趣谈中国古代数学中的方程问题

唐肖准

摘 要：《九章算术》和《数书九章》这两部中国古代数学名著记载了许多关于方程方面的优秀研究成果，这些研究成果都遥遥领先于其他国家，但是腐朽的封建制度最终阻碍了中国数学的继续前进. 直除法和互乘相消法是古代解决一次方程的方法，在解决问题的过程数学家又独创了“正负术”和“损益术”；在解二次方程的过程中，出现了代数与几何相结合的端倪；指数方程和代数的引入则是对“趣谈”的最好诠释.

关键词：直除法；损益术；互乘相消法；二次方程；不定方程

代数学发源于9世纪的阿拉伯，最早见于阿拉伯数学家花拉子米的著作. 在中国，春秋战国时期已有算术，而这些算术的主要形式就是正数的四则运算，而这些四则运算主要是为了解决人们在日常生活中的实际问题，后来随着经济和文化的发展，到东汉初期的时候开始出现了未知数的应用，人们根据实际问题的条件列方程为主要研究对象的代数学，这一数学发展在刘徽所注的《九章算术》有明确的记载.这就是我们现在的方程，《九章算术》中的第八章，古代的方程就是现在的线性方程组. 在《九章算术》中明确指出：“群物总杂，各列有数，总言其实.令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故为之方程.” 这里还规定了两个方程式的系数不允许存在相同的比例，即不能有相容方程，也不能有矛盾方程.这和现代方程的思想是如出一辙的. 不过与现在横行竖列的表示法不同的是，古代通常采用横列竖行. 如《九章算术·方程》的第1问（以后也是谈到古代方程必考究的一个问题）.

例1 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗. 问上、中、下禾实一秉各几何？列出的方程如表1所示.

看到上述的方程组，我们不禁要发出这样的疑问，中国古代并没有英文字母，那到底是怎么列未知数解方程的呢？的确，英文字母x，y，z是19世纪中叶才传到中国的，在此之前我国古代方程中的未知数都是用汉字来表示的，譬如“上禾”、“中禾”、“下禾”以及“天”、

“地”、“人”就通常被指代成现在的未知数x，y，z. 列出方程组之后，随之而来的当然就是求解的问题.

直除法

古代对于线性方程组的解法称为方程术，其核心是以逐步消元来减少方程的行数及未知数的个数，最终消成每行只存在一个未知数的情况，然后依次把第二、第三个未知数求出来. 在古代这种消元的方法称为直除术，“直除”的意思就是直接相减.以《九章算术·方程》的第一问为例，在书中关于它的解题过程中有这样一段话：“以右行上禾遍乘中行，而以直除. 又乘其次，亦以直除.”这段话用方程组的变换可以翻译为

我们把方程组的系数以方阵的形式横着写，就是现行教材中线性方程组系数的增广矩阵，筹算过程就是现行矩阵的行初等变换，上述的初等变换只需要几步就可完成.

当时人们借助的运算工具是算筹，方程的各项系数，常数项都用算筹排列成长方形，通过对算筹的移动和重组达到解出方程的目的，它的性质和运算过程跟今天的矩阵是差不多的，所以我们可以很自豪地说，中国是矩阵最早出现的地方.

直除法的提出为简化行列式和矩阵各行各列相减的概念奠定了基础，其中刘徽指出的用方程的整行和另一行相减，不影响方程的解这一思想成为方程消元法的奠基石. 在欧洲最早的解线性方程组的方法是由法国数学家布丢在十六世纪中叶提出的，这比中国晚了一千年左右. 《九章》中的直除法不仅是中国古代数学中的伟大成就，也是世界数学史上宝贵的精神财富.

损益术

我们知道，由于在消元过程中会出现小数减大数的情况，这势必会导致负数的产生. 刘徽在注释《九章算术·方程》时首次提出了“正负术”的思想：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之.其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之. （这里的除、益是减少、增加的意思，同名、异名是同号、异号的意思），通览这寥寥37个字，却把正负数的加减法都包括了. 以《九章算术·方程》第八问为例，列出方程以矩阵的形式给出：

从第一个矩阵到第二个矩阵经过的变换是：2×第2列-3×第3列；2×第1列+5×第3列. 从第二个矩阵到第三个矩阵经过的变换是：第2列都约去公约数3. 要注意的是这里的“列”古代称之为“行”，参考古籍时要注意.

《九章》中出现的正负数是人类文明史上最早出现的关于负量的描述，并且对正负数的加减法则做了说明，到5世纪时，祖冲之把它运用到了二次方程. 后来，朱世杰在《算学启蒙》中又提出了正负数乘法法则. 在正负术的基础上，古人创造了移项建立或化解方程的方法，在当时称之为损益术. 古代所指的损益就是现在我们所说的减少和增加. 在等式的左端减少多少等价于在等式的右端增加多少，同理在等式的右端损就相当于在等式的左端益，就像我们现在所说的收支平衡. 如《九章算术·方程》第二问.

例2 今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾两秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，于上禾二秉，而实一十斗. 问上，下禾实一秉各几何？”

根据题意，我们可以列出方程组

显然，经过损益之后方程更简洁也更便于计算. 值得一提的是，损益术的对象不仅包括了常数项，也包括了未知数，同时它的作用还类似于现在的合并同类项. 例如《九章算术·方程》第11问中关于牛马价各几何的问题，这里就不再详叙.

互乘相消法

众所周知，当方程组的系数较大时利用直除法计算往往会很烦琐，刘徽针对这个问题首创了互乘相消法，那何为互乘相消法呢？我们不妨来看刘徽在《九章算术·方程》“牛羊直金”问中所提出的解法.

例3 “今有牛五，羊二，直金十两；牛二，羊五，直金八两，则牛、羊各直金几何？”

同理，x的值也可求得. 刘徽还指出这是一种普遍的方法，即使方程式的个数为四行、五行也行得通. 可惜这种先进的思想一直未被当时的数学家重视，直到700多年后才被南宋大数学家秦九韶继承并发展. 秦九韶的《数书九章》作为中国古代数学史上的另一部巨著，不仅仅是对《九章算术》的扩充和重复，在很大程度上它突破了《九章算术》的限制，并且给予了发展和推广. 如《数书九章》“均货推本”问题.

例4 “问有海舶赴务抽毕，除纳主家货物外，有沉香五千八十八两，胡椒…”根据题意，列出方程组为

最后利用代入法，便得其他各元的值.

回顾上面所陈述的互乘相消法，不难看出这和现在我们所用的解方程组的方法完全一致，秦九韶发展了《九章算术》里的互乘相消法，把它运用到了二次以上方程并且提出了“代入法”和最大公约数的概念，这些成果都遥遥领先于世界上其他国家.

二次方程的解法

中国是世界上最早出现二次方程并求解的国家之一，古代的二次方程常以x2+px=q（p，q为正数）的形式出现，在这里我们不妨默认它为二次方程的标准形式. 利用代数和几何相结合，通过事物的几何性质，列方程来求解则可以看作是中国数学的特色之一. 在我国《九章算术》里就有一个关于“引蕸赴岸”的最古老的二次方程问题，它便是利用勾股定理，列二次方程求解的. 又例如《九章算术·勾股》中的第20问“今有邑方不知大小，各中开门. 出北门二十步有木. 出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木. 问邑方几何？”

书中采用了“带从开方法”来求方程的正根，即“以出北门步数乘西行步数，倍之，为实，并出南门步数，为从法.开方除之，即邑方”.

这段话用数学语言来解释就是：以2×20×1775=71000作为常数项放在等式右端，以20+14=34作为一次项的系数（亦即古人所说的“从法”），然后列出标准二次方程，再开带有“从法”的平方根，解的步骤相当于x=-17+ ，这与韦达的求根公式相吻合. 在这以后，宋代刘益的《益古根源》已经涉及解二次项系数为负数的二次方程，三国时赵爽在《勾股圆方图注》中还用到了类似于现在我们所用的二次方程求根公式：x=，其中2c为矩形两边之和，a为两边之积. 而在众多求二次方程的解法中，最有趣的要数隋唐时期，僧一行利用内插公式来求得方程的正根，这种先进的方法，至今令人称奇.

不定方程

在西方，人们习惯称不定方程为“丢番图方程”，这是因为古希腊数学家丢番图曾在公元3世纪时大规模地对此进行研究，其实在此之前我国《九章算术》里已出现“五家共井”的不定问题

例5 “今有五家共井，甲二绠不足，如已一绠；已三绠不足，以丙一绠；丙四绠不足，以丁一绠；丁五绠不足，以戊一绠；戊六绠不足，以甲一绠.如各得所不足一绠，皆逮. 问井深，绠长各几何？”根据题意，可以列出方程：

这道题中有五个方程式，却出现了六个未知数，刘徽用方程术解出其中一组最小解：x=265，y=191，z=148，u=129，v=76，w=721，并明确指出这是不定方程，只能求得其比率，它的解有无数组.比利时人利勃里希特曾经就说过这是中国数学史上最早的不定方程问题，它的提出要比丢番图早200多年.后来元魏时期张邱建又提出了“百鸡问题”，这是道关于不定方程的世界名题，书中说到：“今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雉三，值钱一，凡百钱买鸡百只. 问鸡翁、母、雉各几何？”按现代汉语翻译，列出方程组

我们注意到这里有3个未知数，而方程式只有两个，张邱建在其答案中提示到：“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雉每益三，即得.”并且给出了全部的三组整数解：（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）但具体解法并没有公示出来.

后世之人一直尝试着寻找“百鸡问题”的一般解法，但直到19世纪中叶才由骆腾凤、时曰醇利用大衍求一术找到一般解法.

x指数方程和对数的传入

《九章算术》里有道有趣的“二鼠穿垣”问题，在古代浩瀚如海的方程问题中，它倒像是夏日里的一杯凉茶，百合中的一朵玫瑰，让人感觉眼前一亮，特别引人注目.

例6 “今有垣厚五尺，两鼠对穿. 大鼠日一尺，小鼠亦日一尺. 大鼠日自倍，小鼠日自半. 问：何日相逢？各穿几何？”如果我们用今天的代数方法来解，可以借助于等比数列的求和公式，设经过n天两鼠可以相逢，大鼠每天的穿垣尺数依次为：1，2，22…小鼠每天的穿垣尺数依次为：1，，…经过n天，大鼠共穿进尺数=2n-1，小鼠共穿进尺数= 2-，题中说两鼠共穿进5尺.

我们可以列一个指数方程：（2n-1）+

这是中国古代关于指数方程的最早记载，通过这道题我们可以发现中国古代的方程研究已经呈横向发展的趋势，从方程与指数相结合以及在二次方程这个章节中出现的把几何与代数相结合，利用事物的几何性质，列方程来求解中我们不难发现那个时代属于中国数学特色的端倪.

在求解这个指数方程时，我们势必会用到对数函数的知识，那么对数是何时传入我国的呢？据史料记载，最早把对数引入中国的是清朝的数学家薛凤祚，他在《历学会通》中给出了多达六位的数字和三角函数的对数表，其实在宋元之后，中国的数学就开始走下坡路了，不过在康熙时期，中国的数学还曾昙花一现过，究其原因：其一，康熙是古代帝王中为数不多的对数学产生浓厚兴趣并对数学的发展做出贡献的皇帝，在他的鼓励和带领下，那个时期的数学家在对以前数学文献的整理和研究上所做出的成就还是值得肯定的. 其二，康熙时期，中国的经济文化又处于一个巅峰期，这就使得人们有更多的精力和安定和谐的环境去研究数学. 所以在那个时期，保留了很多极为珍贵的高次方程和对数方面的文献.

我国古代的数学是以代数学作为主流而发展的，其中求解方程是我国古代代数学研究的重点，从刘徽注的《九章算术》里求解一元一次方程开始发展到宋元时期对高次方程解的研究步入一个新台阶，中国数学在方程方面的研究已经遥遥领先于世界其他国家. 但是由于腐朽的封建制度，宋元之后我国数学就开始停滞不前，很多优秀的成果也流失了. 作为数学王国里一颗璀璨的明珠，中国也曾照亮了那个时代方程发展的道路.