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高中数学函数值域题的几种解法

2024-05-14许美琳

《学习方法报》教学研究 2024年40期
关键词:二次方程原函数平方根

许美琳

一、观察法

通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。

例1.求函数y=3+[2-3x]的值域。

点拨:根据算术平方根的性质,先求出[2-3x]的值域。

解:由算术平方根的性质,知[2-3x]≥0,

故3+[2-3x]≥3

∴函数的知域为{y∣y≥3}。

点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。

二、反函数法

当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2.求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。

解:函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。

点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。

三、配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3.求函数y=[-x2+x+2]的值域。

点拨:将被开方数配方成平方数,利用二次函数的值求。

解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]

∴0≤[-x2+x+2]≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

四、判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4.求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

點拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。

解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)

当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2

当y=2时,方程(*)无解。

∴函数的值域为{2}。

点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±[cx2+dx+e]的函数。

指导老师:胡春霞

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