一道高考立体几何题的多维度剖析

王德玉+王圣敏

本文对2010年高考数学北京卷第16题第（3）问进行了多角度解析，方法比较独特，供大家在教學中参考.

原题如下：

如图1，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=2，CE=EF=1.（1）求证：AF∥平面BDE；（2）求证：CF⊥平面BDE；（3）求二面角A-BE-D的大小.

解法1如图2，在△AOE中，作OM⊥OE，交AE于M.易知平面BDE⊥平面ACE，且平面BDE∩平面ACE=OE，所以，OM⊥平面BED.作ON⊥BE，连接MN，由三垂线定理知MN⊥BE，所以∠ONM为所求.易知DE=BE=3，BD=2，所以ON=613.在△AOM中，tan∠MAO=112，所以sin∠MAO=515，∠MOA=45°，由正弦定理得OM=213，所以tan∠ONM=OM1ON=313，所以∠ONM=30°.

解法2如图3，易知平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO.延长EO，作AM⊥EO，则AM⊥平面BED.易知AB⊥平面BCE，所以，AB⊥BE.连接MB，由三垂线定理知∠MBA为所求.作FN⊥EO，易知FA∥EO，所以AM=FN，又EFOC为正方形，所以FN=212，所以sin∠MBA=AM1AB=21212=112，所以∠MBA=30°.

解法3如图4，作DM⊥BE，交BE于M，作MN∥AB，易知AB⊥BE，则MN⊥BE，则∠DMN为所求，连接DN，由等面积法知112BD·EO=112BE·DM，得DM=2613，又MN∥AB，得EM∶EB=MN∶AB，得MN=213，易知EN∶EA=1∶3，所以NA=2513，则cos∠ADE=1015.在△ADN中，由余弦定理得DN=1413.在△MND中，由余弦定理得cos∠DMN=312，所以∠DMN=30°.

解法4如图5，设点A到平面BDE的距离为h，则VA-BDE=VE-ABD，113S△BDE·h=113S△ABD·EC，得h=212.易知AB⊥平面BCE，得AB⊥BE，则二面角的正弦值为h1AB=112，所以二面角为30°.

解法5如图6，设平面ABE与平面BCE所成的二面角为α，平面BDE与平面BCE所成的二面角为β，因为平面ABE∩平面BCE=BE，平面BDE∩平面BCE=BE，所以α-β为所求.作CM⊥BE，易知CD⊥面BCE，则连接DM，则tanβ=CD1CM=21613=3，β=60°.因为AB⊥平面BCE，所以ABE⊥平面BCE，所以α=90°，则α-β=30°.

图7解法6建立如图7所示空间直角坐标系，A（2，2，0），B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，1）.设平面ABE的法向量为n，易求n=（0，1，2），设平面BDE的法向量为m，易求m=CF=212，212，1，从而cos〈n，m〉=n·m1|n||m|=312，所以二面角为30°.

说明：前3种方法都是利用三垂线定理的方法来找二面角，其中法1和法3是构造直角三角形，法2是求垂线段的长时不关心位置，只关心长度；而法4是等体积法，法6是向量法，这两种方法较常见；法5是利用三个面中两两面成角的关系的方法.