几点钟”这样的数量和“有多长”“有多重”“有几个”这种类型的数量不一样，它是不断循环的．它们并不是分布在数轴上的，而是分布在一个圆圈上，你既可以说23点比3点晚20个小时，也可以说3点比23点晚4个小时．它们之间并没有大小之分．在这种情况下，我们就得重新思考平均数的定义了，同样地，盘点某景点的旺季平均在几月份，统计某山区一段时间内的平均风向，都会遇到类似的问题．

这类问题的平均数究竟该怎样定义呢？数学家们想到了一个好办法．假设我们想要求出20：00，18：00，3：00，2：00的平均值．我们要依次完成下面的步骤（如图1）．

（1）在平面直角坐标系上，以原点O为圆心，作一个半径为1的圆．

（2）找出圆上的24个等距点，把最上面的那个点记作0．接下来的点按顺时针方向依次记作l，2，3，…，23.它们分别表示0：00，1：00，2：00，…，23：00．

（4）求出所有横坐标的平均数，以及所有纵坐标的平均数．所有横坐标的平均数为[-0.866+（-1）+0.707+0.5]÷4≈-0.165，所有纵坐标的平均数为（0.5+0+0.707+0.866）-4≈0.518.

（5）把上一步得到的两个数当作一个新的点的横、纵坐标．在平面直角坐标系上标出这个点．在我们的例子中，这个点是（-0.165，0.518）.我们将其记作点P．

（6）连接OP并延长，与圆交于点Q．点Q在圆上的位置就表示这些时刻的平均数．在我们的例子中，Q点位于22和23之间，到22的距离和到23的距离大致是5：1的关系．所以，20：00，18：00，3：00，2：00的平均数大约就是22：50．

想一想，利用这样的方法来计算23：00和3：00的平均值，是否真的就是1：00？你也可以用这个方法来计算6：00，14：00，22：00的平均数．你会发现，点JP的坐标是（0，0），跟点O是重合的，因此我们无法连接OP并延长．这种情况下，我们就说它们的平均数无意义．这与我们之前的直觉是相符的．

这样，我们看到了如何将统计学中一个最简单的概念移植到循环类数量中．统计学中还有许多其他概念，例如中位数、方差，以及高中大家将会学到的正态分布、相关系数，等等．它们是否也能运用到循环类数量当中呢？如果能的话，怎样重新下一个定义最合适呢？针对这些问题，数学家们开创了一个统计学的分支，叫作“定向统计学”．感兴趣的同学不妨在图书馆或互联网上查阅相关的资料，作进一步的研究．

2024年1-2月号“数学潜能知识竞赛”参考答案

1.C 2.C 3.B 4.3 5.-14 6.970

2024年1-2月号“数学潜能知识竞赛”获奖名单

（括号内为辅导老师）

王麒霖 陈宇童（唐晓燕） 王峻熙 常逸璇 袁子和 黄懋洋 李或博

辛梦琪 吴恺琳（梅莹） 翟天泽 郑峻泽 韩依姗（高洁）