浅析矩形中求线段长的折叠问题

孙霞

折叠问题是近几年来中考出现频率较高的一类题型， 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，即折叠前后的图形是全等形，解决这类问题的关键要充分挖掘轴对称的性质并利用题目中的隐含信息，下面就矩形中求线段长的折叠问题举例说明。

一、将矩形的一边沿对角线折叠

例1 矩形ABCD沿对角线BD折叠，使得点C落在点E处，BE与AD交于点F，若AD=8，AB=4，求DF的长.

分析：根据折叠可知：∠DBC=DBE，可得△BFD是等腰三角形，设DF=BF=x，则AF=8-x。在Rt△ABF中，根据勾股定理列出方程，即可求出x的长。

解题技巧：由折叠前后的对应角相等，不难证明△BFD是等腰三角形，从而将题中的相关线段集中到Rt△ABF中，利用勾股定理列出方程即可求解。

二、将矩形的一角折叠使顶点至边

例2 如图，在矩形纸片ABCD中，点E在边AD上，沿着BE折叠使点A落在边CD上的点F处，若tan∠ABE=[13]，AD=3，求DF的长.

分析：由折叠可知：∠ABE=∠FBE，∴tan∠ABE=tan∠FBE=[13]，由条件可证∴△DEF∽△CFB，则[EFFBDFCB13]，即可求出DF的长。

解题技巧：由折叠的性质对线段和角进行等量转化，将锐角三角函数转化为相似三角形的相似比，通过对应边成比例，建立比例式求解。

三、将矩形的一角折叠使顶点至对角线

例3 在矩形ABCD中，AB=2，E是AD上一点，AE=1.将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F.若点F落在对角线BD上，求边AD的长.

分析：设DF=x，根据折叠的性质可知，∠ABE=∠FBE，∠BAE=∠BFE=90°，易证△ABD∽△FED，则[DFADEFAB12]，∴AD=2x，∴DE=2x-1，在Rt△DEF中，根据勾股定理得列出方程（2x-1）2-x2=1，即可求出x的长。

解题技巧：矩形的一角折叠使顶点至对角线，可知矩形的一边落在对角线上，由折叠的性质对线段和角进行等量转化，将问题转化为相似三角形和勾股定理列出方程求解。

变式：如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把矩形ABCD沿AE折叠，使点B落在B′处，连接B′C，当△CEB′为直角三角形时，求B′C的长.

解题技巧：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

1.当点B′落在矩形内部时，如变1图。由折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，当∠EB′C=90°时，点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，点B落在对角线AC上的点B′处，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中用勾股定理列出方程可求解。

2.当∠B′EC=90°时，点B′落在AD边上，如变2图。由折叠的性质可知此时ABEB′为正方形，在Rt△B'CE中用勾股定理可求解。

四、将矩形的一角折叠使顶点至边的中垂线

例4 如图，E为矩形ABCD边AD上的点，A点沿着BE折叠，使得点A落在矩形ABCD边的中垂线上，AD=8，AB=6，求AE的长。

分析：由点A落在矩形ABCD边的中垂线上，可分为由A落在AD的中垂线上和由A落在AB的中垂线上两种情况。

1.如图4-1，A落在AD的中垂线上，根据折叠的性质，在Rt△BFN中，根据勾股定理求得NF=[25]，由∠A=∠BFE=90°，∠FBN+∠BFN=90°，∠BFN+∠EFM=90°，则∠EFM=∠FBN，易得△BFN∽△NEM，得出比例式[BNA'BA'MA'E]，即[46625A'E]，即可求出AE的长。

2. A落在AB的中垂线上，过点A′作BC的垂线A′F，交BC边于点F，则A′F=3，在Rt△BA′F中，由[A'FA'B12]，∠A′BF=30°，由折叠的性质，∠ABE=∠FBE=30°，通过30°的正切即可求出AE的长。

解题技巧：将矩形的一角折叠使顶点至边的中垂线，由折叠的性质进行等量转化，不难发现“一线三垂直”相似模型或特殊角，通过相似三角形的对应边成比例或特殊角的三角函数求解。

五、将矩形的一角折叠使顶点至对角顶点处

例5   如图，在矩形ABCD中，AB=24，AD=10，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A与点C重合，折痕与AB交于点M，与CD交于点N，求线段MN的长。

分析：方法1：在Rt△ABC中，由勾股定理解得AC=26，由折叠的性质可得，MN垂直平分AC，易证△CON≌△AOM，可知MO=NO，由条件可证△ABC∽△AOM，得比例式[OMBCAOAB]，即[OM101324]，即可解得OM的长。

方法2：由折叠的性质易证CN=CM，且MN垂直平分AC，可得CM=AM，设CM=AM=x，在Rt△BMC中，根据勾股定理得列出方程（24-x）2+102=x2，求得CN，在Rt△ABC中，由勾股定理解得AC=26，CO=13，由[12]CN×AD=[12]MN×CO=S△CMN即可求解。

解题技巧：将矩形的一角折叠使顶点至对角顶点处，由折叠的性质可知折痕是矩形的对角线的垂直平分线，通过相似三角形的对应边成比例或等面积法求解。

通过以上典型例题不难看出，解决与矩形有关的折叠问题关键有以下几点：一是要把握折叠的本质，即折叠实际上就是轴对称变换，折叠前后的图形是全等形，折痕为对应点连线的垂直平分线；二是要综合运用全等三角形、相似三角形、直角三角形以及方程等相关知识，找准等量关系，进行线段或角的转化，准确快速地解答折叠的问题.

本论文为高青县教育科学规划课题的科研成果，课题批准号：2021GQKTO5，课题名称：基于初中数学折纸活动教学的设计与实践研究