基于应用型人才培养的“复变函数与积分变换”课程教学改革与探索

张坤 杨慧贤

摘  要：课程改革关系到教学效率和质量，只有创新教学理念和方法才能满足新形势下的人才培养需求。本研究针对“复变函数与积分变换”课程的教学改革工作进行研究，采用文献总结、实地调查、案例借鉴等方法，从“复变函数与积分变换”课程特点入手，指出该课程的教学现状，结合教学改革案例及带来的启发，阐述了基于应用型人才培养的课程教学改革方法。研究结果表明，在“复变函数与积分变换”课程教学中，改革教学方式和评价体系，激发学生的兴趣和热情，培养学生的实践操作能力，才能培养出应用型人才，提示教师加以关注。

关键词：应用型人才；教学改革；实践能力；考核评价

中图分类号：G42   文献标识码：A    文章编号：1673-7164（2024）08-0151-04

信息技术的发展与应用，在造福于人类的同时，也对工程类人才培养提出新的要求。在此背景下，“新工科”理念应运而生，具有多学科交叉的特征，更加注重人才的思维、实践及创新能力的培养，为工程教育改革指明了方向。［1］“复变函数与积分变换”课程的实用性较强，但实际教学效果不理想，为了满足应用型人才的培养需求，必须要对教学工作进行改革。现有文献中，多集中在教学模式的变革上，忽视了教学设计、教学评价等内容，整个教学改革体系不够完善。鉴于此，下文结合实践探讨了该课程的教学改革方法，以供参考。

一、“复变函数与积分变换”课程特点

“复变函数与积分变换”是理工科专业的一门数学基础课，介绍了单自变量复变函数的极限、连续、积分、级数、留数等基本概念，重点阐述了解析函数的理论和方法，以及傅里叶、拉普拉斯变换等内容。通过本课程的学习，为后续专业课程的学习打下基础。

总结该课程的特点有两个：一是应用领域广泛，包括但不限于力学、通信工程、自動化、测控技术等，涉及多个领域如物理学、数学、计算机科学等。具体来看，在物理学领域，复变函数可描述物理系统中某种变化的速率，描述某类物理流程，提高模拟准确性；积分变换能展示出物理过程的内部机理，帮助人们更好地解决物理问题。在计算机科学领域，复变函数能帮助计算机解决复杂计算问题，快速找到符合特定条件的函数模型；积分变换能对物体运动进行模拟，对动力系统的性能进行优化；二是学习难度较高。该课程涉及较多的抽象概念，有很多重点、难点数学知识，不仅理论性强，应用实例少；学时短、任务重，学习效果不达预期。

二、“复变函数与积分变换”课程的教学现状

以某高等院校为例，对“复变函数与积分变换”课程的教学工作进行实地调查，发现存在以下问题：

（一）学时安排不合理

复变函数课程部分是从实数领域的函数扩展到复数领域，不仅基本概念延伸，而且知识内容非常抽象，学生理解起来有一定困难。［2］积分变换课程部分是工程数学的基础，其中的理论研究运用在工程实际中，学生一时间难以适应。从整个教学安排来看，该课程的知识点多、内容抽象，但是学时安排较少，留给学生理解、练习的时间有限。在实际教学中，采用灌输式教学方法，导致教学效率和质量不高，学生的实际收获有限。

（二）学生有畏难情绪

该课程既是一门数学基础课，具有完善的知识体系，也是一个重要的解题工具，与电子、力学、控制等学科存在交叉，教学过程重点培养学生的计算、逻辑和抽象思维能力。由于该课程的基本概念多、计算公式多，与高等数学的关联性强，部分学生具有畏难情绪，尤其是高等数学成绩不好的学生。加之传统教学模式下，整个课堂枯燥乏味，师生互动少，降低了学生的求知欲。

（三）实践应用较少

其一，该课程本身的理论知识体系复杂，作为高等数学的后续课程，需要学生大量的推理推导、记忆公式，如拉普拉斯变换公式、柯西积分公式等。其二，知识应用背景不足、缺少实践内容，只动脑却不动手，削弱了学生的学习主动性。其三，实践课程的开展，完全按照理论教学内容进行设计，技术和场景设置不够新，甚至与实际应用相脱节，不利于培养学生的实践创新能力。

（四）考评方法单一

考核评价也是教学工作的重要组成部分，既能了解学生的学习成果，又能发现教学问题和不足。在教学考评上，将期末考试和日常成绩结合起来，兼顾学习过程和结果，能考察学生的知识和技巧掌握情况。［3］但是，这种考评方法较为单一，一方面考评主体单一，单纯由教师对学生进行考评，难以避免主观因素的影响。另一方面考评指标单一，无法评价学生的创新、问题解决、团队协作等能力，不利于培养应用型人才。

三、教学改革案例分析及启发

（一）案例一：翻转课堂教学法

杭州电子科技大学自动化学院成立于2000年，设有2个系，6个本科专业，现有教职工226人，在校学生3400余人。在控制类专业教学中，对“复变函数与积分变换”课程采用翻转课堂教学法，简要介绍如下：

第一，设置课前任务。根据教学大纲和人才培养要求，教师合理设置学习任务单，在课前发放给学生，让学生明确学习内容和目标，自主预习相关知识点，标记无法解决的问题。

第二，优化教学内容。对教材中的知识点进行梳理，一方面让学生站在宏观角度了解整个课程体系，认识到本节课程与其他专业课程之间的关联。另一方面紧密结合专业特征，将基础知识运用到实际案例中，提高知识的实用性。

第三，强化师生互动。将课堂归还给学生，创造宽松、积极、活跃的课堂氛围，加强教师与学生之间的交流互动。教学中忽视基本概念和简单的知识点，重点关注学生无法解决的问题，通过合作探究的方式，一边有效解决问题，一边培养逻辑思维能力。［4］

第四，改变考核模式。将传统的闭卷考试模式转变为多种评价相结合的模式，提高考核结果的全面性和客观性。例如在小组合作探究后展示研究成果，撰写总结性的专题报告，设置应用型开放性考题，线上学习平台智能化评价等。

第五，打造线上平台。为了推进翻转课堂教学法，学院在信息技术设施方面投入充足的资源，打造网络教学平台，形成智慧教学体系。例如教师将教学资源上传至平台，学生利用手机、电脑等终端就能查看并学习，在线完成问答和测试。在实操环节利用平台的选人、抢答等功能，优化教学组织，学生的积极性显著提升。

（二）案例二：“互联网+”教学法

黑龙江工程学院始建于1952年，设有16个教学单位，56个本科专业，现有教职工1200余人，在校学生13000余人，享有“工程师的摇篮”美誉。专业教学中，对“复变函数与积分变换”课程采用“互联网+”教学法，简要介绍如下：

第一，利用慕课开展教学。为配合慕课的应用，教师成为教学活动的讲授者和指导者。在专题讨论环节，汇总不理解的知识点、难解决的问题，进行分组讨论。在正式教学环节，教师根据大纲内容、学生学习特点和在线学习要求，设计慕课视频课件，重点放在解题过程和技巧上。

第二，创新课后练习作业。在“复变函数与积分变换”课程学习中，练习是一个重要的环节，基于“互联网+”背景下，对练习作业模式进行创新。一是交流型作业。课堂教学完成后，教师抽出一定时间提问，由小组代表发言，既能检测学习效果，又能培养表达能力。［5］在此基础上打造网上交流平台，方便学生与教师口头交流，分享教学资源，拉近师生之间的距离。二是阅读式作业。让学生仔细阅读题目，厘清已知条件和未知条件，明确提问者的真实意图，获取更多的知识信息。为此，教师利用互联网资源创建数学资源库，将名人、典故、语言、应用案例等资料纳入其中，方便学生根据自身要求查询可利用的信息。三是拓展性作业。此类作业以图片和视频文件为主，例如习题赏析、科教片、纪录片等，调动学生的多个感官，拓展课程知识体系范围，让学生爱上这门课程，培养独立思考、自主探究、思维创新能力。

（三）启发

翻转课堂教学法提高了学生的自主学习意愿，增加了师生之间的互动。“互联网+”教学法为学生的学习带来了便利，课程内容多样化、生活化，打破了时间、空间的限制。从这两个案例中得到的启发：第一，教学改革要全面进行，思想观念、教学内容、方式方法多管齐下，充分把握学情，激发学习兴趣；第二，除了教学本身，还要对考核评价机制进行变革，从原本单一的评价方式转变为多元化评价方式，提高评价结果的客观性，才能为后续教学改进提供科学依据。

四、基于应用型人才培养的“复变函数与积分变换”课程教学改革方法

（一）优化设计教学内容

第一，合理安排学时。根据不同专业的教学任务和目标，对“复变函数与积分变换”课程资源进行整合，既保证知识体系的完整性，又能对教学模块进行分解，达到去繁就简，方便学生进行理解和学习。例如：复变函数部分，“柯西积分公式”和“高阶导数公式”在第三章，“留数”在第五章，将这些内容整合起来讲解，有助于学生从留数的角度对前两个公式进行理解运用，提高教学效果。

第二，以学生为中心。教学设计要突出学生的主体地位，关注学生的需求动向，打造新型师生关系。［6］例如：“复变函数的极限和连续性”“初等函数”“原函数与不定积分”等内容，是实数领域知识的延伸，教学时可采用翻转课堂，既能减轻学生的压力，又能提高学习热情，可以产生良好的教学效果。

（二）注重学科知识交叉

科学技术快速发展的一大特征是不同学科之间的关联更为紧密，解决一个工程问题，往往需要应用多个学科知识。“复变函数与积分变换”作为一个重要的数学工具，在教学过程中也要注重学科知识交叉，培养学生的思维创新能力。具体操作上，教师为学生展示该课程在整个工程领域的应用框架，让学生认识到该课程的重要性，尤其是对后续课程的作用。例如电力通信专业的学生，学习“信号与系统”课程时会用到积分变换知识，信号的处理就是分析信号的时域、频域、变换域等参数，对应“复变函数与积分变换”课程中的“傅里叶变换”“拉普拉斯变换”“z变换”。自动化专业的学生，学习“自动控制原理”课程时会用到传递函数知识，该函数是控制系统的复数域模型，表示系统的动态特性，对应“复变函数与积分变换”课程中的“拉氏变换”，系统传递函数是响应状态与激励状态的拉氏变换的比值。在教学中交叉不同的学科知识，能拓展学生的眼界和思路，既能丰富教学资源，又能为后续专业课程的学习打下基础。

（三）培养实践操作能力

第一，案例教学。案例教学是以工程实际问题为主线，将课程知识贯穿其中，学生通过独立思考或合作探究解决问题，从而拉近理论与实践的关系。在具體教学中，教师应选择与课程内容相关的案例，课堂中设置若干问题，引导学生由浅及深地掌握知识，寻找问题解决方法，加深知识点的运用，培养实践能力。例如“泰勒级数和洛朗级数”教学中，课前给出单边信号的z变换，让学生思考它的收敛域。在“拉氏变换”教学中，给出物体的运动方程，让学生思考如何求解。

第二，可视化教学。将信息技术应用在教学中，为学生演示专业背景、公式推导过程，实现教学的可视化，方便学生理解相关知识点。以Matlab软件为例，主要用于数据分析、深度学习、图像与信号处理等，是三大数学软件之一。［7］指数函数教学中，利用该软件可绘制函数的四维图像，具体程序：

z=5×cplxgrid（30）     cplxmap（z，xep（z））

figure；             colorbar（‘vert）

z=5×cplxgrid（30）       title（‘exp（z））

最终得到函数的四维图像如图1所示。其中，x轴表示自变量z的实部，y轴表示虚部；z轴表示复变函数w的实部，虚部则用不同颜色表示。观察该图像，学生容易发现函数的变化规律，以及指数函数的周期性特征。

（四）完善考核评价体系

第一，增加评价主体。常规考核评价体系下，由教师对学生的日常成绩和期末考试成绩进行综合评价，由于评价主体单一，可能影响评价结果的客观性和公正性。对此，今后的教学评价工作应增加评价主体，如学生自评，帮助学生认清自我，培养学习习惯，激发内在学习动力，并且和教师共同承担评价责任。［8］学生互评，有助于学生之间交流信息，既能促进学生自主学习，又是培养合作精神、协作能力的有效途径。学生评价教师，从学生角度寻找教学不足，实现教学工作的不断改进。

第二，丰富考核指标。单纯依据日常成绩和期末考试成绩，对学习效果的评价不够全面和客观，结合“复变函数与积分变换”课程特点，应进一步丰富考核指标，将课堂表现、作业情况、分组讨论、期末考试、答辩展示等指标纳入其中，建立综合评价体系。随着网络授课平台的广泛应用，学生在线上学习过程中，系统会记录学生的考勤情况，既方便师生之间互动，又提供了一种新型考核方法，即线上测试考核。

五、结语

综上所述，“复变函数与积分变换”不仅是一门数学基础课，也是一个重要的数学工具。针对目前高等院校教学工作中存在的问题，本研究结合成功的教学经验，提出优化设计教学内容，注重学科知识交叉，培养实践操作能力，完善考核评价体系，以提高教学效率和质量，更好地实现应用型人才培养的目标。

参考文献：

［1］ 谢贵重，董云桥，钟玉东，等. 基于坐标变换精确计算近奇异积分的双向sinh变换法［J］. 计算力学学报，2021，38（02）：188-192.

［2］ 崔晓梅，茹静. 新工科背景下《复变函数与积分变换》课程教学改革探索［J］. 吉林化工学院学报，2022，39（02）：9-12.

［3］ 吴延红. 复变函数与积分变换课程教学与学习情况调研分析及对策研究［J］. 黑龙江科学，2021，12（17）：102-103.

［4］ 郭巧栋. 以“互联网+”原则下的复变函数与积分变换课程教学设计的若干思考［J］. 中国新通信，2021，23（15）：227-228.

［5］ 柳辉，孙静波. 高等数学在现代化工中的應用——评《高等化工数学》［J］. 塑料工业，2021，49（05）：173-174.

［6］ 齐永奇，张涛. 复变函数与积分变换课程教学方法尝试与探讨——以华北水利水电大学测控专业为例［J］. 河南教育：高等教育，2021（02）：64-66.

［7］ 张永利，胡少卿，王志. 在应用型本科建设的背景下学生创新能力培养的研究——以复变函数与积分变换课程教学为例［J］. 教育教学论坛，2020（07）：153-154.

［8］ 张海霞，谢秀峰，宋晓红. 复变函数与积分变换课程的教学实践与改革［J］. 教育教学论坛，2019（44）：160-161.

（荐稿人：翟文娟，沧州交通学院副教授）

（责任编辑：胡甜甜）