基于表现性学习的小学“画数学”实践研究

江苏省江阴市立新中心小学 戴文亚

新课标指出，重视数学内容的直观表述，处理好直观与抽象的关系。根据皮亚杰的认知发展阶段理论，小学生的认知发展水平大多处于具体运算阶段。这个年龄阶段的学生正好处于形象思维向逻辑思维过渡的时期，他们已经具备一些推理能力、想象思维能力、抽象思维能力、逻辑运算能力等，但都需要具体形象的支持。“画数学”是指学生在数学学习的过程中，在语言所提供的材料基础上，运用感知觉和表象，将抽象的数学概念、数学规律、较复杂的数量关系等通过形象的图示、表格等看得见的形式表示出来，从而对数学学习对象有比较形象、直观、整体的认识和理解。

表现性学习强调以学生表现为中心，引导学生在学习活动中学习、探究、解决实际问题。“画数学”就是要让学生通过“表现”，从直观形象的方式，逐步过渡到抽象思考的过程，用更加简洁、直观的线段图、路径图、思维导图、故事图等来表征稍复杂的数学问题，从而分析方法、解决问题、发展能力。

一、画线段图，表征问题模型

线段图，主要用来表示问题解决题型中的数量关系，帮助学生分析题意、解决问题。小学阶段，教师要重视线段图建模，强化线段图表征；学生要借助线段图表达数量关系，达成解决问题的目标，并能通过线段图沟通知识点之间的联系，形成知识体系，探索一般问题的解决策略。

教学有关“倍”的实际问题，就是帮助学生线段图建模的内容。教师在教学中要重视图文的转化，加强对比和分析，初步建立用线段图表达题意的意识。教学“相遇问题”时，教师可以把动态演示和画线段图结合起来，引导学生通过画图理解不同的“行走方式”，从而直观理解“速度和”和“路程和”、“速度差”和“路程差”等数量的意义，通过线段图，深刻理解“速度和（差）×时间=路程和（差）”的数量关系，避免“依葫芦画瓢”的简单模仿。教学“常见的数量关系”时，教师可以借助线段图帮助学生理解数量之间的关系，并借助线段图将基本数量关系归纳为“每份数×份数=总数”。在表现性学习的过程中，教师要帮助学生在概括常见数量关系的基础上，厘清常见数量关系的相同点，帮助学生初步形成结构化思维，提高数学思维水平。

苏教版数学四年级下册“解决问题的策略”第一课时是教学画线段图描述和分析问题。例题中有两个未知数，增加了学生理解的难度。教师在教学中可以引导学生用线段图表征条件和问题。有了线段图直观的表达，学生就可能想到把两个不相等的数量转化成相等的数量，先求出其中一个数量，再求出另一个数量。在教学中，教师将学生会画线段图表征问题模型作为教学重点，要学生会根据相关信息用合适的线段图表现出来，其次，更重要的是引导学生通过线段图来分析数量之间的关系，找到解决问题的办法，并能在线段图上体现分析、思考过程。通过分析，学生明确可以把两个数量都看成和“少的”一样多，这时总量就要减少，还可以把两个数量都看成和“多的”一样多，这时总量就要增加。这样的思考过程就可以在线段图上通过“一画一减”“一补一加”体现出来，就能更直观地确定解题思路。（如图1）

图1

在数学教学中，很多实际问题可以通过画线段图的表现性学习方式，清晰表征问题模型，让学生在解决问题的过程中理解题意更简洁、明了，分析关系更直观、清晰，确定思路更快捷、方便，思维更严谨、全面。

二、画路径图，表征思考过程

小学阶段，针对学生在解决较复杂的实际问题时，面对信息多就容易思路混乱的情况，教师可以用画解题路径图的方法，引导学生根据已知条件和要求问题，把相关信息画出来，将解题的思考过程外显出来，达到可视化的程度。这样有助于学生解决问题，促进学生对知识的理解和建构，从而提升学生思维的严谨性，也便于教师分析和诊断学生的解题思路。

教学苏教版数学三年级下册“解决问题的策略——从问题想起”时，教师可以引导学生画出思考路径图，分析数量关系，确定解题思路。（如图2）

图2

教学中，在学生理解“只有购买的运动服和运动鞋的价格最低时，剩下的钱才能最多”后，教师不急于让学生列式解答，要给学生提供独立分析数量关系的空间，让他们充分交流自己的思维过程，并逐步学会画解题路径图，有条理地表征思考过程。

教学“解决平均数问题”时，教师要引导学生用平均数的知识解决稍复杂的实际问题。如：芳芳和班上的另外4 个女生是好朋友，她们按身高从矮到高排列，芳芳正好排在第3 位。她们5 个人的平均身高是138厘米，前3 人的平均身高是127 厘米，后3 人的平均身高是148 厘米。芳芳的身高是多少厘米？这类题目信息多、关系复杂，学生思考起来有一定的困难。解答此题的关键是要理解前3 人和后3 人都包括了芳芳。用前3 人的总身高加后3 人的总身高时，排在第3 位的芳芳多算了一次，通过画图，我们就可以直观地看出这一点。（如图3）

图3

通过“画一画”，学生建立起抽象的数学问题与直观理解之间的“桥”，让文字的描述呈现清晰的图像。同时，在“画”的表现性学习过程中，学生将解题过程中的思考历程清晰地呈现出来，有助于掌握更有效的解题策略，发展能力。

三、画思维导图，表征知识结构

画是知识理解的“锚”。通过“画一画”，学生理解了知识的建构过程，有助于找寻解决问题的策略，同时将零散的知识点建构成知识网络，打通知识点之间的联系，从而使相关知识逻辑更清晰、层次更分明，有助于理解和内化知识。教师可以在每个单元知识学习或一类知识学习之后，进行单元知识结构的梳理或知识概念的梳理，运用思维导图或概念的结构图示，整理知识结构，沟通知识间的联系，让学生学习条理更清晰，思维更严谨。

教学苏教版数学四年级上册“升和毫升”时，在单元的整理与练习课中，教师可以引导学生尝试根据学习内容，把自己学到的、看到的、想到的、了解到的与“升和毫升”有关的知识画出来，通过这种“学以致表”的方式，鼓励学生通过“画”这种表现性任务，把所学知识和内在素养用自己喜欢或擅长的方式表现出来，让其他人包括自己能够清晰地感知到，直观地洞察到，同时帮助学生加深对所学知识的认识和理解，掌握知识结构，建构知识网络。

苏教版数学四年级下册“三角形、平行四边形和梯形”这一单元的知识点丰富，图形之间有着密切的联系。在整理本单元所学知识时，教师可以引导学生通过画思维导图来进一步认识三角形、平行四边形和梯形的特征，弄清这些图形之间的联系与区别，形成合理的认知结构。

新课标强调，课程内容结构化要体现学习内容之间的关联。学生用思维导图等形式对所学知识进行整理、归纳，将散状的知识整理成相关的网络图，建立比较完整的知识体系，让所学内容更有条理。教师通过思维导图这种可视化、系统化的方式，梳理知识、巩固知识，培养学生思维的结构性和发散性。

四、画故事图，表征学习体验

学生喜欢看绘本，因此，在教学中，教师可以引导学生创作简单的数学绘本，以故事的形式把数学概念、数学运算、数学公式等相关知识推导出来，或以故事形式将一个单元或一个主题的数学知识表达出来，以故事情境表达数学知识，以数学故事表达数学理解，引导学生找寻数学与实际生活的重合点。

我们在四年级寒假期间设计了一个“我爱数学阅读”综合实践活动，为学生精心挑选了数学阅读书单。学生根据提供的阅读书单或自己的爱好选择阅读书目，其间记录其中十天的阅读时间，并填写统计表，完成十天阅读后，根据表中信息绘制成条形统计图，并把阅读中印象最深的部分画成数学故事与大家分享。

我们在四年级暑假期间设计了一个“七巧板的奥秘”综合实践活动，在学生认识并掌握三角形、平行四边形、梯形的基本特征以及相关知识后，引导学生对其进行深入研究，借助熟悉的七巧板，研究图形之间的关系、图形之间的运动关系等，引导学生开启“图形王国”的探险之旅，研究七巧板中图形的边长、角度和面积之间的关系，并发挥想象尝试创作数学绘本。

新课标指出，要培养学生三个方面的数学核心素养，即会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界。用画表征、以图说理就是小学生喜欢的观察、思考、表达世界的方式。学生画对知识的理解、画解决问题的思考过程、画对数学问题的个性化表达……教师要帮助学生在真实、复杂、富有挑战性的表现性学习活动中，主动完成学习任务，获取知识技能、培养积极情感、提升学习能力、发展核心素养。