一道双曲线联考题的解法与结论推广

摘 要：在近年高考或各地模拟考试中，以双曲线为载体的圆锥曲线解答题已成为数学命题的一大热点.2023年2月浙江省七彩联盟返校联考的第21题就是一道颇具探究价值的优质试题，文章在对该题进行解答的基础上，对试题结论从延伸和类比两方面进行推广探究，进而得到相应的结论.

关键词：双曲线；联考题；解法；结论推广

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）04-0006-04

双曲线是一种重要的圆锥曲线，是高考命题的重点内容，尤其是近年高考或各地模拟考试中，双曲线内容常出现在解答题中进行考查，体现了高考命题者对双曲线内容的青睐.下面对一道高三双曲线联考题的解法和结论进行探究.

故以线段DE为直径的圆过定点F（4，0），根据对称性可知也过定点（-2，0）.

点评 该小题考查的是圆过定点问题.解法1首先引入参变量t，设出直线l的方程，通过联立方程组求出两交点纵坐标的和与积，然后利用直径所对的角是直角，构造向量，运用向量数量积为0建立等式关系，求出定点.其中由图形的对称性猜测定点位置，从而明确方向，进而简化计算.解法1是解决这类问题的通性通法.解法2根据题意条件，通过作出辅助线，挖掘并利用隐含的三角形相似、三角形内角平分线性质得到线段的垂直关系，从而找到圆过的定点，其解题过程十分简捷、巧妙，体现了平面几何知识在简化解析几何计算中的优越性.但解法2逻辑推理要求高，思维难度大，不易切入.

3 推广探究

我们在这里将目光放到对第（2）问的推广探究上.

3.1 延伸推广

从对上述联考题的条件和结论的分析可以看出，F是双曲线Γ的右焦点，直线l1则是双曲线Γ的右准线，M是双曲线Γ左支上的一点，其结论是以线段DE为直径的圆过的定点是焦点F和焦点F关于线段DE的对称点.由此，我们来思考下面的两个问题：

（1）能否把联考题的结论延伸为一般双曲线的情形？

（2）若F是双曲线Γ的左焦点，直线l1则是双曲线Γ的左准线，M是双曲线Γ右支上的一点，是否可以得到同样的结论？

答案是肯定的！于是由联考题推广为一般情形下双曲线的两个结论：

3.2 类比推广

圆锥曲线有许多相似的性质或结论，由于双曲线与椭圆均为有心二次曲线，能否将双曲线的结论1和结论2分别类比到椭圆，得到同样的结论？答案也是肯定的，于是有：

结论3 如图3，已知点F（c，0）为椭圆Γ：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的右焦点，直线l1为Γ的右准线，过点F的任一条直线l与Γ在y轴右侧交于A，B两点.若M为椭圆Γ在y轴左侧上一点，直线MA，MB分别与直线l1交于D，E两点，则以线段DE为直径的圆过定点（c，0）或（2a2/c-c，0）.

4 结束语

对典型试题的解法与结论推广进行探究，就是指对问题从不同视角来审视，以不同的切入点探究问题，其实质是对试题的“二次开发”.通过对试题的剖析和思考，展开問题的来龙去脉和知识间的纵横联系，站在一定的高度去思考问题，突出数学本质，使知识达到融会贯通，使思维得到升华，进而优化数学思维品质[1].

参考文献：

［1］ 李寒.平中蕴奇  探究本质：一道2022年高考试题的溯源与延伸[J].数理化解题研究，2022（25）：81-83.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者简介：李寒（1978-），女，贵州省桐梓人，本科，中学高级教师，从事数学教学研究.