递推:贯穿数列教学的始终

徐兰 黄俊赟

递推是数列的灵魂，是序列计算的一种常用算法，是按照一定的规律来计算序列中的每一项.其思想是把一个复杂的庞大的运算过程转化为简单过程的多次重复.已知一个数列｛an｝第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系用一个公式来表示就是这个数列的递推公式.这是数列的一种表示方法.递推是数列的本质属性，也是它与其他函数的最大区别，本文从递推的视角来纵观数列全章.

1.递推的初步理解——等差、等比数列的通项、求和公式推导

等差、等比数列的通项公式和求和公式是高中数列的基础知识，这两个公式的推导是教师引导学生从递推的视角来研究数列问题的起始阶段.等差数列中，，an+1-an=d，∴an=an-1+d=an-2+2d=…=a1+（n-1）d.通项公式可以通过递推、迭代得到.等比数列中，an+1an=q，∴an=an-1q=an-2q2=a1qn-1课本中用累加法和累乘法来展现这一过程，本质就是递推.所以累加、累乘是相邻递推公式求通项的最常用的方法.教师在课堂中要引导学生自主探索，理解等差、等比数列的递推公式的特点：从第二项开始，描述数列中每一项与前一项的差或商的关系.

在推导等差数列和等比数列求和公式时，教师无需落入俗套，可以顺应学生的知识基础，引导学生从递推的角度来研究.已知等差数列{an}中，首项为a1，公差为d，那么前n项和Sn怎么用a1、d和n来表示呢？∵Sn+1=a1+a2+…+an+1=a1+（a1+d）+（a2+d）+…+（an+d）=Sn+a1+nd.∴Sn+1-Sn=a1+nd.∴S2-S1=a1+d，S3-S2=a1+2d，Sn-Sn-1=a1+（n-1）d，各式相加得Sn-S1=（n-1）a1+（1+2+3+4+…+（n-1））d，∴Sn=na1+（1+2+3+4+…+（n-1））d.求和研究方法此时遇到了难题就是自然数列的求和，却为倒序相加法的出现提供了好的契机.再看等比数列，已知等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，那么前n项和Sn怎么用a1、q（q≠1）和n来表示呢？Sn+1=a1+a2+…+an+1=a1+qSn.递推关系已经建立，那么怎么推出求和公式呢？这个递推关系相对学生比较陌生，教师继续引导学生利用已有的数列知识来解决问题.思路一：Sn+1=Sn+an+1=a1+qSn，∴Sn=a1-an+11-q=a1（1-qn）1-q.课本中的错位相减法学生很难想到，而这样的推导的本质解释了错位相减法从何而来，把这个方程的求解过程详细展示出来就是错位相减法.思路二：从递推关系入手，Sn+1=a1+qSn，如果没有常数a1，那么数列{Sn}是等比数列，那么这个常数该怎么摆放还是一个等比数列呢？学生会做出各种尝试，会想到待定系数法，Sn+1+x=q（Sn+x），解之x=a1q-1，Sn+1+a1q-1=q（Sn+a1q-1）.∴｛Sn+a1q-1｝是以a1qq-1为首项，公比为q的等比数列.∴Sn+a1q-1=a1qq-1qn-1=a1qnq-1，∴Sn=a1（1-qn）1-q.笔者认为关于递推关系an+1=pan+q的通项求解，如果说要在课本中找到这个递推关系的本源那么就应该是出自这里了.经历了这样一个过程，学生对数列的认识不会停留在通项公式上，而是数列的递推公式，对递推公式的理解也深刻很多，为后面的复杂递推公式求解通项埋下伏笔.

2.递推的深度应用——累加法、累乘法的另辟蹊径

数列的递推关系满足an+1-an=f（n）或者an+1an=f（n）时，分别用累加法和累乘法计算数列的通项公式，但是计算过程比较繁琐，还要检验首项，学生容易出错.如果对f（n）进行拆分成n+1與n的数学关系，那么我们可以用整体的思想构造出几个最基本的递推关系：常数列的递推关系、等差数列的递推关系、等比数列的递推关系，从而优化求解.如已知数列{an}中，an+1-an=2n，a1=1，求an·an+1-an=2n+1-2n，∴an+1-2n+1=an-2n=a1-2=-1，∴an=2n-1.把2n拆分成2n+1-2n实现了从n+1递推到n，再分别与an+1和an结合，分别把an+1-2n+1和an-2n看成一个整体bn+1和bn，构造出了最基本的常数列递推关系bn+1=bn=b1.推广到一般化an+1-an=stn，a1=1，（其中s，t为常数）.拆分时用上待定系数法，an+1-an=k（tn+1-tn），则k（t-1）=s，求出k=st-1.∴an+1=-k·tn+1=an-k·tn=a1-kt.从而求出an.再如an+1an=3（n+2）n+1，a1=1，观察递推关系式，发现等式的左边an从n递推到n+1，等式的右边从n+1递推到n+2，递推的数量是一致的，所以构造an+1n+2=3ann+1，令ann+1=bn，∴bn+1=3bn，b1=12，构造出了基本的等比递推关系，再求解通项.如果遇到an+1an=n+2n呢？我们又该如何处理？我们发现左边an中的下标从n递推到n+2;右边从n递推到n+2，两边的递推数量不一致，直接通过结构变化构造递推关系不能成功，有没有办法能够通过增加项来实现递推数量的统一呢？在等式的右边分子分母同乘n+1得到an+1an=（n+2）（n+1）（n+1）n，把n（n+1）看成一个整体，等式的右边就实现了从n到n+1的递推，再进行结构的变化得到an+1（n+2）（n+1）=an（n+1）n.得到了常数列an（n+1）n=a12，求出通项公式an.

3.递推的深刻理解——一般数列求和方法的豁然

一般数列的求和方法中，最重要的就是裂项求和法和错位相减法，裂项求和的本质就把通项公式裂成有递推关系的两项之差，从而达到消掉相同项.比如an=1n（n+1）=1n-1n+1.

理解了以上，我们不妨思考适合错位相减法的通项公式是等差数列乘以等比数列构成的，从理论上也可以实现裂项形式.如an=（n+1）2n，观察这个式子，根据之前递推公式构造的思路，我们要把（n+1）2n裂成两项之差，可以用待定系数法：［A（n+1）2+B（n+1）+C］·2n+1-［An2+Bn+C］·2n=2n［An2+（4A+B）n+2A+2B+C］=（n+1）2n.∴Sn=（1·22-0）+（2·23-22）+（3·24-2·23）+（4·25-3·24）+…+n·2n+1-（n-1）·2n=n·2n+1.显然可见，比错位相减法的运算量要小很多.所以递推，贯穿于数列学习的始终.

4.递推的综合应用——高考命题的热点

建立数列的递推关系是数列的应用和其他数学知识结合的重要方法，也成为数列试题重要的命题方向.2023年全国新高考Ⅰ卷第21题，通过全概率公式构建了数列的递推关系，是数列与概率的综合.23年的上海数学高考题考察了数列与函数的综合，也是运用迭代思想解决问题.

题目： 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量服从两点分布，且PXi=1=1－PXi=0=qi，i=1，2，…，n，则E∑ni=1xi=∑ni=1qi．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．

解：（1）设“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，则P（B2）=

P（A1·B2）+P（B1·B2）=P（A1）·P（B2|A1）+P（B1）·P（B2）|B1）=05·0.4+05·08=06.

（2）设P（Ai）=pi，P（Ai）=pi=P（Ai-1·Ai）+P（Bi-1·Ai）=P（Ai-1）·P（Ai|Ai-1+P（Bi-1）·P（Ai|Bi-1）=0.6·pi-1+（1-pi-1）·0.2=0.4pi-1+0.2（n≥2），得到一组递推公式pi=25pi-1+15，pi+x=25（pi-1+x），解之x=-13，∴pi-13=25（pi-1-13）.又pi=12，∴pi-13=16，{pi-13}是首项为16，公比为25的等比数列，∴pi-13=16·（25）i-1，∴pi=13+16·（25）i-1，（i=1，2，3，…）.

（3）依据题意，E（Y）=∑ni=1pi=16×1-（25）n1-25+n3=518［1-（25）n］n3.

数列的综合应用问题中，搞清事物发展的前因后果及其相互联系，搞清事物的形成过程和形成方法，是寻找解题思路，突破难点的必经之路，用递推的方法来表达事物间的联系能够

让我们对所解决的问题以数学的方式呈现出来，其实就是建立数学模型的过程。建立递推关系，是解决这类综合问题的核心环节.只有真正理解递推，才有能力在实际情境中用数学的眼光来观察问题，用数学的知识来表达问题.

递推蕴含着转化、迭代、程序化與机械化等思想.在数列的教学过程中，教师要抓本质，重点体现“逻辑思维能力”，渗透思想方法，在关键处多着力，靶向新高考的热门题型与教学中的难点问题，提升学生的关键能力.