数学思想引领下的解题研究

万兵

初中阶段，常见的数学思想有方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等。笔者从文献研究、文本研究、题型研究、导图研究四个方面展开数学思想解题研究，着力引导学生领会数学思想在解决问题中的作用，形成更高水平的认知以及科学、系统、严谨的解题思维。本文以数形结合思想为例，谈谈解题研究的方法与路径。

一、文献研究——理清数学思想，奠定研究基础

文献研究可以帮助我们明确数学思想方法的发展脉络，为实践研究提供理论支撑。

相关文献从学理上论述了“数”和“形”的含义。从广义上讲，“数”是研究客观世界的工具，“形”即整个客观世界。从狭义上讲，“数”是代数学、分析学的研究对象，“形”是幾何学的研究对象。“结合”一词具有方法论意味，它的基本内涵是彼此紧密联系。从转换方式来看，数形结合可分为“以形助数”“以数补形”“形数互化”三种形式。从模型来看，数形结合可分为套用型转换和构造型转换两种形式。套用型转换即利用已知的数学模型进行转换，如直角坐标系中，点与坐标、曲线与方程的关系是一一对应的，对“数”和“形”其中之一进行研究即可。构造型转换即对几何图形构造代数式、对代数式构造几何图形。

事实上，数形结合思想并没有一个明确的概念。通过文献研究，笔者了解到有研究者把数形结合当作数学思想方法来研究，有研究者把数形结合当作解题方法来传授，还有研究者将数形结合当作程序性知识来谈如何内化。我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到“析理以辞，解体用图”的观点，他提出的出入相补原理“令出入相补，各从其类”，以图形分、合、移、补的变换方式证明了许多恒等式。这实际上是数形结合思想的体现。

二、文本研究——凸显数学思想，理解相关概念

本研究中，文本研究主要指课程标准解读和教材解读。对于数形结合思想，课程标准强调：要用数形结合的方法分析和解决问题；几何直观素养的具体表现之一是能够建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。教材中几乎每个知识板块都蕴含着深刻的数学思想方法，钻研教材就是要把隐形的思想方法挖掘出来。研究某种数学思想在课程标准中的体现和在教材中的分布，有助于教师理解数学思想统摄的相关知识点及其在知识结构体系中的功能，让教师站在更高层次理解数学内容，使数学概念、定理的教学更有数学味，从而更好地培育学生的数学核心素养。

例如，课程标准在学业要求的“数与式”部分指出：“理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能借助数轴体会相反数和绝对值的意义，初步体会数形结合的思想方法。”这清晰地揭示了数形结合思想的渗透从七年级开始。教材这样定义绝对值：“一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作a的绝对值，记作[a]。”从“数”上理解，[a]是一个非负数；从“形”上理解，数轴上表示数a的点与原点的距离为[a]。教材还给出了示例：“A，B两点分别表示10和－10，它们与原点的距离都是10个单位长度，所以10和－10的绝对值都是10，即[10=-10]。”这些内容有助于学生站在数形结合思想的高度理解概念的内涵与外延。李邦河院士说，“数学，本质上是玩概念的”。只有“玩透”概念，我们才能在解题中产生灵活、深入的联想，进行类比、迁移、创造等思维活动。因此，教师要借助“数”的准确、“形”的直观，引导学生在概念形成的过程中领悟数形结合思想。

三、题型研究——深化数学思想，提升思维水平

要加强学生运用数学思想方法进行思维的能力，教师首先要依托教材找到一些有代表性的习题作为教学的支撑点，并在问题设计上作出一些变化与创新，给学生提供良好的思维训练素材，助推学生对数学思想的领悟。基于此，笔者按照知识板块分类精选典型案例，研讨基于思想方法的问题解决路径，形成解题指导模式。以数形结合思想为例，笔者基于“以形助数”“以数补形”“形数互化”三种形式，分别从教材中选定典型例题作为解题研究的抓手。

1.以形助数

数学教学中，有些数量关系比较抽象，学生较难理解和把握，而图形能将抽象的内容直观地呈现出来。具体来说，教师可以引导学生从问题情境中提炼出某种“模式”（数与形之间的一种特定的结构或关系），再根据这种模式把数量问题转化为图形问题，最终通过分析图形解决这个数量问题。此即“以数助形”。其意义有两点：一是将抽象的代数语言转化为直观的几何表达，以避开复杂冗长的推理或计算；二是通过直观的图形帮助学生理解和阐述抽象的代数关系，获得出奇制胜的解题效果。

初中阶段，将数量问题转化为图形问题一般要用到平面几何知识或解析几何知识。笔者以“求代数式[x+3-x-2]的最大值”为例做具体阐释。若尝试从“数”的角度解决该问题，需要分三种情况讨论，利用绝对值的性质脱去绝对值符号，如其中一种情况：当－3≤x≤2时，原式化为2x+1，再借助代数式的增减性求解，解题过程略显繁琐。为了帮助学生形成利用“以形助数”的数形结合思想解决问题的基本模式，笔者出示下列问题，引导学生探究数轴上表示x和－1的两点A和B之间距离的问题。①若x＞－1，AB可直接表示为x－（－1）；②若x＜－1，AB可直接表示为－1－x；③若x和－1的大小关系不明，AB可表示为[x+1]；④如果AB=2，那么x的值为1或－3。我们将该问题抽象为一般情况，即[a-b]的几何意义为数轴上表示a的点到表示b的点之间的距离。

通过分析上述问题，学生明确了“数”和“形”不是孤立的。这有利于学生类比理解[x+3]和[x-2]的几何意义，利用“以形助数”化繁为简。基于以上分析，我们可知[x+3-x-2]的几何意义为数轴上表示x的点到表示－3的点之间的距离减去数轴上表示x的点到表示2的点之间的距离，进而，学生可借助数轴发现x≥2时，[x+3-x-2]的最大值为5。

类似的案例有很多，如“勾股定理”完美地诠释了直角三角形（“形”的方面）的三条边满足的数量关系（“数”的方面），教师教学定理后，可以选择精当的例子让学生体验“以形助数”在处理复杂代数式最值问题中的优势——化抽象为具体，化模糊为清晰。

2.以数补形

“形缺数时难入微”，图形虽然形象、直观，但在定量方面必须借助代数计算，特别是比较复杂或过于简单的图形，直接观察难以发现规律和结论，这时就要充分利用图形的性质和几何意义，挖掘图形中的隐含条件，把图形问题转化为数量问题，并通过推理和计算解决这个图形问题。“以数补形”的意义在于利用“数”的严密性和精确性，阐述“形”的某些特性，特别是基于几何图形中的某些量之间的数量关系，利用代数方法解题，可以弥补学生想象和直觉的不足。

如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE。若AB=6，则△BDE面积的最大值为       。

面积的度量反映了“形”与“数”的结合。初中阶段，最值问题的解决从“形”上说往往要借助几何直观和基本定理，从“数”上说往往要借助函数的性质。此题中，若以BD为底，随着点D的运动，△BDE的底和高均发生变化，进而带来面积的变化，同时，底和高的变化过程是相互关联的。分析变化过程中变量间的关系需要紧扣函数概念。函数的表示方法有解析式和图象，解析式从“数”上刻画函数，图象从“形”上刻画函数，“数”和“形”自然联系，相互依存。本题中，“将线段CD绕点D逆时针旋转90°”为构造“三垂直模型”提供了条件，如图2，易证△EDN≌△DCM，从而得到EN=DM，高EN的长度可转化为DM的长度。若设BD=x，由RT△ACM的边长关系及AB长，可将DM表示为“9－x”。由此，S△BDE=[12]BD·EN=[12x（9-x）]=[-12（x-92）2+818]。当BD=[92]时，S△BDE有最大值，即[818]。从上例我们看到变量符号x的引入，使面积的动态度量问题转化为二次函数的最值问题，让问题的解决更简便。

3.形数互化

“形数互化”指某些数学问题的解决不单单是简单的“以形助数”或“以数补形”，而是需要“形”和“数”互相转化。笔者以题目“已知抛物线[y=x2-2mx-3]与直线[y=2x-10m]在0＜x＜4范围内有唯一公共点，则m的取值范围为           ”为例做具体阐释。

函数与方程是感悟数形结合思想的重要板块。本题陈述的是抛物线与直线在“形”上的特征，要探求参数m的取值范围。由于参数m在两个函数解析式中均出现，参数m的变化会带来抛物线和直线位置的同时变化，所以直接从“形”上考虑不利于解决问题。由函数与方程的关系，可将“抛物线[y=x2-2mx-3]与直线[y=2x-10m]在0＜x＜4范围内有唯一公共点”转化为“方程[x2-2mx-3=2x-10m]在0＜x＜4范围内有一个根或两个相等的实数根”，这是一个由“形”到“数”的转化过程。在此基础上，我们可借助方程的等价变形将“[x2-2mx-3=2x-10m]在0＜x＜4范围内有一个根或两个相等的实数根”转化为“[x2-2x-3=2m（x-5）]在0＜x＜4范围内有一个根或两个相等的实数根”，使参数m只出现在等号的一侧。随后，我们再次将方程还原为函数图象的关系，即[y1=x2-2x-3]与直线[y2=2m（x-5）]在0＜x＜4范围内有唯一公共点。当y2过点（4，5）时，[2m=-5]，[m=-52]；当y2过点（0，－3）时，[2m=35]，[m=310]；当y2与y1相切时，[2m=8-43]（[2m=8+43]是另一条切线，舍去）。结合图象可知[-52

四、导图研究——构建解题模型，培育数学直觉

由于数学思想方法包含思维监控的成分，对思维过程起调控和指导作用，所以提炼运用数学思想解决问题的思维导图可以帮助学生沿着已建立的思维图式进行思考，并明确自己的思维进程，以便在某种方法无法解决问题时及时转换思路。基于此，笔者根据问题表征方式的不同，将数形结合思想的应用划分为“以形助数”和“以数补形”两种模式，并拟定图3、图4两个运用数形结合思想解决问题的思维导图（处理“形数互化”问题时需要灵活、交替地使用这两个思维导图）。学生做题时要自我探索，参照思维导图，仿照课堂中探索定义、定理时所采用的方法或思路进行探究，从而形成自己的解题流程，培养数学直觉。

数学直觉本质上是一种联想，要求学生在不同的知识体系之间建立较强的连接，明确其逻辑关联。这也是数学思想导向的课堂教学的旨归。数学思想引领下的解题教学强调帮助学生形成清晰有序的、起基础作用的、有生长点和开放面的知识结构与解题思路，而非掌握某种问题的特定解法。

（作者单位：华中科技大学附属中学）