浅谈万有引力定律常见考查题型特点及解题思路

刘文彬

【摘要】万有引力定律是物理学中的一个基本定律，它描述了两个物体之间的引力关系.在教学和考试中，对万有引力定律的理解和应用是非常重要的.本文旨在对万有引力定律的常见考查题型进行探讨，并提供解题思路.重点分析三种主要的题型：轨道比较问题、双星问题和卫星变轨问题.对于每一种题型，都将提供具体的解题策略，并通过实例进行说明，帮助学生更有效地理解和解决这些题型.

【关键词】万有引力定律；高中物理；解题技巧

只要物体具有质量，就一定存在万有引力，因此万有引力无处不在.高中物理中，万有引力定律的考查十分常见，通常以选择题形式出现，绝大多数情况都是以天体运动问题进行设问.本文结合具体例题分别介绍三类常见的考查题型和解题思路，帮助学生理解万有引力，运用万有引力定律求解相关问题.

1 轨道比较问题

卫星处于不同轨道有着不同作用，如近地卫星和同步卫星的运行轨道就有一定区别.比较不同类型卫星的相关参数属于比较常见的万有引力应用问题，解题时首先要明确卫星向心力与万有引力的关系，其次列出相关等式，得到所求物理量与轨道半径之间的关系，从而对问题进行解答.

例1 2020年8月1日，在北京人民大会堂上，对我国的北斗3号全球卫星导航系统建成举办了开通仪式，宣布了我国北斗3号全球卫星正式进行使用.而北斗3号全球卫星在宇宙中的运行轨道如图1所示，已知a，b，c卫星均围绕着地球做圆周运动，a是地球的同步卫星，a、b的运行轨道半径相同.下列说法正确的是（  ）

（A）图中的a卫星的角速度要比c卫星的角速度小.

（B）图中的a卫星的角速度要比b卫星的角速度大.

（C）图中的a卫星的角速度要比第一宇宙的速度大.

（D）图中的b卫星的运动的周期等于24h.

思考 不同轨道的卫星角度比较，首先需要列出相关等式分析角速度、加速度与轨道半径的关系，其次根据万有引力定律求解周期和运行速度，即可对问题作出解答.

解析 由牛顿第二定律可得GMmr2=mv2r.卫星的线速度公式为v=GMr，则卫星的角速度公式为ω=vr=GMr3，可知轨道半径大的卫星角速度小，所以卫星a的角速度小于c的角速度，故选项（A）正确；

卫星的加速度为a=v2r=GMr2.根据题目能够了解到，轨道半径大的卫星，相对应的加速度是比较小的，所以在图中的卫星a与b的加速度大小两者是相等的，所以能够排除（B）选项；

第一宇宙速度相比较卫星围绕地球圆周运动时的速度会更大，它是最大的环绕速度，所以途中的a卫星会比第一宇宙速度会更小，排除（C）选项；

卫星a与b的轨道半径相同，角速度相等，则周期也相等，所以卫星b的周期等于24h，故选项（D）正确；

综上，正确答案为（A）（D）.

2 双星问题

双星问题是万有引力在高中物理中应用的一个重要内容，一般是考查双星的向心力来源、周期之比、线速度等物理量之比，具有一定难度.求解双星问题的关键，需要理解向心力是有相互作用的万有引力提供，并且根据万有引力公式能得到周期、总质量的表达式，也能知道两个星球到中心的距离半径与质量成反比，利用这些特点，能对问题作出具体解答.

例2 2023年6月，中国天眼FAST发现了一个名为PSRJ1953+1844的双星系统.假设该双星系统是由两颗质量之和为M的脉冲星组成，两者之间距离为L，绕连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G，求该双星系统的运行周期T.

思考 首先根据万有引力定律和牛顿运动定律公式，列出相对应等式，其次根据质量、距离之和的具体值列式，联立这些等式，运算找到运行周期T的表达式即可.

解析 设双星系统中两个星球质量分别为m1，m2，其圆周运动半径分别为r1，r2，根据万有引力定律和牛顿第二定律，对星球m1有Gm1m2L2=m1·4π2T2r1，对星球m2有Gm1m2L2=m2·4π2T2r2，又m1+m2=M，r1+r2=L，联立可得T=2πL3GM.

3 卫星变轨问题

卫星变轨问题是常见的一类万有引力问题，如果一个做匀速圆周运动的卫星的速度受到一些因素的影响而产生了变化，那么此时万有引力就会进行改变，不再是原来的运行需要的向心力时，轨道就会出现改变.这类问题的求解首先要理解宇宙速度与卫星轨道的关系，其次利用万有引力定律列式分析轨道半径与角速度、加速度、环绕速度和周期的关系，就能得到问题答案.

例3 如图2所示，在进行同步卫星发射的过程当中，如图2所示卫星会首先进入到椭圆的轨道I，卫星运行到Q点时，增大卫星的速度，使其进入II轨道运行.则（  ）

（A）这个卫星在地球进行发射时的发射速度一定大于11.2km/s.

（B）卫星在同步轨道II上的运行速度小于7.9km/s.

（C）卫星处于轨道II时加速度大于轨道I上通过Q点的加速度

（D）卫星在Q点通过加速实现由轨道I进入轨道II.

思考 首先理解第一宇宙速度，卫星将绕地球做圆周运动，当速度达到第二宇宙速度，卫星将离开地球围绕太阳运动，其次根据万有引力公式分析同一位置的加速度是否相等，并分析变轨需要的条件，最终得到正确答案.

解析 第二宇宙速度为11.2km/s，这个速度也是卫星脱离地球引力之后，所能够产生的最小发射速度，但是，由于卫星在脱离地球引力之后，仍然需要围绕着地球做圆周运动，故发射速度不能大于11.2km/s，选项（A）错误；

第一宇宙速度为7.9km/s，是卫星在地球表面飞行的速度，也是最小的发射速度，根据万有引力提供向心力，可得GMmr2=mv2r，解得v=GMr.卫星在同步轨道II运行时，轨道半径变大，运行速度小于7.9km/s，选项（B）正确；

只有在万有引力作用情况下，有GMmr2=ma，解得a=GMr2.同一位置的加速度相等，卫星在轨道II上通过Q点加速度等于在轨道I上通过Q点的加速度，选项（C）错误；

衛星在Q点通过加速，做离心运动，由轨道I进入轨道II，选项（D）正确；

综上，正确答案为（B）（D）.

4 结语

三类问题都是万有引力定律常见的考查题型，且都具有一定难度.在同步卫星、近地卫星轨道参数的比较问题中，需要紧密结合万有引力定律求解；在双星问题中，需要联合万有引力和其他等式求解；在卫星变轨问题中，需要结合万有引力定律理解不同轨道需要的速度与加速度.熟悉和掌握例题题型，能让学生更有条理地分析问题，更巧妙地运用万有引力定律解答不同问题.

参考文献：

[1]罗炼.刍议高中物理中天体运动类题型的解题技巧[J].数理化解题研究（高中版），2016（11）：65.

[2]赵秋丽.关于万有引力定律问题的两种解题思路[J].中学生数理化（学研版），2020（09）：39-40.

[3]林梓博.对高中物理万有引力定律的解题分析[J].新教育时代电子杂志（学生版），2017（15）：156.