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王保弟 杜江涛

1 教学内容分析

1.1 内容分析

本节课是由学生作业中的一道大题出发，追溯题目背景，是人教A版普通高中课程标准试验教科书数学21（选修）第73页A组第6题，第81页B组第3题.

通过圆锥曲线知识的学习，发现解决解析几何问题的通法——坐标法，偏重于相关量的数量关系的研究，由于代数运算复杂，对运算能力要求较高，往往使很多学生对解析几何望而生畏.事实上，解析几何问题的本质仍是几何问题，若能充分把握解析几何中图形的特征，挖掘图形的相应几何性质，恰当地运用平面几何的相关知识求解，往往能简化运算，优化解题过程.

1.2 学情分析

本节课之前，学生在必修二第三章圆的知识的基础上，学习了圆锥曲线，有一定的类比转化与分析问题的能力，以及代数运算能力.学生思维活跃，求知欲强.但面对繁难的代数运算，学生难免会有畏难情绪，所以挖掘试题背后的有关几何性质是关键.这需要熟练掌握一些常见的平面几何图形的性质，而此挖掘过程仍需要教师重点指导.通过“一题一课”微专题的形式，以点带面，聚焦关键内容，帮助学生感悟数学思想方法，实现从“解题”到“解决问题”的转变.

1.3 学习目标

（1）回顾三角形内角平分线定理，感受解圆锥曲线题目的方法，即坐标法和几何法；

（2）利用不同的设点、设直线的方式解决圆锥曲线问题，探索并感悟外角平分线定理的妙用；

（3）在解决典例的过程中，总结解决问题的方法和技巧，并能用外角平分线性质快速得到变式问题的答案.

1.4 评价目标

（1）通过课前自测（要求学生自主完成），感受解析几何通法（坐标法）与解析结合本质（几何法）.

（2）通过典例分析，探究不同的设点、设线方式带来的不同解题方法，并通过几何背景的挖掘感悟几何法在解题中对计算的简化作用.

（3）通过运算化简，提升运算能力；通过挖掘几何性质，体会数形结合的思想.

师：上述例题的求解过程表明，坐标法会导致圆锥曲线问题求解复杂，运算量较大.但是，通过深入探索和挖掘圆锥曲线的几何性质，则能巧妙求解问题.由学生5的启发得到下面结论，请同学们课后探究.

引理：若圆锥曲线C的离心率为e，焦点F所对应的准线为l，曲线C的弦AB所在的直线交准线l于点P;当点P在弦AB内时，FP平分∠AFB;当点P在弦AB外时，FP平分∠AFB的外角［1］.

设计意图：[HTK]通过自主探究，学生分享交流，师生一起探究典例的解法，充分发挥学生的主观能动性，体现学生的主体地位，引导学生从不同的角度认识问题，实现一题多解，培养学生发散思维的能力，提升学生分析问题、解决问题的能力，同时在学生分享过程中锻炼他们的语言表达能力.

环节3：类比迁移，感悟思想.

根据以上条件，我们还可以研究哪些问题？写下你想研究的问题并思考如何解决.

变式1 已知点P（9，-6），求证：MF⊥NF.

变式2 已知点P（6，3），求证：MF⊥NF.

变式3 已知点P（0，0），求证：MF⊥NF.

变式4 已知点P（x0，y0），求证：MF⊥NF.

变式5 C：y2=2px（p>0），求证：MF⊥NF.

变式6 以MN为直径的圆，是否经过定点？若是，请找出定点；若不是，请说明理由.

设计意图：[HTK]设置变式训练的目的，是让学生现学现用，通过方法的选择提升解题能力，促进学生对知识和方法的迁移，通过“一题多解”再到“多题一解”，使学生实现从解题到解决问题的提升.

环节4：深化拓展，形成模型.

推广：已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点是F，准线为l，已知点P（x0，y0），若过点F的直线交抛物线于不同两点A，B（均与点P不重合），直线PA，PB分别交l于M，N，求证：MF⊥NF.

师：我们用几何画板演示上述结论.

师：在抛物线中有这样优美的平面几何性质，那在椭圆、双曲线中此结论是否也成立？请同学们课后探索.

设计意图：[HTK]通过例题教学，学生从不同的角度思考获得不同的解法，也复习了不同的知识点，真是“横看成岭侧成峰”.通过比较不同解法计算量的大小，发现解答这类问题的通法与妙法，为后续优化算法积累经验.通过“一题多变”对某个问题进行多层次、多角度、多方位的探索.培养学生发散思维，是学生创新思维的必备前提.此题不仅锻炼了学生用类比的方法进行思考和学习，而且使学生对解决问题的思路理解得更透彻.每问一变都层层递进，步步深入，环环相扣的密切联系.同样可以从一种研究对象的结论出发，通过类比得出另一种研究对象的许多意想不到的结论.创造的喜悦难以想象.

环节5：归纳小结，课外拓展.

本课从一道解析几何题目出发，探究并分享了各种不同的解题方法，最容易想到的是通法——设点、设线，但同样是设线也有讲究，不同的设法计算量有差异；利用平面几何结论可获得简捷解法.

课后作业：（限于篇幅题目略去.）

2 教学反思

这节课以教师为主导、学生为主体、问题为主轴、练习为主线，以“一题一课”的形式，让学生自主探究例题的解法，其中渗透了数形结合、化归转化、分类讨论等数学思想，提升了学生解答圆锥曲線问题的能力.在专题复习中，实现了知识结构化、方法系统化、思想实质化［2］.

在教学活动中，先让学生独立思考，再自主探究，体会方法，相互分享，给予学生充分的时间去探究、思考、表达，使学生经历和体验解决问题的全过程，感悟通法与妙法.通过一题多解、多题一解，实现“做一题，得一法，会一类，通一片”，实现从“解题”到“解决问题”.

但本节课仍然留有遗憾，为了让学生更直观地感受随着点P的运动，结论依然没有发生变化，我们都是用几何法证得结论，并用几何画板演示结论，没有充足的时间让学生感受利用通法——坐标法来证明，后续还需通过坐标法提高学生的数学运算能力.

小结只强调了知识方面，对育人方面做得不到位，课后总结一首打油诗：

一题多解思维阔，学生主体来开拓，

一题多变问题活，定能扩展有收获.

解析几何形态多，开动脑筋去探索，

想要数学学得好，自我学习不能少！

如果能在课堂上这样小结，文化氛围更浓，教学效果和育人效果会更好，以后会不断改进，自觉做到教书育人.

参考文献：

［1］林国红.巧用平面几何性质 妙解圆锥曲线问题[J].数理化解题研究，2022（16）：1417.

[2]张文海.“一题一课”：让高三数学复习走向素养落实[J].数学通报，2020（7）：3034.