聚焦数学结构之美 挖掘文化育人价值

⦿ 浙江杭州第十四中学 龙明旺 ⦿ 新疆阿克苏市高级中学 王 莉 闫 华 王晓琴

目前高中各门学科中,数学已经成为高中最难学的学科之一,尤其对于思维偏文的学生.笔者从事高中数学教学已有十余年,发现众多的数学课堂,总有部分学生提不起对数学的兴趣,或者感觉数学枯燥乏味.于是,笔者提出,数学课堂能否也有欢声笑语?能否让数学学习变得轻松简单,更具有可操作性?这需要改变我们的思维方式和教学方式,让难的数学问题通过分解,变成简单的问题,做到复杂问题简单化;而简单的问题需要讲得接地气、贴近生活,让理解数学有困难的学生也能轻松掌握,做到简单问题通俗化.

数学不是枯燥乏味的,数学有代数结构之美,也有几何背景之美.在课堂教学中,教师要引导学生去发现美,寓美育德育于教学之中,学生在享受数学美味的同时,也很可能爱上数学.课堂教学中要引导学生适时发现数学之美,这样,教师越教越乐教,学生越学越乐学.寓教于乐,寓学于乐,其乐无穷.

基于此,本文中将引导学生发现、欣赏数学结构之美,挖掘数学文化价值,发挥数学的育人价值,以飨读者.

1 基本不等式的结构“协调之美”

理解了基本不等式的结构之美,下面来看一道题：

题1若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是______.

2 圆锥曲线切线的结构“统一之美”

先看下面两个结论：

注意到结论中两个x只有两种关系：x2=x·x,2x=x+x,即积与和的关系.若两个x是乘积关系,可视为两个x相距非常近,非常亲近,是一对恋人关系;若两个x是和的关系,两个x之间有加号,有一定的距离,是普通的同学关系;其中一个x参加某项大型赛事(如运动会、学科竞赛等)获得金牌(x右下角圆圈),回到学校与另一个x继续原来的关系,恋人继续恋人关系,同学关系继续同学关系,这也说明爱情和友情不会随着时间的流逝而改变,所以同学间的纯真感情值得好好珍惜.这两个结论从数学结构上表达了同学间相处的真善美,传递了正能量,也凸显了数学的德育价值.

笔者在课堂实践中,教授学生利用上述方式记忆这两个结论,获得学生雷鸣般的掌声,同时,学生课堂上就记住了这两个有用的结论.高中数学表述方式形式化、符号化,很多结构都非常漂亮,有待大家去发现.

3 指数比较大小的“求同存异之美”

A.c

C.b

在数学解题中,很多人认为解题要玩不少技巧,对于技巧,学生就会想,老师你怎么这么聪明,我怎么就想不到.结果就是除了对老师的崇拜外,对自己的能力有所怀疑,甚至可能还有几分失落.如果只是教技巧,学生简单模仿,那么面对新的陌生问题时,学生可能就会束手无策,找不到解题的方向.其实,技巧只是解题教学的外在形式,更重要的是内涵,是思想,是如何想到的.

4 单调性、奇偶性的结构“同构之美”

题3(2022年厦门调考)函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,f(x)>1.求证：f(x)是R上的增函数.

分析：欲证抽象函数f(x)单调递增,只能用定义来证明.联想单调递增函数的定义表述方式,先设x1>x2,然后比较f(x1)和f(x2)的大小.可作差或作商比较.本题条件中没有乘积或商的结构,所以考虑作差比较.接下来就是难点,很多学生不知道如何应用条件.注意到数学是一门符号语言,要处理f(x1)-f(x2),就要构造出类似的作差结构,但条件中是和式的结构,因为和与差是对偶运算,所以可引导学生将和式转化为差式,只需移项,变为f(a+b)-f(a)=f(b)-1,然后两式对照处理,令a+b=x1,a=x2,则b=x1-x2>0,f(x1-x2)>1.当然,有学生设x10时,f(x)>1”,则需构造出大于零的代数式,只需改为作差f(x2)-f(x1),再赋值a+b=x2,a=x1,则b=x2-x1>0,f(x2-x1)>1.本题最难的地方是移项同构,再赋值.这是从代数结构上的教学,是数学维度上的理解.但是,思维偏文的学生还是觉得太抽象,不好理解.笔者考虑,能否再通俗一点?要处理代数式f(x1)-f(x2),就要让已知条件与该代数式长得一模一样,就好比看两个学生是不是双胞胎,如何确认?站在一起,先看身高,再看容貌是否大致相同.这就如同已知条件与代数式f(x1)-f(x2)“高度差不多”,所以想到将已知条件移项,变为差式的结构;“容貌相似”,就只需赋值a+b=x1,b=x2,这样思维过程就变得非常自然,行云流水,也通俗易懂.

题4(2019年浙江名校联考)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数.

分析：欲证f(x)为奇函数,只需证f(-x)=-f(x),即证f(-x)+f(x)=0,和式的结构刚好与已知条件吻合.类似题3比较两个学生是否为双胞胎的方法,赋值也显得很自然.即令a=-x,b=x,得到f(0)=f(-x)+f(x).与目标式对照,长得非常像,但又不同,所以只需证f(0)=0,后面再令a=b=0,可得f(0)=0,即完成证明.

高中数学的表述符号化,这就要求学生会用数学符号来表达.面对一系列的符号,有些学生非常茫然.那么,如何教学更能贴近学生的最近发展区?比如,抽象函数的单调性和奇偶性对不少学生来说是一个难点,那么,如何教,如何切入,能否让所有的学生觉得简单且通俗易懂?

答案是肯定的,那就是欣赏数学的同构之美.

综上所述,我们在高中数学教学当中,可引导学生去发现数学之美,提升学生对数学的兴趣,挖掘数学的美育和德育价值;课堂教学实践中,适时渗透中华优秀的传统文化,让学生数学思维变得更为直接;具体解题教学中,注重对代数结构的观察,教授贴近生活的理解,适时关注题目背后体现的自然法则,让数学教学变得生动有趣,让学生的学习更具有可操作性,让数学的核心素养在学生身上落地生根.