高中数学函数值域题的几种解法

许美琳

一、观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1.求函数y=3+[2-3x]的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出[2-3x]的值域。

解：由算术平方根的性质，知[2-3x]≥0，

故3+[2-3x]≥3

∴函数的知域为{y∣y≥3｝。

点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

二、反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2.求函数y=（x+1）/（x+2）的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：函数y=（x+1）/（x+2）的反函数为：x=（1-2y）/（y-1），其定义域为y≠1的实数，故函数y的值域为{y∣y≠1，y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

三、配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域

例3.求函数y=[-x2+x+2]的值域。

点拨：将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。

解：由-x2+x+2≥0，可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时-x2+x+2=-（x-1/2）2+9/4∈[0，9/4]

∴0≤[-x2+x+2]≤3/2，函数的值域是[0，3/2]

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

四、判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，可用判别式法求函数的值域。

例4.求函数y=（2x2-2x+3）/（x2-x+1）的值域。

點拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：将上式化为（y-2）x2-（y-2）x+（y-3）=0（*）

当y≠2时，由Δ=（y-2）2-4（y-2）x+（y-3）≥0，解得：2

当y=2时，方程（*）无解。

∴函数的值域为{2｝。

点评：把函数关系化为二次方程F（x，y）=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=（ax2+bx+c）/（dx2+ex+f）及y=ax+b±[cx2+dx+e]的函数。

指导老师：胡春霞