平面向量模问题的求解策略研究

徐志刚

平面向量是高考命题的重要考点，尤其是平面向量模的问题，时常出现在高考题的填空题中.我们知道，向量既有大小又有方向，这里的大小就是指向量的模，也叫向量的长度.计算向量的模或模的最值（取值范围）是一类常考题型.那么这类问题该如何破解，本文从一道高考真题谈起.

真题（2023年新课标Ⅱ卷第13题）已知向量，满足－=3，+=2－，则=．

本题题干中的两个向量满足的条件都是以向量模的形式出现，无论是已知条件还是所求结论都统一到向量的模这个“焦点”上，主题十分明确.可以说，本题是一道语言精炼，考点明确不可多得的好题.那么这道题该如何解呢？

首先，我们都知道向量模的运算往往与两类的数量积有关，于是出现了一下两种思路：

思路1直接利用向量数量积的律运算求解

解法1：[HT]因为+=2－，即+2=2－2，则2+2·+2=42－4·+2，整理得2－2·=0，又因为－=3，即－2=3，则2－2·+2=2=3，故=3.

思路2换元再结合数量积的运算律求解

解法2：设=－，则=3，+=+2，2－=2+，由题意可得+22=2+2，则2+4·+42=42+4·+2，整理得2=2，即==3.

上述两种解法只是表述上的不同，实质是一致的，有时应用了向量的数量积运算的有关公式.其实，在求解向量问题时，还有一种方法不可忽视，那就是坐标法.

思路3引入向量坐标，转化为方程组

解法3：不妨将已知条件特殊化，把向量，的起点都放在原点上，且它们的终点都在x轴上，令=（m，0），=（n，0），则||=|n|.由－=3得|m－n|=3m－n=±3；由+=2－得|m+n|=|2m－n|m=2n或m=0，所以由m－n=3，

m=2n 得n=3；由m－n=－3，

m=2n 得n=－3；由m－n=3，

m=0 得n=－3；m－n=－3，

m=0 得n=3.

综上可知n=±3，故||=|n|=3.

解答高考题，直接法固然是最常用的方法，但对于单选题与填空题来说，特殊化法有时省时又省力，值得尝试.

思路4应用特殊化思想

解法4：当=0时，+=2－恒成立，于是由－=3得=3.

点评：从以上四种解法中不难看出，处理向量模的问题，一般有两种方法，一种是依据向量的数量积与向量的模之间的关系式：||2=·；另一种方法就是将向量坐标化，把原问题转化为解析几何或代数问题求解.

为了更好的研究这类问题，我们不妨将上述高考真题加以变式后再作研究.

变式1已知平面内非零向量，，满足<+，>=π3，||=2，|+|=1，则－=.

分析：由已知条件可求得||=3，2·=－6，将－平方展开代入求值即可得答案.

解析：因为<+，>=π3，||=2，|+|=1，

所以［（+）－］2=|+|2+||2－2|+|·||cosπ3=3，所以||=3，

又因为|+|=1，两边平方得||2+||2+2·=1，解得2·=－6，所以－2=||2+||2－2·=4+3+6=13，所以－=13.

点评：本题中含有“<+，>=π3”的条件，不适宜用坐标法，只需应用向量的数量积运算的定义和相关运算法则.

变式2已知平面向量，，中，||=3，||=1，－·－=0，且－=－，则的最大值为 ．

分析：根据题意可设－=x，y，－=－y，x，再利用||=3，||=1可得x2+y－32=1，写出的表达式利用几何意义即可求得≤6+1.

解析：由（－）·（－）=0且－=－，不妨设－=x，y，－=（－y，x），又因为||=3，||=1，不妨设=3，0，则=（x+3，y），=3－y，x，又=3－y2+x2=1，即x2+y－32=1.所以（x，y）的轨迹是以（0，3）为圆心，半径r=1的圆，而=x+32+y2表示x，y与－3，0之间的距离，显然圆心0，3与－3，0之间的距离为d=6，所以d－r≤≤d+r，即的最大值为6+1.

点评：本题属于模的最值问题，最后的方法是数形结合，揭示向量的几何意义，所以坐标法是首选.

變式3已知平面向量、、满足·=0，=1，－=－=5，则12+12－的取值范围为.

分析：设=1，0，=x1，y1，=x2，y2，作OA=，OB=，OC=，则C1，0，求出线段AB的中点M的轨迹方程为x－122+y2=494，可得出12+12－=CM，设点D12，0，由CM=DM－DC结合向量模的三角不等式可求得12+12－的取值范围.

解析：如图1，设=1，0，=x1，y1，=x2，y2，作OA=，OB=，OC=，则C1，0，则－2=x1－12+y21=25，－2=x2－12+y22=25，·=x1x2+y1y2=0.

令OM=12+=x，y，即x1+x22，y1+y22=x，y， x2+y2=x1+x22+y1+y224=x21+y21+x22+y224=x1－12+y21+x2－12+y22+2x1+x2－24=4x+484=x+12，整理得x－122+y2=494， 故点M的轨迹方程为x－122+y2=494，又12+12－=OM－OC=CM.设点D12，0，圆D的方程为x－122+y2=494，半径r=92，因为CM=DM－DC，且DM=72，DC=12，所以CM=DM－DC≥DM－DC=3，CM=DM－DC≤DM+DC=4.

即3≤CM≤4，即3≤12+12－≤4.

故12+12－的取值范围是3，4.

点评：本题考查向量模的取值范围的求解，对于较为复杂的题型，一般可以考虑将向量特殊化、坐标化来处理，利用解析法结合平面几何的相关知识、向量模的三角不等式来求解.