运用实系数二次方程求复数范围问题

朱卫红

复数范围内的实系数一元二次方程问题，原来一直是课外补充与阅读知识，新教材（2019人教A版）中直接作为课本例题加以剖析与展示，并在例题的基础上，给出了复数范围内的实系数一元二次方程的求根公式，明确加强这部分知识内容的基本要求与综合应用，也为相应命题提供依据．

1．问题呈现

问题（2023年南京大学强基计划数学试卷·6）已知实系数二次方程ax2+bx+c=0的两根为α和β，且满足α是虚数，α2β是实数，则αβ=．

2．问题剖析

此题以实系数二次方程为应用场景，利用实系数一元二次方程的虚根成对（两虚根互为共轭复数）的基本结论，结合对应条件加以数学运算与逻辑推理，进而确定两虚根的比值问题．该问題是基于新教材中实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式，并在此基础上合理把握相应的基本性质：

（1）当△<0时，实系数一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）；

（2）根与系数的关系（韦达定理）：x1+x2=－ba，x1x2=ca．

而在实际解决问题中，可以从复数的基本性质视角切入，利用共轭复数的性质加以推理与分析；也可以从复数的待定系数法视角切入，利用复数的代数形式或三角形式引入参数，利用待定系数法来分析与运算等．这也是解决此类复数问题中比较常用的两种基本技巧与方法．

3．问题破解

解法1：（性质法）依题知实系数一元二次方程的虚根成对，而α是虚数，则β也是虚数，且满足α≠β，=β，=α，结合共轭复数的性质，可得α2β是实数α2β=（α2β），则有α2β=α2β，即α2β=β2α，亦即α2β2=1，所以（αβ－1）［（αβ）2+αβ+1］=0，由α≠β，可得（αβ）2+αβ+1=0，利用求根公式，解得αβ=－12±32i，故填－12±32i．

评注：根据实系数一元二次方程的虚根成对的基本性质确定两虚根之间的关系，为进一步的性质应用与关系式恒等变形提供理论论据，而共轭复数的基本性质也是逻辑推理与数学运算的关键所在．而对于方程x3=1的根的求解，要注意因式分解以及求根公式的应用．看似简单的一道二次方程问题，融合进比较多的基本知识点与思想方法．

解法2：（待定系数法1）依题α是虚数，可设α=m+ni，其中m，n∈R，且n≠0，

而实系数一元二次方程的虚根成对的基本性质，可知β=m－ni，

而α2β=（m+ni）2m-ni=m2-n2+2mnim-ni=m3-3mn2m2+n2+3m2n-n3m2+n2i是实数，可得3m2n-n2m2+n2=0，则有3m2－n2=0，解得nm=±3，所以αβ=m+nim-ni=m2-n2m2+n2+2mnm2+n2i=1-（nm）21+（nm）2+2（nm）1+（nm）2i=1－（±3）21+（±3）2+2（±3）1+（±3）2i=-12±32i，故填－12±±32i．

评注：根据条件利用待定系数法之代数形式直接设出对应的复数，把虚数问题转化为实数问题，是解决复数计算问题时最常用的一种基本方法之一．待定系数法处理复数及其综合问题，思路简捷直接，往往离不开比较繁杂的数学运算与逻辑推理，特别是复数的四则运算等，具体解题过程中要细致认真．

解法3：（待定系数法2）依题α是虚数，可设α=r（cosθ+isinθ），其中r>0，θ∈（0，2π），且θ≠π，而实系数一元二次方程的虚根成对的基本性质，

可知β==r（cosθ－isinθ）=r［cos（－θ）+isin（－θ）］，而α2β=r2（cos2θ+isin2θ）r［cos（-θ）+isi（-θ）］=r（cos3θ+isin3θ）是实数，可得sin3θ=0，则有3θ=kπ，k∈Z，而θ∈（0，2π），且θ≠π，可得3θ∈（0，6π），且3θ≠3π，则有3θ=π，2π，4π，5π，当3θ=π，4π时，可得θ=π3，4π3，此时αβ=r（cosθ+isinθ）r［cos（-θ）+isin（-θ）］=cos2θ+isin2θ=－12+32i；当3θ=2π，5π时，可得θ=2π3，5π3，此时αβ=r（cosθ+isinθ）r［cos（-θ）+isi（-θ）］=cos2θ+isin2θ=－12－32i.综上可得αβ=－12±32i，故填－12±32i．

评注：根据题中相关虚数的次幂运算，也可以利用待定系数法之三角形式直接设出对应的复数，利用复数三角形式的运算来处理对应虚数的乘积、次幂与除法等，更加简单快捷，必要时要对复数中辐角的取值情况进行分类讨论．复数的三角形式是现行教材中的选学内容，作为学有余力以及参加竞赛学生的学习内容之一，也是解决问题的一种常见的技巧方法．

4．变式拓展

结合原问题及其对应的解析过程，从中寻觅变式拓展的视角．

变式1已知实系数二次方程ax2+bx+c=0的两根为α和β，且满足α是虚数，α2β是实数，则α2β2=．

解析：根据方法1中的解析过程，可得α2β2=1，故填1．

当然该变式问题也可以通过原问题中的其他方法来分析与求解，这里不多加以展开，供有兴趣的爱好者自行推理与应用．

变式2在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容是：任何一元n次复系数多项式f（x）在复数集中有n个复数根（重根按重数计）．那么f（x）=x3－1在复平面内使f（x）=0除了1和－12+32i这两个根外，还有一个复数根为（）.

A．12－32iB．－12－32i

C．12+32iD．－12－32i

解析：由于－12+32i是方程f（x）=0的根，则有（－12+32i）3=1，可得（－12+32i）2=1－12+32i=－12－32i，则有（－12－32i）2=（－12+32i）2·（－12－32i）=－12+32i，所以（－12－32i）3=（－12+32i）（－12－32i）=1，即－12－32i也是方程f（x）=0的根，故选B．

该变式问题中，融入复数的方程应用，借助代数基本定理的数学文化情境，以复数的方程为背景，巧妙融入复数的基本运算、方程的根等相关知识，通过合理的逻辑推理、数学运算以及化归转化等来综合分析与处理．