来路—思路—出路—套路，教学研题“四部曲”

周茜

摘要：借助一道高考平面向量数量积的最值问题的求解，合理诠释数学问题解题研究过程中的“四部曲”——来路、思路、出路、套路，挖掘问题内涵与实质，总结解题规律，尝试为数学问题的求解与解题研究提供一个基本学习模板，指导数学教学与解题研究.

关键词：平面向量；数量积；最大值

在数学课堂教学以及解题研究过程中，特别是在高考复习阶段，教师合理选取经典问题，多方位挖掘问题的内涵，尝试做到数学解题研究的“四部曲”——来路、思路、出路、套路，提升复习效率.

1 展示“来路”——立足课标，明确主题与指向

教材典型例、习题及历届高考真题等典型试题，具有有效巩固数学基础知识、合理渗透数学思想方法、精准明确数学学习任务、巧妙确定数学研究方向等基本作用，是新一届高考命题者改编或创编新高考题的基本“来路”.基于典型试题的教学研究，有效明确相应问题的主题，寻找典型问题的指向.

分析：根据平面向量数量积的几何意义，结合投影的结构特征与直观分析，通过“动”态过程中的变化规律及最值问题的几何特征，二者合理交汇与融合，通过数形结合以及图形直观，综合平面几何的结构特征与基本性质等来应用，实现问题的直观处理.平面几何法的关键就是把握图形的结构特征以及所求数量积的几何意义与内涵，合理直观与巧妙推理.

3 寻找“出路”——目标变式，链接知识与方法

目标变式是基于原问题考查的基础知识、基本思想内涵与技巧方法，有目的、有计划地合理改编与变式，探寻问题进一步的“出路”，进而凸显不同数学基础知识、基本思想方法、思路技巧等之间的逻辑关系，合理链接数学知识与思想方法，构建更加完善的数学知识体系与架构，形成更加全面的知识网络.

3.1 延续结果变式

变式1 已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=2，则PA·PD的取值范围为[CD#3].0，12+[JB（]22[JB）]]

3.2 改变条件变式

变式2 已知⊙O的半径为3，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=2，则PA·PD的最大值为[CD#3].32

借助以上条件改变而得到的变式2及其对应的解析过程，将确定最大值的问题转变为确定取值范围的问题，还可以得到对应的变式.

变式3 已知⊙O的半径为3，PA与⊙O相切于点A，PB交⊙O于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=2，则PA·PD的取值范围为[CD#3].[JB（[]－12，32[JB）]]

4 拓展“套路”——总结反思，优化技巧与策略

总结反思是高效、合理进行解题研究的基本步骤，可以从知识覆盖面广、形式灵活的数学综合题中挖掘蕴含其中的多种解法与思想，合理总结并拓展解题的“套路”，有利于深化学生对知识的理解与掌握，从而優化数学思想与技巧策略，发展数学思维品质.

4.1 掌握“通技通法”，巩固“四基”训练

高考中涉及平面向量的数量积及其相关的综合应用问题，可以巧妙融入几何的“形”与代数的“数”这两类基本要素，形成数形结合综合应用的一大典范.

解决此类问题的“通性通法”常见的有基底思维、平面几何思维、坐标思维、特殊公式思维（极化恒等式等）等，从“数”的运算层面或“形”的直观层面等视角切入，全面灵活应用相关的数学知识来综合分析与解决问题，巩固数学“四基”训练.

4.2 “一题多解”发散，“一题多变”升华

涉及平面向量的综合应用问题，往往可以从几何视角、坐标视角、基底视角等不同思维视角切入，有效发散思维，进行“一题多解”.在解题与应用的过程中，充分融合数学基础知识与基本技能，形成稳定的知识架构.

而充分挖掘典型问题的内涵与实质，进一步加以升华，借助“一题多变”等形式的应用，能让学生真正达到会解、会用、会拓展等.在此层面上，进一步实现“一题多得”的良好效果，达到做一题、懂一片、会一类，从而更加深入地研究数学问题，脱离“题海战术”，拓宽数学基础知识，切实提高数学能力，真正达到举一反三、融会贯通的效果.

数学解题能力是基于综合运用数学基础知识、思想方法以及技巧策略等来准确解题的基本能力.纵观整个教学活动，基于教材典型例、习题及历届高考真题等典型性问题，展示问题的“来路”，展开问题的“思路”，寻找问题的“出路”，拓展问题的“套路”，深入挖掘，独立解答，分享过程与细节，使得解题知识内化、能力优化、数学思维生长，从而学生在学习过程中不仅出色地完成了解题目标，同时解题能力也获得了大幅的提升与拓展.

实践证明，基于数学解题研究过程中的“四部曲”——来路、思路、出路、套路，有针对性的解题研究的教学与学习，教学意图更加明显，教学思路更加清晰，教学设计与教学过程更能充分调动学生解题的积极性、主动性，是有效提高高考数学复习备考质量的一种常见教学范式.